HỘI TOÁN HỌC HÀ NỘI
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
————————–
Các đề thi
Olympic Toán Hùng Vương
1.1 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1
Năm 2005
(Thời gian làm bài: 210 phút)
Câu 1. Các số nguyên dương a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
lập thành một cấp
số cộng tăng. Hỏi lập được bao nhiêu cấp số cộng thoả mãn điều
kiện a
1
> 50 và a
5
< 100?
Câu 2. Các số nguyên dương a
1
, a
2
, a
3

, 2a
5
là các số nguyên dương,
(ii) a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
= 99.
Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
.
Câu 4. Giả sử tam thức bậc hai f(x) luôn luôn dương với mọi
x. Chứng minh rằng f(x) viết được dưới dạng tổng bình phương
của hai nhị thức bậc nhất.
Câu 5. Giả sử hàm trùng phương g(x) = x
4

.
1.3. Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 Năm 2007 3
Câu 2. Cho a = 0. Giải hệ phương trình



x
2005
+ y
2005
+ z
2005
= a
2005
x
2006
+ y
2006
+ z
2006
= a
2006
x
2007
+ y
2007
+ z
2007
= a
2007


BDM =

CDM.
Câu 5. Cho số dương M. Xét các tam thức bậc hai g(x) =
x
2
+ ax + b có nghiêm thực x
1
, x
2
và các hệ số thoả mãn điều
kiện
max{|a|, |b|, 1} = M.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(1 + |x
1
|)(1 + |x
2
|).
1.3 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3
Năm 2007
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu 1. Một đa giác lồi có nhiều nhất là bao nhiêu góc nhọn?
(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6.
1.3. Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 Năm 2007 4
Câu 2. Một đa giác lồi có nhiều nhất là bao nhiêu góc không
tù?
(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6.
Câu 3. Xác định hai chữ số tận cùng của số sau


x +
1
x
= ay
y +
1
y
= az
z +
1
z
= ax.
Câu 7. Cho hình bình hành ABCD có AB < BC. Đường phân
giác BP của góc ∠ABC cắt AD ở P . Biết rằng ∆P BC là tam
giác cân, P B = P C = 6cm và P D = 5cm. Tính độ dài các cạnh
của hình bình hành.
1.4. Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4 Năm 2008 5
Câu 8. Chứng minh rằng tam thức bậc hai g(x) = 3x
2
−2ax+ b
có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại bộ số α, β, γ sao cho

a = α + β + γ
b = αβ + βγ + γα.
Câu 9. Cho ba số dương a
1
, a
2
, a

1
β
1
+ a
2
β
2
+ a
3
β
3
= 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = a
1
x
α
1
y
β
1
+ a
2
x
α
2
y
β
2
+ a

Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 2008 không chia
hết cho các số 2 và 5?