Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

27
Chơng 4.
đặc trng hình học
của mặt cắt ngang - Các thuyết bền

A. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang
I. Khái niệm
Thí nghiệm kéo (nén): khả năng chịu tải của thanh phụ
thuộc vo diện tích mặt cắt ngang
(MCN).
Thí nghiệm uốn, xoắn,...: khả
năng chịu lực của thanh không
những phụ thuộc vo diện tích MCN,
m còn hình dạng v sự bố trí MCN.
Ví dụ thanh tròn rỗng (hình 4.1a)
chịu đợc M
z
gấp 2 lần thanh tròn
đặc cùng diện tích MCN. Thanh hình
chữ nhật đặt đứng (hình 4.1b) ứng
suất nhỏ hơn 4 lần khi đặt ngang
(hình 4.1c) với cùng diện tích MCN.
Do đó, ngoi diện tích MCN, ta
cần xét đến những đại lợng khác
đặc trng cho hình dạng MCN về
mặt hình học, đó l
mômen tĩnh v
mômen quán tính
.

4a
a
0,7D
D
d
a

P
P
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

28
Khi m = 1, n = 0 tích phân (4.1) có dạng:

=

y
F
SxdF
(m
3
) (4.3)
S
x
v S
y
đợc gọi l
mômen diện tích cấp một
hay
mômen

=
(4.4)
Nếu diện tích F bao gồm nhiều
diện tích đơn giản F
i
:

=
=

n
ii
i1
C
xF
x
F
;
=
=

n
ii
i1
C
yF
y
F
(4.5)
trong đó x

2
y
F
JxdF=

(4.7)
đợc gọi l
mômen quán tính
(hay
mômen diện tích cấp hai
) của
hình phẳng F đối với trục x hoặc trục y.
J
xy
có thể dơng hoặc âm, còn các J
x
, J
y
luôn luôn dơng.
Tổng:
( )
+= + = =

22 2
xy p
FF
J J y x dF dF J
(4.8)
đợc gọi l
mômen quán tính độc cực

= J
y
+ Fa
2
(4.9)
J
XY
= J
xy
+ Fab
Chứng minh các công thức (4.9)
nh sau: ta có, X = x + a ; Y = y + b (a)
Theo định nghĩa:
== =

22
XYXY
FF F
J Y dF, J X dF, J XYdF
(b)
Thay (a) vo (b) suy ra:
J
X
= J
x
+2bS
x
+Fb
2
; J

tính J
u
, J
v
, J
uv
của hình phẳng F đối
với hệ trục Ouv (hình 4.5). Ta có:
u = xcos + ysin
v = ycos xsin
=

2
u
F
JvdF
;
=

2
v
F
JudF
;
=

uv
F
JuvdF


Hình 4.5
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

30

=

xy
xy
2J
tg
JJ
(4.11)
VI. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang
1. Hình chữ nhật (hình 4.6)
Hệ trục đối xứng Oxy l hệ trục quán tính
chính trung tâm.
Ta có: J
x
=
h
h
2
2
22 3
h
h
F
2
2

v cách
trục x
1
một khoảng y. Chiều di
b(y) của dải phân tố diện tích ny
suy ra từ điều kiện đồng dạng:

b(y) h y
bh

=

b(h y)
b(y)
h

=

Nh vậy, đối với trục đáy x
1
:
()
1
h
h
34
22
x
Fo
o


=



hay
=
3
x
bh
J
36
(4.16)
3. Hình tròn (hình 4.8)
Đối với hệ trục trung tâm Oxy: J
x
= J
y
=
p
J
2

trong đó:

=
4
4
p
R

JJ J 1 0,05D1
264
; = d/D (4.18)
VII. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 4.1.
Xác định vị trí trọng
tâm C
o
v các mômen diện tích cấp
hai J
x
, J
y
của mặt cắt cho trên
hình 4.9 (đơn vị l cm).
Giải
Coi mặt cắt đã cho l hiệu của
hai hình chữ nhật ABCD (kí hiệu
l 1) v EFGH (kí hiệu l 2). Ta có: S
x
=
12
xx
SS

trong đó:
()
1
13
x1C

trong đó:
()
1
13
y1C
100
S F x 100 60 300.000cm
2

==ì =

()
2
23
y2C
30
S F x 30 40 50 78.000cm
2

==ì +=



Vậy: S
y
= 300.000 78.000 = 222.000cm
3

3
3
154
11
x
bh 100 60
J7210cm
33
ì
== =ì()
2
3
3
22 2
22
x2C
bh 30 40
JFy 3040.40
12 12
ì
=+ = +ì
= 20,8 ì 10
5
cm
4

Hình 4.9