18
Chơng 3.
Trạng thái ứng suất

I. Khái niệm về trạng thái ứng suất
Trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể đn hồi chịu
lực l tập hợp tất cả các ứng
suất tác dụng trên tất cả các
mặt vô cùng bé đi qua điểm
đó, đặc trng bởi tenxơ đối
xứng cấp 2 có 6 thnh phần
ứng suất độc lập (hình 3.1):








xxyxz
yx y yz
zx zy z
(3.1)
nh biểu thị trên các mặt của
phân tố toạ độ Cdxdydz.
Qua 1 điểm ta luôn tìm
ba mặt vuông góc với nhau có
ứng suất tiếp bằng 0, các mặt đó l
mặt chính

Hình 3.2
Hình 3.1

19
II. Trạng thái ứng suất phẳng
1.
ứ
ng suất trên mặt nghiêng bất kì

Tách một phân tố khỏi vật thể đn hồi chịu lực. Giả thiết
mặt vuông góc với trục z l mặt chính (
z
=
zx
=
zy
= 0), những
mặt còn lại có cả ứng suất pháp v ứng suất tiếp (hình 3.3).

Hình 3.3
Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ đáy l tam giác,
mặt bên nghiêng. Phơng trình tổng mômen các lực với O:

= =

Oxy yx
dx dy
Mdydz dzdx0
22


Sau khi rút gọn, sử dụng định luật đối ứng ứng suất tiếp ta
đợc giá trị của
u
v
uv
:

+
= +
xy xy
uxy
cos2 sin 2
22
(3.4)


= +
xy
uv xy
sin2 cos2
2
(3.5)
Rõ rng l khi = 0 (hoặc /2) thì
u
v
uv
có giá trị bằng
x
,


0
xy
tg tg2 tg
= +
0
k.
22
(3.6)

Ta thấy
0
có hai nghiệm l
1
v
2
(ứng với k = 0 v k = 1)
lệch nhau 90
0
ta luôn có hai phơng chính vuông góc với nhau.
Thay
1
v
2
vo (3.4) ta sẽ đợc các ứng suất chính cần tìm, đó l
những ứng suất pháp cực trị, vì d
u
/d = - 2


=

xy
xy
tg2
2

So sánh với (3.7), ta đợc:

= =

0
0
1
tg2 cotg2
tg2

= +
0
k.
4
(3.8)
Kết luận
: những mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt chính
một góc 45
0
. Thay (3.8) vo (3.5) với
2
1

x
,
y
,
xy
đã cho nh hình
3.4a. Lập hệ toạ độ O (hình 3.4b) theo tỷ lệ nhất định. Trên trục
honh đặt các đoạn OE =
y
v OF =
z
. Từ E dựng đoạn ED =
xy

vuông góc với OE. Vẽ vòng tròn có tâm C l trung điểm của đoạn
yz
EF OC
2
+

=


v bán kính CD (CD = R =
2
yz
2
yz
2


x


xy


yx


xy

uv

x

y

xy


yx22
tung độ
xy
(hình 3.4b), rồi từ P vẽ tia song song với phơng u cho
cắt vòng tròn tại điểm M. Toạ độ của M chính l các ứng suất
u
v

= hằng (3.12)

Tổng ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau l hằng số
.
Gọi
1
v
2
l góc của phơng chính thứ nhất v phơng
chính thứ hai đối với trục x. Theo hình 3.4b, có:
tg
1
=

=

xy
ymax
FP
FA
; tg
2
=

=

xy
ymin
FP
FB

tròn Mo có tâm trùng
y




x

Hình 3.5
Hình 3.6

xy