ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA

XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA

✷✳✶ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❜æ trî ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✷✳✷ ❈➳❝ ✈Ý ❞ô ✈Ò ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt✳ ✳ ✸✶
❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✷
✶
ờ ở
ý tết r ờ ữ ủ tế ỷ
ợ sự q t ủ ề t ọ tr tế ớ ý tết
ổ ể ứ sự ố trị ủ ì f t
q tr T (f, a, r) t ủ ì ế
N(f, a, r) ế số f trị a tr ĩ í r
ỉ m(f, a, r) ộ ế a ủ f ị ĩ
rọ t ủ ý tết ị ý ị ý
tứ t tể ệ sự ộ ủ tr ớ ọ trị a C {}
ị ý tứ ó r ớ ết trị a ế N(f, a, r)
trộ ỉ m(f, a, r) ề ế ị ĩ số ết
ủ f t trị a s
(f, a) := lim inf
r
{1
N(f, a, r)
T (f, a, r)
}.
trị a ợ ọ trị ết f ế (f, a) > 0 ệ số
ết ột t ể ủ ị ý tứ ủ
ụ tể ứ r

aC{}
(f, a) 2.
t ị ý tứ t t t r số ết ủ

qết trọ ẹ ở rs tr r trì rs
ỉ ét t ợ ủ số ết ò số ết
rẽ t ề sự tồ t ủ ì ớ ữ
trị ết ợ ứ trọ ẹ
t ết ì ó tể ợ ờ ỉ
ì từ C P
1
(C) ó ệ ở rộ ý tết ổ ể
ờ ỉ ì P
n
(C) ớ n 2 ột ề tự
rt ứ ị ý s ợ ọ ị ý
rt ờ ỉ ì t s
ị ý ờ ỉ ì f : C P
n
(C) H
1
, . . . , H
q

s ở ị trí tổ qt tr P
n
(C) ó
q

j=1
(H
j
, f) n + 1.
tự ớ trờ ợ ì ờ t ũ ứ tí

ết s s tớ
tr trọ ọ
P ệ ọ ệt t tr ị ế tứ
t ề ệ t tr tờ ọ t ệt t r P
ợ ử ờ ế ệ ồ ệ ủ
t ở trờ P ế ị ọ ớ
ọ ú ỡ t rt ề tr q trì ọ t
t ũ ử ờ tớ ễ ú ỡ t rt
ề tr q trì ứ
ố ù t ợ tỏ sự ết tớ ì ố ẹ
t ề ệ tốt t t ợ ọ t t
❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❧ý
t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❦❤➳❝ ♥❤➺♠ ❣✐ó♣ ❝❤♦ ♥❣➢ê✐
➤ä❝ ❞Ô t❤❡♦ ❞â✐✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢î❝ trÝ❝❤ ❞➱♥ tõ
❬✷❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✱ ❬✾❪✱ ✳✳✳
✶✳✶ ❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✳
●✐➯ sö f ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr♦♥❣ ➤Ü❛ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ R ✈➭ r < R✳
❑Ý ❤✐Ö✉ n(f, ∞, r), ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ n(f, ∞, r)), ❧➭ sè ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tÝ♥❤ ❝➯
❜é✐✱ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ❜é✐✮✱ ❝ñ❛ ❤➭♠ f tr♦♥❣ ➤Ü❛ ➤ã♥❣ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r. ●✐➯
sö a ∈ C✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
n(f, a, r) = n

1
f − a
, ∞, r

,
n(f, a, r) = n

).
❱× t❤Õ✱ ♥Õ✉ a = 0 t❛ ❝ã
N(f, 0, r) = (♦r❞
+
0
f) log r +

z∈D(r)
z=0
(♦r❞
+
z
f) log |
r
z
|,
tr♦♥❣ ➤ã D(r) ❧➭ ➤Ü❛ ❝ã ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r ✈➭ ♦r❞
+
z
f = max{0, ♦r❞
z
f} ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛
❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠✳
✶✳✶✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ①✃♣ ①Ø m(f, a, r) ❝ñ❛ ❤➭♠ f t➵✐ ❣✐➳ trÞ a ∈ C ➤➢î❝
➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉
m(f, a, r) =

2π
0
log

❍➭♠ m(f, ∞, r) ➤♦ ➤é ❧í♥ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ñ❛ log |f| tr➟♥ ➤➢ê♥❣ trß♥ |z| = r✳
✶✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ T (f, a, r) ❝ñ❛ ❤➭♠ f t➵✐ ❣✐➳ trÞ a ∈ C
➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉
T (f, a, r) = m(f, a, r) + N(f, a, r),
T (f, r) = m(f, ∞, r) + N(f, ∞, r).
❳Ðt ✈Ò ♠➷t ♥➭♦ ➤ã✱ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤è✐ ✈í✐ ❧ý t❤✉②Õt ❤➭♠ ♣❤➞♥
❤×♥❤ ❝ã ✈❛✐ trß t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ➤❛ t❤ø❝✳ ❚õ ➤Þ♥❤
♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ t❛ ❝ã
T (f, a, r) ≥ N(f, a, r) + O(1),
tr♦♥❣ ➤ã O(1) ❧➭ ♠ét ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❦❤✐ r → ∞✳

ị ĩ ủ ì f ợ ị ĩ ở tứ
(f) = lim sup
r
log T (r, f)
log r
.
ế (f) = tì f ợ ọ ó ế 0 < (f) < tì f
ợ ọ ó ữ
sử 0 < (f) < t
C = lim sup
r
T (r, f)
r

.
ó f ó tố ế C = ó tr ì ế 0 < C < ,
ó tố tể ế C = 0.
í ụ ế f ữ tỷ tì T (f, r) = O(log r), ó ữ tỷ
ó ế f = e

f(Re
i
)


R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d+
+
M

à=1
log




R(z a
à
)
R
2
a
à

{|z| ≤ R}✱ z = 0✳
❑❤✐ ➤ã t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
log |f(0)| =
1
2π
2π

0
log


f(Re
iϕ
)


dϕ.
❉♦ f(z) = 0 tr♦♥❣ D ♥➟♥ log f(z) ❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr♦♥❣ D. ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤
❧ý ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝ã✿
log f(0) =
1
2πi

|z|=R
log f(z)
dz
z
=
1
2π

R (ξ − z)
R
2
− zξ
◆❤➢ ✈❐② |ς| = R t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ |ω| = 1✱ ✈×
|ω| =
R |ξ − z|
|R
2
− zξ|
✾
✈➭ |ξ| = R ⇒ ξξ = |ξ|
2
= R
2
s✉② r❛
|ω| =
R |ξ − z|


ξξ − zξ


=
R |ξ − z|
|ξ|


ξ − z


R
2
z
= 0. ✭✶✳✸✮
❉♦ |z| = |z| < R ♥➟♥




R
2
z




> R ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ➤✐Ó♠
R
2
z
♥➺♠ ♥❣♦➭✐ |ξ| ≤ R ♥➟♥
❤➭♠ log f(ξ)
1
ξ −
R
2
z
❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✳ ❑Õt ❤î♣ ✈í✐ ✭✶✳✷✮ ✈➭ ✭✶✳✸✮ t❛ ❝ã
log f(z) =
1

dξ,
✈í✐
1
ξ − z
+
z
R
2
− zξ
=
R
2
− zξ + zξ − zz
(ξ − z) (R
2
− zξ)
=
R
2
− r
2
(ξ − z)

ξξ − zξ

=
R
2
− r
2

log f(Re
iφ
)
R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(θ − ϕ) + r
2
dϕ. ✭✶✳✹✮
▲✃② ♣❤➬♥ t❤ù❝ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ✭✶✳✹✮ t❛ ➤➢î❝
log |f(z)| =
1
2π
2π

0
log


f(Re
iϕ
)


R
2
− r

z
k
j

→ z
0
∈
{|ξ| = R}, z
0
❧➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t t❤➢ê♥❣❀ ✈× f ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ♥➟♥ z
0
❧➭ ❝ù❝
➤✐Ó♠ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ tr♦♥❣ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ z
0
❤➭♠ f ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❝❤Ø trõ t➵✐ z
0
s✉②
r❛ ✈➠ ❧ý ✈×

z
k
j

→ z
0
♥➟♥ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ z
0
➤Ò✉ ❝❤ø❛ z
k
j

, ❦❤✐ ➤ã f ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ♠✐Ò♥
♠í✐ ♥❤❐♥ ➤➢î❝✳
◗✉❛② ❧➵✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ✷✱ t❛ ❝ã tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜➟♥ ♣❤➯✐ ❝ñ❛ ❜➢í❝ ✷ ❝❤Ø ❦❤➳❝ tÝ❝❤
♣❤➞♥ ë tr➟♥ ✈ß♥❣ trß♥ |ξ| = R ♠ét ➤➵✐ ❧➢î♥❣

C
δ
1
2π

|ξ−Z
0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| . ❚❛
❝ã

|ξ−Z
0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| = C
δ
. log δ.δ.
❉♦ ➤ã✱

C
δ
1
2π

|ξ−Z


M
µ=1
R(z−a
µ
)
R
2
−a
µ
z
.
✶✷
❑❤✐ ➤ã ψ(z) s✉② r❛ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ë tr♦♥❣ |ξ|  R ✈×
❣✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ψ(z
0
) = 0 s✉② r❛ f(z
0
) = 0. ❉♦ ➤ã ψ(ξ) ❜Þ ❦❤ö ➤✐ ♠➱✉ sè✳
❚➢➡♥❣ tù ψ(ξ) ❝ò♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝ù❝ ➤✐Ó♠✳
➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t❛ ❝ã✿
log |ψ(z)| =
1
2π
2π

0
log



γ
z




−
M

µ=1
log




R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




=
1
2π

γ
z



= 1, ✈➭



R(z−a
µ
)
R
2
−a
µ
z



= 1.
❙✉② r❛ ♥Õ✉ |z| = R t❤× |ψ(z)| = |f(z)| .
❉♦ ➤ã
log |f(z)| +
N

γ=1
log



z




=
1
2π
2π

0
log


f(Re
iϕ
)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ.
❱❐②
log |f(z)| =


R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




−
N

γ=1
log




R(z − b
γ
)
R
2
− b
γ
z

(f, r) + O

log T (r, f)

,
❝❤♦ r → ∞ ❜➟♥ ♥❣♦➭✐ t❐♣ ❤î♣ ❝ã ➤é ➤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭
N
r❛♠
(f, r) = N(f

, 0, r) + 2N(f, ∞, r) − N(f

, ∞, r).
✶✳✷ ◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤
◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❧➭ ♠ét ❞➵♥❣ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø
❤❛✐ ❝ñ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ❙è ❦❤✉②Õt ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❝❤➷t ❝❤Ï ➤Õ♥ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❣➢î❝ ❝ñ❛
◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr♦♥❣ ❬✾❪✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ sè ❦❤✉②Õt✳

ị ĩ ố ết ủ f t ể a ợ ị ĩ ở
(f, a) = lim inf
r

1
N(f, a, r)
T (f, r)

.
ố ết rẽ ủ f t ể a ợ ị ĩ ở
(f, a) = lim inf
r

, r) = (q 2)T (f, r)
q

j=1
N(f, a
j
, r) + N
r
(f, r).
ó ị ý tứ ó tể ợ t ể ở ế
s
ị ý sử f(z) ì số tr C
a
1
, . . . , a
q
tử ệt tr C {}. ó
lim inf
r
S(f, {a
j
}
q
j=1
, r)
T (f, r)
0.
✶✺
✶✳✷✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sö f(z) ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ sè tr♦♥❣ |z| < R
0

N(f, a
j
, r) +

q
j=1
N(f, a
j
, r) −

q
j=1
¯
N(f, a
j
, r)
T (f, r)
.
❘â r➭♥❣ N(f, a
j
, r) −
¯
N(f, a
j
, r) ➤Õ♠ sè ❧➬♥ ❤➭♠ f = a ✈í✐ ❜é✐ ❧í♥ ❤➡♥ ✶
✈➭ ❞♦ ➤ã
q

j=1
N(f, a

j=1
N(f, a
j
, r) + N
r❛♠
(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
(q − 2)T (f, r) −

q
j=1
N(f, a
j
, r) + N
r❛♠
(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
S(f, {a
j
}
q
j=1
, r)
T (f, r)
≤ 2,
❜ë✐ ➳♣ ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✹✳

i
} ❧➭ ❞➲② ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠ s❛♦ ❝❤♦
0 < δ
i
+ θ
i
≤ 1,

i
(δ
i
+ θ
i
) ≤ 2.
●✐➯ sö a
i
, 1 ≤ i < N ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt tr♦♥❣ C ∪ {∞}. ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤➲
➤➢❛ r❛ ❝➞✉ ❤á✐ s❛✉✿
❚å♥ t➵✐ ❤❛② ❦❤➠♥❣ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ f tr➟♥ C s❛♦ ❝❤♦
δ(f, a
i
) = δ
i
, θ(f, a
i
) = θ
i
, 1 ≤ i < N