132
CHƯƠNG 4:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC.
A. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Nhắc lại:
2
aa=
;
2
a nếu a 0
a
a nếu a 0
≥
⎧
=
⎨
−≤
⎩

. Nếu
a0≥
và
b0≥
, ta có:
22
ab a b>⇔ >

. Với mọi a, b


2
B0
AB
AB
≥
⎧
⎪
=⇔
⎨
=
⎪
⎩

3. Các dạng khác:
Đặt điều kiện cho
2u
A
là A ≥ 0, nâng cả hai vế lên lũy thừa tương
ứng để khử căn thức.
2u 2u
A.B 0
AB
AB
≥
⎧
⎪
=⇔
⎨
=

(ĐH Ngoại Thương năm 1996).
Giải
Điều kiện:
2
2
2
2x 2
2x 0
2x 2
1
22
20
2x 1 0,x 0
xx
x
22
⎧
⎧
−≤≤
−≥
⎧
−≤≤
⎪⎪ ⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
−≥
−≥ ≠
≤− ∨ ≥
⎪
⎪⎪

⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
không là nghiệm của phương trình cho.
*
2
x2:
2
≤≤ Bình phương 2 vế của phương trình cho:
2
22
22
1111
2x 2 2(2x)2 168x x
xx
xx
⎛ ⎞ ⎛⎞⎛⎞
−+− + − − =− + ++
⎜ ⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝ ⎠ ⎝⎠⎝⎠

2
22
22
1111
25 2x 12 8x x x
xx
xx
⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
⇔− +=−+++++

⎪
⎨
⎪
−+≥
⎩

(**) và (***)
2
2
92t 1
1
t2 x 2 x1
x
(t 2) 1 1
⎧
−=
⎪
⇒⇔=⇔+=⇔=
⎨
−+=
⎪
⎩

Thay x = 1 vào phương trình cho thỏa vậy x = 1 là nghiệm phương
trình.
Ví dụ 2:

Giải phương trình:
xxx
(2 3) (2 3) 4−++=

⇒ Vế trái là hàm số giảm.
Vế phải là hằng số ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3:

Giải phương trình:
2
x4x22x−+ +=

(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối D năm 1999).
Giải
Ta có:
2
x4x22x−+ +=
2
x4x2x2⇔− + = −

22 2
2x 2 0 x 1
x 4x 4x 8x 4 5x 12x 4 0
−≥ ≥
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−+ = − + − +=
⎪⎪
⎩⎩

x1
2

≥
⎩

(1)
2
2
xt5
tx5
⎧
=+
⎪
⇔
⎨
=+
⎪
⎩
(hệ đối xứng loại 2)
2
2
22
xt5
xt5

(x t)(x t 1) 0
xttx
⎧
⎧
=+
=+
⎪⎪

⎣

2
2
121
x
xx50 (x0)
2
117
xx40 (x1)
x
2
⎡
+
=
⎢
⎡
−−= ≥
⎢
⇔⇔
⎢
⎢
⎢−−
+−= ≤−
⎣
=
⎢
⎣

Ví dụ 5:

a11
6
ab 4356 66
x
b6
119
a b 5
⎧
=
⎧
==
⎪
⇒⇒⇒=
⎨⎨
=
−=
⎪
⎩
⎩136
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
1.1 Giải phương trình:
2
x2 4x x 6x11
−+ −= − +1.2. Giải phương trình:

x2 4x x 6x11−+ −= − +

Vế trái =
1. x 2 1. 4 x 2
−+ −≤
(BĐT BCS)
Vế phải =
22
(x 6x 9) 2 (x 3) 2 2
−++=− +≥

2
x2 4x 2
x3
(x 3) 2 2
⎧
−+ −=
⎪
⇒⇔=
⎨
−+=
⎪
⎩1.2.
2
4x 1 4x 1 1 (*)−+ −= Điều kiện
2
4x 1 0

2
4x 1
4x 1
= +>∀>
−
−

⇒ hàm số f(x) tăng trên
1
,
2
⎡ ⎞
+∞
⎟
⎢
⎣ ⎠
và có nghiệm
1
x
2
=
⇒
1
x
2
= duy nhất.

1.3.
16 x 9 x 7−+ += (*). Điều kiện
16 x 0


138
22
(1) (4x 1) x 1 2(x 1) (2x 1)⇔− += ++−
(2)
2
(4x 1)t 2t (2x 1)⇔−=+−
2
2t (4x 1)t 2x 1 0⇔−−+−= (Xem phương trình ẩn số t)
1
t1 (loại)
2
t2x1
⎡
=<
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

2
2
1
2x 1 0 x
2
t2x1 x 12x1
x1(2x1)
⎧

xx10 x1
xx10
⎧
−≥
⎪
⎪
−−≥⇒≥
⎨
⎪
+−≥
⎪
⎩
(1)
Nhận xét:
22
(x x 1)(x x 1) 1−−+−= (x 1)≥ (2)
Đặt
4
22
2
1
xx1t xx1
t
−−=⇒+−=
(t > 0)
32
2
1
(*) t 2 t 2t 1 0
t

−−=
=⇔
+−=
cộng vế với vế
x1⇒=
thỏa (1)
.
4
224
222
15
t x x1t x x1t
2
+
= ⇒−−=⇒−−=

139
24
2
4
2
1
(2) x x 1 t
t
−
⇒+ −= =
24
2
24
2