SÁCH Ôn tập giới hạn-đạo
hàm-vi phân
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 1
Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1. Các giới hạn đặc biệt:
a)
®
=
x0
sinx
lim1
x

Hệ quả:
®
=
x0
x
lim1
sinx

®
=
u(x)0


x0
ln(1x)
lim1
x
®
+
=

x
x0
e1
lim1
x
®
-
=

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
1
(x)'x
aa-
=a
1
(u)'uu'
aa-
=a
2
11

uu
(e)'u'.e=
xx
(a)'a.lna=
uu
(a)'a.lna.u'=
1
(lnx)'
x
=
u'
(lnu)'
u
=
a
1
(logx')
x.lna
=
a
u'
(logu)'
u.lna
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
2
2
1
(tgx)'1tgx
cosx

Trang 2
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x
thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x).
Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:
F'(a)f(x)vàF'(b)f(b)
+-
==

2. Đònh lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :
a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.
b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là
f(x)dx.
ò
Do
đó viết:
f(x)dxF(x)C=+
ò

Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.

3. Các tính chất của nguyên hàm:

(dưới đây u = u(x))
dxxC=+
ò

duuC=+
ò

1
x
xdxC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

1
u
uduC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

dx
lnxC(x0)
x

=+<¹
ò

cosxdxsinxC=+
ò

cosudusinuC=+
ò

sinxdxcosxC=-+
ò

sinuducosuC=-+
ò

2
2
dx
(1tgx)dxtgxC
cosx
=+=+
òò

2
2
du
(1tgu)dutguC
cosu
=+=+
òò

cos(axb)dxsin(axb)C(a0)
a
+=++¹
ò

1
sin(axb)dxcos(axb)C(a0)
a
+=-++¹
ò

dx1
lnaxbC
axba
=++
+
ò

axbaxb
1
edxeC(a0)
a
++
=+¹
ò

dx2
axbC(a0)
a
axb

ì
ï
=
í
ï
=
ỵ

Ví dụ 1: CMR hàm số:
2
F(x)ln(xxa)=++ với a > 0
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
f(x)
xa
=
+
trên R.
Giải:
Ta có:
2
2
2
22
2x
1
(xxa)'
2xa
F'(x)[ln(xxa)]'

ỵ

Là một nguyên hàm của hàm số
x
ekhix0
f(x)
2x1khix0
ì
³
=
í
+<
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với
x0¹
, ta có:

x
ekhix0
F'(x)
2x1khix0
ì
>
=
í
+<
ỵ

+
®®
--
===
-

Nhận xét rằng F'(0)F'(0)1F'(0)1.
-+
==Þ=
Tóm lại:
x
ekhix0
F'(x)f(x)
2x1khix0
ì
³
==
í
+<
ỵ

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ

Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm.

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 6
Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số:
2
xkhix1
F(x)
axbkhix1
ì
£
=
í
+>
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số:
2xkhix1
f(x)
2khix1
£
ì
=
í
>
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với x1¹ , ta có:

==
--

· Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
= 0.

x1x1x1
F(x)F(1)axb1ax1a1
F'(1)limlimlima.
x1x1x1
+++
+
®®®
-+-+--
====
---

Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2.
-+
Û=Û= (2)
Thay (2) vào (1), ta được b = –1.
Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1.
Khi đó: F’(1) = 2 = f(1)
Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số:
-
=++
22x
F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của

íí
ïï
-=-=
ỵỵ

Vậy
-
=-+
22x
F(x)(x3x2)e .
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 7
BÀI TẬP
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số
x
F(x)lntg
24
p
ỉư
=+
ç÷
èø

Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
cosx
= .
Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số
2

ï
=
ỵ

Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số
2x
F(x)(axbxc).e
-
=++ là một nguyên hàm của
hàm số
2x
f(x)(2x5x2)e
-
=-+ trên R.
ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Bài 4. a/ Tính nguyên hàm
32
2
x3x3x7
F(x)củaf(x)vàF(0)8.
(x1)
++-
==
+

b/ Tìm nguyên hàm F(x) của
2
x
f(x)sinvàF.
224

=+¥
ç÷
èø
-

b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0.
ĐS: a/ a4;b2;c1;==-= b/
2
G(x)(4x2x10)2x322.=-+-- Tích phân Trần Só Tùng
Trang 8
Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG
CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Ví dụ 1: CMR , nếu
f(x)dxF(x)C=+
ò
thì
1
f(axb)dxF(axb)Cvớia0.
a
+=++¹

x
x
2e
dx
e1+
ò
d/
2
(2lnx1)
dx
x
+
ò

Giải:
a/ Ta có:
44
33
11(2x3)(2x3)
(2x3)dx(2x3)d(2x3).CC.
2248
++
+=++=+=+
òò

b/ Ta có:
5
44
cosx
cosx.sinxdxcosxd(cosx)C

2sindx
2
ò
b/
2
cotgxdx
ò
c/
tgxdx
ò
d/
3
tgx
dx
cosx
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
x
2sindx(1cosx)dxxsinxC
2
=-=-+
òò

b/ Ta có:
2
2
1

x
dx
1x+
ò
b/
2
1
dx
x3x2-+
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
2
22
x1d(1x)1
dxln(1x)C
1x21x2
+
==++
++
òò

b/ Ta có:
2
1111
dxdxdx
x3x2(x1)(x2)x2x1
ỉư

1
cosxcosxC.
3
-++
Bài 7. Tính các tích phân bất đònh :
a/
xx
e(2e)dx;
-
-
ò
b/
x
x
e
dx;
2
ò
c/
2xxx
x
2.3.5
dx
10
ò
.
d/
25x
x
e1

26xx
1
eeC;
6
--
--+ e/
x
ln(e2)C++.
Bài 8. Tính các tích phân bất đònh :
a/
44
xx2dx
-
++
ò
; b/
3
5
xxdx
ò
; c/
2
xx1dx+
ò
;
d/
2001
(12x)dx;-
ò
e/

(34lnx)34lnxC.
6
+++
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 10

Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu
thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó
có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng
mình từ một vài minh hoạ sau:
· Với
3263
f(x)(x2)thìviếtlạif(x)x4x4.=-=-+
· Với
2
x4x52
f(x)thìviếtlạif(x)x3
x1x1
-+
==-+
--
.
· Với
2
111
f(x)thìviếtlạif(x)
x5x6x3x2

1x1x
++
=+
++
.
Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình.

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2002
Ix(1x)dx.=-
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x)
ta được:
2002200220022003
x(1x)[1(1x)](1x)(1x)(1x).-=---=---
Khi đó:

2002200320022003
20032004
I(1x)dx(1x)dx(1x)d(1x)(1x)d(1x)
(1x)(1x)
C.
20032004
=---=---+--
--
=-++
òòòò


a
--
=++-++
òò2
11
[lnaxb]C.
aaxb
=+++
+

· Với a = –1, ta được:

1
22
11
I[d(axb)(axb)d(axb)][axblnaxb]C.
aa
-
=+-++=+-++
òò

· Với R\{2;1},-- ta được:
21
2
1(axb)(axb)
I[]C.
a21

ỉư
=-=-=---+
ç÷
----èø
òòòò
1dxdx1d(x3)d(x1)1
I.['.(lnx3lnx1)C
2x3x12x3x12-
=+
-
1x3
lnC.
2x1Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
x2x3
=
++-
ò

Giải:
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:

11

1
1sinxcosxsinx1sinx1
2
..
xx
sinx.cosxsinx.sinxcosxsinxcosx
costg
22
+
==+=+
Suy ra:
22
2
x
1
dtg
sinxd(cosx)1x
2
2
IdxdxlntgC.
xxx
cosxcosxcosx2
costgtg
222
ỉư
ç÷
èø
=+=-+=++
òòòò


3x2
3
2xxe3x
f(x)
x
--
= ;
c/
2
(2x)
f(x);
x
+
=
d/
1
f(x)
3x43x2
=
+-+

ĐS: a/
357
128
x2xxxC
57
-+-+ ; b/
x
4
elnxC;

2x1
++
=
+

c/
32
4x4x1
f(x);
2x1
+-
=
+
d/
3
2
4x9x1
f(x);
94x
-++
=
-

ĐS: a/
1x5
lnC;
4x1
-
+
-

ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
c/
3
cosx;
d/
4
cosx; e/
44
sinxcosx;+ f/
66
sin2xcos2x.+

ẹS: a/
1
xcos2xC
2
-+ ; b/
171
sin5xsinxC
1012212
pp
ổửổử
++-+
ỗữỗữ
ốứốứ

c/

.
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
f(x)dxf[(t)].'(t)dt.=jj
òò

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
22
ax-
xasintvớit
22
xxcostvới0t
pp
é
=-££

22
xacotgtvới0t
pp
é
=-<<
ê
ê
=<<p
ê
ë

axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t
(xa)(bx)--
x = a + (b – a)sin
2
t

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
(1x)
=
-

2
x
(1x)costvàtgt
1x
-==
-

là bởi:
2
22
costcost
tcost0
22
cost1sint1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
=-=-
ï
ỵ

Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2
2
xdx
I
x1

22
222
1111
(cotgt.tgt.)dt
4sintcostsintcost
11121
(cotgt.tdt.)
4sintcosttgtcost
1d(tgt)
[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2].
4tgt
=-++
=-++
=--++

Khi đó:
1d(tgt)
I[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2]
4tgt
=--++
òòò2222
22
11111
(cotgttgt2lntgt)C(cotgttgt)lntgtC
42282
11
xx1lnxx1C.

sin2t

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 16
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
23
dx
I
(1x)
=
+
ò

Giải:
Đặt: xtgt;t
22
pp
=-<< . Suy ra:
3
22
23
dtdxcostdt
dx&costdt.
costcost
(1x)
===
+

Khi đó:
2

í
==
ï
+
ỵ

2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:

222k1
dx
I,vớikZ.
(ax)
+
=Ỵ
+
òBài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân =ydt'(x)dx.
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò

++

· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
txaxb=+++
· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:
txaxb=-+--

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 17
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
328
Ix(23x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
2
t23x=- . Suy ra: dt6xdx=

328228898
2t2t11
x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt.
33618
--
ỉư
-=-==-=-
ç÷
èø

Khi đó:

--
=-==-+
-

Khi đó:
425342
122
I2(t2t1)dt2tttC(3t10t15)tC
5315
ỉư
=-+=--++=--++
ç÷
èø
ò

22
22
[3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC
1515
=----+-+=-++-+

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
522
3
Ix(12x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
3

=-=-+=-+
ç÷
èø
ò22222
3
3
[5(12x)8(12x)](12x)C
320
=----+

4222
3
3
(20x4x3)(12x)C.
320
=---+
Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
3
Isinxcosxdx.=
ò

Giải:
Đặt:
2
tcosxtcosx=Þ=
dt = sinxdx,
Tích phân Trần Só Tùng

I
1sinx
=
+
ò

Giải:
Đặt:
22
t1xx1tat1sinx=-Þ=-=+
Suy ra: dt2sinxcosxdx,=

32
22
cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11
1dt.
1sinx1sinx2t2t
-
ỉư
===-
ç÷
++
èø

Khi đó:
22
111
I1dtf12(tlntC[1sinxln(1sinx)]C
2t2
ỉư

t.(1t)dt.
===+
=+

Khi đó:
22642753
121
It.(1t)dt(t2tt)dttttC
753
ỉư
=+=++=+++
ç÷
èø
òò753
1
(15cotgx42cotgx35cotgx)C.
105
=+++
Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
xx/2
dx
I
ee
=
-
ò


1
I21dt2(elne1)C.
t1
--
ỉư
=+=+++
ç÷
-
èø
ò

Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến
x/2
te,
-
=
tuy nhiên với cách đặt
x/2
te=
chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh:
x
dx
I
1e
=
+
ò
.
Giải:

Cách 2:
Đặt:
x/2
te
-
=
Suy ra:
x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
-
=Û-=

xxxx/2x2
dxdxdx2dt
1ee(e1)ee1t1
--
-
===
++++

Khi đó:
2x/2x
2
dt
I22lntt1C2lnee1C
t1
--


Khi đó:
2
dt
IlntClnxxaC.
t
==+=+++
ò

Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
(x1)(x2)
=
++
ò
.
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
· Với
x10
x1
x20
+>
ì
Û>-
í
+>
ỵ


+<
ỵ

Đặt: t(x1)(x2)=-++-+
Suy ra:
[(x1)(x2)]dx
11
dtdx
2(x1)2(x2)2(x1)(x2)
-++-+
éù
=--=
êú
-+-+++
ëûdx2dt
t
(x1)(x2)
Û=-
++

Khi đó:
dt
I22lntC2ln(x1)(x2)C
t
=-=-+=--++-++
ò



ĐS: a/
121110
121
(x1)(x1)(x10)C.
121110
-+-+-+ b/
5
5
1x2
lnC.
20x2
-
+
+

c/
2
2x5
lnx2C;
(x2)
-
--+
-
d/
2
2
1xx21
lnC.
22xx21

x(x1)C;
33
--+ b/
222
x
C;
axa
+
+

c/
3
66
x
6xlnx1C.
2
ỉư
++-+
ç÷
èø

Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
5
3
cosx
f(x);
sinx
=
b/

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 21
b/
x
lntgC;
24
p
ỉư
++
ç÷
èø
c/
3
3
1sin2xC;
2
-+
d/
2
1
lnsinxsinxC;
2
-+ e/
3
1
cotgxcotgxC.
3
--+
Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/

x2x
ln(ee1)C;
--
-+++ b/
x
x
xe
lnC;
1xe
+
+

c/
xx
xx
132
,lnC;
2(ln3ln2)32
-
+
-+
d/ lnln(lnx)C.+

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 22
Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu.=-
òò

2
2
xln(xx1)
I
x1
++
=
+
ò
.
Giải:
Viết lại I dưới dạng:
2
2
x
Iln(xx1)dx.
x1
=++
+
ò

Đặt :
2
2
22
2
2
1x
uln(xx1)
dx

ò

Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: Icos(lnx)dx.=
ò

Giải:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
-
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó: Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.=+
ò
(1)

Ix.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx)]C.
2
=+-Û=++
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:
12
Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt :
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=

Khi đó:
21
Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4)=-=+
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: 12
xx
I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)] C.
22
=-+=++

Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh:
2
ln(cosx)
Idx.
cosx
=
ò

Giải:
Đặt :
2
uln(cosx) sinx
dudx
cosx
dx
dv

với P là một đa thức thuộc
*
R[X]vàR.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 24
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
duP'(x)dx
uP(x)
.
1
dvsinxdx
vcosx
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=a
=-a
ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
11

22242
-
ỉư
==-=-
ç÷
èø
òòòò

Xét Jxcos2xdx.=
ò

Đặt :
2
dx
dudx
ux
x1
dvcos2xdx
1
vsin2x
2
ì
==
ï
=
ì
ï
+
Þ
íí