SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ANGIANG

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMTrường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

---------------------------------
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI OLYMPIC
ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
Năm học 2005 – 2006
Môn TOÁN
( Thời gian làm bài : 180 phút ) Bài 1 : ( 4 điểm )
Hãy tìm tất cả những đa thức P(x) sao cho thoả mãn đẳng thức sau :
x P(x – 1) = (x – 26) P(x)

Bài 2 : ( 4 điểm )
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
x
3
+ (x + 1)
3
+ ... + (x + 7)
3
= y






  





Chứng minh rằng : với mọi
kN



2
0 1 2
1 1 1 1 1
24
2
k
aa
u u u u
        Bài 4 : ( 4 điểm )
Cho hình bình hành ABCD có AB = a , AD = 1 ,
ˆ

Nghóa là : P(x) = x P
1
(x) , ở đây P
1
(x) là một đa thức .
(0,5đ)

Khi đó , P(x – 1) = (x – 1) P
1
(x – 1) , nghóa là :
x (x – 1) P
1
(x – 1) = x P(x – 1) = (x – 26) P(x)
(0,5đ)

Từ đây suy ra P(x) chia hết cho cả (x – 1) , nghóa là P(x) = x (x – 1) P
2
(x)
(0,5đ)

Từ đây ta lại nhận được : P(x – 1) = (x – 1) (x – 2) P
2
(x – 1)
(0,5đ)

Hoặc là x (x – 1) (x – 2) P
2
(x – 1) = (x – 26) . P(x)
(0,5đ)



Bài 2 : ( 4 điểm )
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
x
3
+ (x + 1)
3
+ ... + (x + 7)
3
= y
3
(1)

Đáp án

Đặt P(x) = x
3
+ (x + 1)
3
+ ... + (x + 7)
3
= 8x
3
+ 84x
2
+ 420x + 784

Xét x

0 , ta có :


– 24x
2
– 66x + 55 = 0
đều không có nghiệm nguyên . Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên với
x

0 (0,5đ)

Lại có P(– x – 7) = – P(x) . Vậy (x ; y) là nghiệm của (1)

(– x – 7 ; y) cũng là
nghiệm . (0,5đ)
Do đó không tồn tại nghiệm với x

– 7 . Vậy nếu (x ; y) là nghiệm thì ta phải có -6


x

-1 (0,5đ)

Với -3

x

-1 , ta có :
P(-1) = 440 không phải là số lập phương , P(-2) = 216 = 6
3
, P(-3) = 64 = 4

0
1
2
1
2
1
1
2 ( 1)
n
nn
n
u
ua
u
u u n
u












  
