Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM
Số phức
1.1 Khái niệm về số phức
Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R
không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình x
2
+ 1 = 0 vô nghiệm
thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.

1.1.1 Định nghĩa số phức:
1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho i
2
= - 1 gọi là đơn vị ảo.
2. Biểu thức z = a + bi với a, b ∈ R gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)
3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là C.
4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.
5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng
bằng nhau, tức là: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d.
6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký
hiệu
z
. Khi đó: số phức liên hợp của
z
là z.

1.1.2 Các dạng biểu diễn của số phức
1. Dạng đại số Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số

uuur
được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển
nhiên ta có:
|z | ≥ 0, ∀ z ∈ C, |z | = 0 ⇔ z = 0
Bây giờ giả sử z ≠ 0, tức là
OA
uuur
≠
0
r
. Góc định hướng giữa tia Ox
và vectơ
OA
uuur
(đo bằng radian) ϕ =
·
( )
,OxOA
uuur
được gọi là
argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất
mà sai khác nhau k2π.
Nếu chỉ giới hạn xét ϕ ∈[0;2π) thì khi đó ϕ được gọi là
argument chính, ký hiệu argz.
Khi z = 0 thì ϕ không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.
Rõ ràng a = rcosϕ ; b = rsinϕ.
Do đó: z = a + bi = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ)
Ta có: r =
22

ππ

+



A(a,b)
b
y
O a x
ϕ
r
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM
1.2 Những phép tính cơ bản trên số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là r
1
(cosϕ
1
+
isinϕ
1
) và r
2
(cosϕ
2
+ isinϕ
2

n
; Arg(z
n
) = n. Argz + k2π
1.2.3 Phép chia 2 số phức.
Bổ đề: Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức z
1
sao cho z.z
1
=1. Khi đó z
1
được
gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu z
-1
. Vậy z
-1
= 1/z.
Chứng minh
Ta cần tìm z
1
= c + di sao cho z.z
1
= 1.
Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1
Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1
Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)
Giải hệ phương trình (I) ta được:
2222
;
ab

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM
2222
.().()()()
.
zzwabicdiacbdbcadi
wcdcd
ww
+−++−
===
++
(5)
Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:
z/w = (r
1
/r
2
). (cos(ϕ
1
- ϕ
2
) + isin(ϕ
1
-ϕ
2
)) (6)
1.2.4 Các ví dụ:
1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w,z – w,z.w, z/w.

1.3 Phép nâng lên lũy thừa và phép khai căn số phức
1.3.1 Nâng lên lũy thừa
Từ công thức (3) của mục trên, suy ra rằng nếu n là một số nguyên dương thì:
[r(cosϕ + isinϕ)]
n
= r
n
(cosnϕ + isinnϕ).
Công thức này gọi là công thức Moivre. Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức
lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó và argument bị nhân với
số mũ của lũy thừa.
Áp dụng của công thức Moivre:
Trong công thức đặt r = 1, ta được
(cosϕ + isinϕ)
n
= (cosnϕ + isinnϕ)
Khai triển vế trái theo công thức của nhị thức Newton và so sánh phần thực và phần
ảo của hai vế, ta có thể biểu diễn sinnϕ và cosnϕ theo luỹ thừa của cosϕ và sinϕ.
Chẳng hạn với n = 3: ta có:
VT = cos
3
ϕ + i.3cos
2
ϕsinϕ - 3cosϕsin
2
ϕ - isin
3
ϕ
VP = cos3ϕ + isin3ϕ
Do đó: cos3ϕ = cos

sai khác một bội 2π nên:
ρ
n
= r; nθ = ϕ + k2π
Từ đó: ρ =
n
r
; θ =
2k
n
ϕπ+
; k là số nguyên tùy ý.
Cho k các giá trị 0,1,2,..., n-1, ta được n giá trị khác nhau của căn.
Vậy căn bậc n của một số phức có n giá trị khác nhau
Căn bậc n của số thực A khác 0 cũng có n giá trị vì số thực là một trường hợp đặc
biệt của số phức và có thể viết dưới dạng lượng giác:
Nếu A > 0 thì A = |A| (cos0 + isin0)
Nếu A < 0 thì A = |A| (cosπ + isinπ)
Ví dụ: Tìm
3
3
4
1,1,(22)i−+Bài tập:
Bài 1 Tính:
1. (3+5i).(4-i) 2. (6+11i).(7+3i) 3. (4 – 7i)
30
4.

()
9
3
1313ii+++ 10.
8
1
2
i
−
−+



11.
()
7
13i−− 12.
()
()
2007
2006
13ii−+−
Bài 2 Tìm các số thực x,y sao cho:
1. (1- 2i)x + (-3 + 4i)y = -1 -3i 2. (2+i)x – (3+5i) = 1 +3i
3. (2 - 3i)x +(1+3i)y = x + 5iy 4. (3-2i)x – (4+5i)y = 2y + 3ix
Bài 3: Tìm |z| (modun của số phức) nếu :
1. ( 1 + i)
()
3i+ 2.
1

i
+
−
6.
3
1
i
i
i
+
−+
−
7.
2006
23
32
i
z
i
+

=

−

8.
4
(34)(1)
34
ii

1. z
2
= - 1 + i 2. 4z
2
+ 4z + i = 0 3.
42
2340zz−+=
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM
Bài 2. ÔN TẬP VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

I. Giới hạn hàm số
1. Các giới hạn cơ bản:
1. 1lim
sin
lim
00
==
→→
t
tgt
t
t
tt
2. 1
)1ln(
lim
1

t
a
t
=
−+
→
1)1(
lim
0
5.
p
e
t
t
p
t
∀=
∞→
,0lim
6.
p
t
t
p
t
∀>=
∞→
,0,0
ln
lim α

)('
)('
lim
0
. Khi đó:
A
xg
xf
xx
=
→
)(
)(
lim
0

3. Giới hạn dạng:
[ ]
)(
)(lim
0
xg
xx
xf
→

1. Giả sử
bxgaaxf
xxxx
=>=

y
xx
lnlim
0
→
có dạng 0.0 ta dùng L’Hospital để tính giới hạn.
Nếu
y
xx
lnlim
0
→
=
)(ln)(lim
0
xuxv
xx→
=a thì
[ ]
)(
)(lim
0
xv
xx
xu
→
= e
a

3.

fx
−
−
→

+−


=
[]
()
0
lim()1
gx
xx
fx
e
→
−

Bài tập:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1.
12
1
lim
2
2
−−
−

32
1
−
−++
→
x
xxx
x

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM
5.
2
1
1
)1(
)1(
lim
−
++−
+
→
x
nxnx
n
x
6.


2.
4
8
lim
3
64
−
−
→
x
x
x
3.
22
lim
ax
axax
ax
−
−+−
→

4.
23
7118
lim
2
3
2
+−

+
∞→

7.
2
1
2
0
2
1
1
lim
x
x
x
+
→






+
8.
()
2
.
1
2lim


1.1. Định nghĩa:
Hàm α(x) được gọi là lượng vô cùng bé (VCB) khi x → x
o
nếu
lim()0
o
xx
xα
→
=

Ví dụ: x
m
, sinx, tgx, ln(1+x), (1-cosx) là các VCB khi x → 0.
Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x → ∞ thay vì quá trình

x → x
o.Quy ước: quá trình x → ∞ hay x → x
o
ta gọi chung là trong 1 quá trình.

1.2 Định lý:
Trong 1 quá trình, f(x) → L khi và chỉ khi α(x) = f(x) – L là VCB trong quá trình đó.

1.3 Tính chất:Trong 1 quá trình
1. Nếu α(x) là VCB, C là hằng số thì C.α(x) là VCB.

Nếu k ≠0, k ≠ ±∞ thì f, g là haiVCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k =1 thì ta nói f, g là
VCB tương đương. Ký hiệu: f ~ g
Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f, và g không so sánh được với nhau
Ví dụ:
1. 1 – cosx và x
2
là hai VCB ngang cấp khi x → 0.
2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi x → 0.

1.5 Các VCB bé tương đương cần chú ý:
Nếu x → 0 thì:
sinx ~ x; tgx ~ x; (1 – cosx) ~ ½ x
2
; arcsinx ~ x;
(e
x
-1) ~ x; ln(1+x) ~ x ; [(1+x)
a
– 1] ~ ax;

1.6 Khử dạng vô định:
Tính chất 1: Nếu
k
g
f
o
xx
=
→
lim


Ví dụ:

3
00
ln(12)22
limlim
33
1
x
xx
xx
x
e
→→
+
==
−Tính chất 2: Nếu α(x) = o(β(x)) trong 1 quá trình thì α(x) + β(x) ~ β(x).
Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn

Ví dụ:
1.
2
0
1cos5
lim
sin2

3
0
ln(1)
lim
sin
x
tgx
xx
→
+
+
5.
2
2
0
ln(12sin)
lim
sin.
x
xx
xtgx
→
−Bài tập:
1. Giả sử t là lượng VCB. So sánh các lượng VCB: u = 5t
2
+ 2t
5

lim
0
−+
→
c.
)21(ln
3sin
lim
2
2
0
x
x
x
+
→

d.
)41ln(
1
lim
2
0
x
e
x
x
−
−
→

2
5
3
0
−++
−+
→
xx
x
x
h.
2516
238
lim
4
3
0
−+
−+
→
x
x
x
i.
)431ln(
)231ln(
lim
32
32
1

x
→
−
−