ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1-2
Giáo trình Đại học Đại cương Ngành Toán-Tin học
Tạ Lê Lợi
- Đại Học Đàlạt -
- 2005 -
Đại số và Hình học giải tích 1-2
Tạ Lê Lợi
Mục lục
Phần I:
Chương 0. Kiến thức chuần bò
1. Các cấu trúc đại số cơ bản .............................................. 1
2. Trường số phức ......................................................... 3
3. Đa thức ................................................................. 6
Chương I. Không gian vector hình học
1. Vector hình học ........................................................ 15
2. Cơ sở Descartes - Tọa độ .............................................. 17
3. Công thức đại số của các phép toán trên vector ......................... 19
4. Đường thẳng và mặt phẳng ............................................. 22
Chương II. Ma trận - Phương pháp khử Gauss
1. Ma trận ................................................................ 27
2. Các phép toán trên ma trận ............................................ 28
3. Phương pháp khử Gauss ................................................ 35
Chương III. Không gian vector
1. Không gian vector - Không gian vector con ............................. 41
2. Cơ sở - Số chiều - Tọa độ .............................................. 44
3. Tổng - Tích - Thương không gian vector ................................ 49
Chương IV. Ánh xạ tuyến tính
1. Ánh xạ tuyến tính ...................................................... 53
2. Ánh xạ tuyến tính và ma trận .......................................... 58
3. Không gian đối ngẫu ................................................... 62
Chương V. Đònh thức

trên A là một
ánh xạ:
 : A × A → A
Khi đó ảnh của cặp (x, y) ∈ A × A bởi ánh xạ  sẽ được ký hiệu là xy
• Phép toán  gọi là có
tính kết hợp
nếuu
1
(xy) z= x(yz), ∀x, y, z ∈ A
• Phép toán  gọi là có
tính giao hoán
nếuu xy= yx, ∀x, y ∈ A
• Phần tử e ∈ A, gọi là
phần tử đơn vò
, nếuu xe= ex= x, ∀x ∈ A
Khi  viết theo lối cộng + thì phần tử đơn vò gọi là
phần tử không
và ký hiệu là 0.
Khi  viết theo lối nhân · thì phần tử ø ký hiệu là 1.
• Giả sử phép toán  có phần tử đơn vò e. Khi đó x ∈ A gọi là khả nghòch nếuu tồn
tại x

∈ A sao cho: xx

= x

x= e. Khi đó x

phần tử
nghòch đảo


= x

e = x

(xx

)=(x

x)x

=
ex

= x

.
Bài tập: Hãy xét các phép toán cộng và nhân trên A := N, Z, Q, R có tính chất
gì? Có phần tử đơn vò? Có phần tử nghòch đảo?
1.2. Nhóm. Một
nhóm
là một cặp (G, ), trong đó G là một tập hợp không rỗng, còn
 là một phép toán hai ngôi trên G, thoả các điều kiện sau:
(G1)  có tính kết hợp.
(G2)  có phần tử đơn vò.
(G3) Mọi phần tử của G đều có phần tử nghòch đảo.
Nhóm G được gọi là
nhóm giao hoán
hay
nhóm Abel

các lớp các số nguyên đồng dư theo một số p là vành giao hoán với phép cộng
và nhân được đònh nghóa:
[m]+[n]=[m + n], [m][n]=[mn]
1.3 Trường. Một
trường
là một vành giao hoán có đơn vò 1 =0và mọi phần tử
khác không của K đều có phần tử nghòch đảo. Một cách đầy đủ, một trường là bộ
ba (K, +,·), trong đó K là tập không rỗng, + và · là các phép toán trên K thoả 9
điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ K:
(F1) (x + y)+z = x +(y + z)
(F2) ∃0 ∈ K, x +0=0+x = x
(F3) ∃−x ∈ K, x +(−x)=−x + x =0
(F4) x + y = y + x
(F5) (xy)z = x(yz)
(F6) ∃1 ∈ K, 1 =0, x1=1x = x
(F7) Khi x =0,∃x
−1
∈ K, xx
−1
= x
−1
x =1
(F8) xy = yx
(F9) x(y + z)=xy + xz
Ví dụ.
a) Vành (Z, +,·) không là trường. (Q, +,·), (R, +·) là các trường.
b) Nếu p là số nguyên tố, thì Z
p
là một trường. Hơn nữa, Z
p

+1=0, đều có nghiệm trong C.
2.1 Đònh nghóa. Ta dùng ký hiệu i, gọi là
cơ số ảo
, để chỉ nghiệm phương trình
x
2
+1=0, i.e. i
2
= −1. Tập số phức là tập dạng:
C = {z : z = a + ib, với a, b ∈ R}
z = a + ib gọi là số phức, a = Rez gọi là phần thực, b = Imz gọi là phần ảo.
z
1
= z
2
nếuu Rez
1
= Rez
2
, Imz
1
= Imz
2
.
Ta xem R là tập con của C khi đồng nhất R = {z ∈ C : Imz =0}
Từ “số ảo” sinh ra từ việc người ta không hiểu chúng khi mới phát hiện ra số phức.
Thực ra số phức rất “thực” như số thực vậy.
Ví dụ.
a) Số phức z = −6+i
√

z
=
a
a
2
+ b
2
− i
b
a
2
+ b
2
Sự tồn tại và việc tìm nghòch đảo được thực hiện bởi
phép chia
a + ib
c + id
(c + id =0)
4
khi giải phương trình a + ib =(c + id)(x + iy). Đồng nhất phần thực, phần ảo ta có

cx − dy = a
dx + cy = b
Vậy
a + ib
c + id
=
ac + bd
c
2

2
+ b
2
. Từ đó có thể chia 2 số phức bằng
cách nhân số liên hiệp của mẫu, chẳng hạn
2 − 5i
3+4i
=
(2 − 5i)(3 − 4i)
(3 + 4i)(3 − 4i)
=
6 − 23i +20i
2
3
2
− 4
2
i
2
=
−14 − 23i
25
2.3 Biểu diễn số phức. Sau đây là một số biểu diễn khác nhau của số phức
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟


a = r cos ϕ
b = r sin ϕ
và

r = |z| =
√
a
2
+ b
2
, gọi là
modul
của z
ϕ = Arg z, gọi là argument của z
Vậy nếu z =0, thì cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
, sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
.

3
)).
Mỗi cách biểu diễn số phức có thuận tiện riêng. Sau đây là một số ứng dụng.
2.4 Mệnh đề. |z
1
z
2
| = |z
1
||z
2
| và Arg(z
1
z
2
)= Argz
1
+ Argz
2
Suy ra
công thức de Moivre
(r(cos ϕ + i sin ϕ))
n
= r
n
(cos nϕ + i sin nϕ),n∈ N
Chứng minh: Nếu z
1
= r
1

1
cos ϕ
2
+cosϕ
1
sin ϕ
2
)
= r
1
r
2
(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
))
Suy ra |z
1
z
2
| = r
1
r
2
= |z

ρ =
n
√
r (căn bậc n theo nghóa thực)
nθ = ϕ +2kπ, k ∈ Z
Vậy khi z =0, phương trình có đúng n nghiệm phân biệt:
w
k
=
n
√
r(cos(
ϕ
n
+ k
2π
n
)+i sin(
ϕ
n
+ k
2π
n
)),k=0,··· ,n− 1.
Khi z =0, ký hiệu
n
√
z là tập n căn bậc n của z.
√
0=0.

n
=1, với n =8
s
w
0
s
w
1
s
w
2
s
w
3
s
s
s
s
Ví dụ.
a) Căn bậc n của 1 là n số phức: 1,ω
n
,··· ,ω
n−1
n
, với ω
n
=cos
2π
n
+ i sin

2kπ
3
)),k∈ Z.
Vậy có 3 giá trò phân biệt là:
k =0,w
0
=2
1
6
(cos(
π
12
)+i sin(
π
12
))
k =1,w
1
=2
1
6
(cos(
3π
4
)+i sin(
3π
4
)) = ω
3
w

k
∈ K, k =0,··· ,n, gọi là hệ số bậc k của P (X).
Hai đa thức gọi là bằng nhau nếuu mọi hệ số cùng bậc của chúng bằng nhau.
Nếu a
n
=0, thì n gọi là
bậc
của P (X) và ký hiệu n =degP(X), a
n
= lcP (X).
Nếu a
k
=0với mọi k, thì P (X) gọi là đa thức không và qui ước deg(0) = −∞.
Ta thường viết dưới dạng tổng: P (X)=
n

k=0
a
k
X
k
hay P =

k
a
k
X
k
là tổng vô hạn
nhưng chỉ có hữu hạn a

i
a
i
X
i
)(

j
b
j
X
j
)=

k
c
k
X
k
với c
k
= a
0
b
k
+···+ a
k
b
0
=

của phép chia P
0
(X) cho P
1
(X), và được
xây dựng cụ thể theo thuật toán sau:
Thuật toán chia Euclid.
Input: P
0
,P
1
∈ K[X], P
1
=0
Output: Q, R ∈ K[X], thoả P
0
= QP
1
+ R, deg R<deg P
1
.
Trước hết cho R
0
= P
0
,Q
0
=0.
Giả sử ở vòng lặp thứ k ta có Q
k

k+1
= R
k
−
lc(R
k
)
lc(P
1
)
X
n
k
P
1
Q
k+1
= Q
k
+
lc(R
k
)
lc(P
1
)
X
n
k
Ta có P

3
+ X
2
− 4X − 4
có thể thực hiện theo sơ đồ
R
0
= X
4
− 2X
3
− 6X
2
+12X +15| X
3
+ X
2
− 4X − 4
R
1
= − 3X
3
− 2X
2
+16X +15 X − 3
R
2
= X
2
+4X +3

của các đa thức P
0
(X),P
1
(X) ∈ K[X], là một đa thức D(X) ∈
K[X], thoả điều kiện:
D(X)|P
0
(X),D(X)|P
1
(X) và nếu C(X)|P
0
(X),C(X)|P
1
(X) thì C(X)|D(X)
Khi đó ký hiệu D(X)=GCD(P
0
(X),P
1
(X))
Nhận xét. Ước chung lớn nhất được xác đònh sai khác một hằng số tỉ lệ.
Nhận xét. Nếu P
0
= QP
1
+ R, thì GCD(P
0
,P
1
)=GCD(P

= GCD(P
0
,P
1
)
Xây dựng dãy đa thức khác không (P
0
,P
1
,P
2
,··· ,P
m
), với P
k
là phần dư của phép
chia P
k−2
cho P
k−1
:
P
k−2
= Q
k−1
P
k−1
+ P
k
(k =2,··· ,m− 1)

), thoả
P
k
= U
k
P
0
+ V
k
P
1
, (k =0,··· ,m)(∗)
Trước hết, khi k =0, 1, ta phải có U
0
=1,V
0
=0và U
1
=0,V
1
=1. Sau đó đệ qui
U
k
= U
k−2
− Q
k−1
U
k−1
và V

0
+ V
k−1
P
1
)
=(U
k−2
− Q
k−1
)P
0
+(V
k−2
− Q
k−1
V
k−1
)P
1
= U
k
P
0
+ V
k
P
1
Khi U = U
m

0
(X)=X
4
− 2X
3
− 6X
2
+12X +15và P
1
(X)=X
3
+ X
2
− 4X − 4,
các bước của thuật toán trên được thể hiện qua bảng sau
k
P
k−2
P
k−1
Q
k−1
P
k
2 X
4
− 2X
3
− 6X
2

1
=0,U
2
=1,U
3
= −X +3,U
4
=
1
5
X
2
−
4
5
,U
5
= −X +3
V
0
=0,V
1
=1,V
2
= −X+3,V
3
= X
2
−6X+10,V
4

+ a
1
X +···+ a
n
X
n
∈ K[X].
Giá trò
của P (X) tại c ∈ K đònh nghóa là P (c)=a
0
+ a
1
c + ···+ a
n
c
n
.
Nhận xét. Để dùng ít phép toán khi tính P (c), ta có
qui tắc Horner
sau
P (c)=(···((a
n
c + a
n−1
)c + a
n−1
)c + ···+ a
1
)c + a
0

s
∈ C, khác nhau, sao cho
P (X)=a
n
(X − c
1
)
m
1
···(X − c
s
)
m
s
trong đó a
n
là hệ số bậc n của P (X), m
1
+ ···+ m
s
= n
Chứng minh: Theo đònh lý trên, nếu n>0, P (X) có nghiệm c
1
∈ C. Theo đònh lý
Bézout P (X)=(X − c
1
)P
1
(X). Nếu deg P
1

1
X + q
1
)
n
1
···(X
2
+ p
s
X + q
s
)
n
s
trong đó a
n
là hệ số bậc n của P (X), c
j
(j =1,···r) là các nghiệm thực của P (X),
X
2
+ p
k
X + q
k
(k =1,··· ,s) là các tam thức bậc hai không có nghiệm thực.
10
(iii) Nếu n =degP (X) là lẻ, thì P (X) có nghiệm thực.
Chứng minh:

= a
k
, và liên hợp của tổng (tích) là tổng (tích) liên hợp)
Vậy P (c)=0khi và chỉ khi P (¯c)=0. Suy ra (i).
(ii) Cho c = a + ib ∈ C. Khi đó
(X − c)(X − ¯c)=X
2
− (c +¯c)X + c¯c = X
2
− 2aX +(a
2
+ b
2
)
là đa thức có hệ số thực dạng (X − a)
2
+ b
2
, nên vô nghiệm khi b =0, i.e. khi c ∈ R.
Với nhận xét trên và đònh lý phân tích đa thức trên trường phức ta có (ii).
(iii) Theo (ii) nếu deg P (X)=n lẻ, thì P (X) phải có một thừa số (X − c), với c ∈ R,
i.e. có nghiệm thực c. 
3.8 Tìm nghiệm đa thức bằng phép khai căn. Phần này đề cập đến việc giải
tìm nghiệm đa thức phức.
Phương trình bậc 2: ax
2
+ bx + c =0 (a =0)
Chia cho a: x
2
+

+ cx + d =0 (a =0)
Chia cho a: x
3
+
b
a
x
2
+
c
a
x +
d
a
=0
Tònh tiến để khử số hạng bậc 2: X = x +
b
3a
, phương trình có dạng X
2
+pX +q =0
Việc giải phương trình X
2
+ pX + q =0, như sau:
Đặt X = u + v, phương trình có dạng u
3
+ v
3
+(3uv + p)(u + v)+q =0.
Ta cần tìm u, v thỏa hệ phương trình:

3
= U
0
, ta có 3 nghiệm u
0
,ju
0
,j
2
u
0
, với j =cos(
2π
3
)+i sin(
2π
3
).
Giải v
3
= V
0
, tìm nghiệm v
0
thoả phương trình thứ hai của hệ u
0
v
0
= −
p

+ j
2
v
0
,X
3
= j
2
u
0
+ jv
0
Các tính toán trên được tổng kết bằng công thức Cardano:
x = −
b
3a
+
3




−
q
2
+

q
2
4

√
243 +
3

−10 − i
√
243 =???
Bài tập: Giải các phương trình; x
3
− 15x − 4=0, −2x
3
+18x
2
− 42x +10=0.
Phương trình bậc 4: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e =0 (a =0)
Chia cho a, rồi tònh tiến để khử số hạng bậc 3, đặt X = x +
b
4a
, đưa về giải phương
trình:
X
4
+ pX
2

)
2
− 4rα
2
− q =0
Giải ta có α, β, γ. Thay vào phương trình tích, rồi giải phương trình bậc 2 ta có các
nghiệm X
1
,X
2
,X
3
,X
4
Bài tập: Giải phương trình: x
4
+2x
3
+5x
2
+6x +9=0
Phương trình bậc ≥ 5. Abel (1802-1829) đã chứng minh không thể giải một phương
trình đa thức bậc ≥ 5 tổng quát, theo nghóa không thể biểu diễn nghiệm như là biểu
thức gồm các phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, chia) và căn số (bậc 2, 3,···) của
các hệ số của đa thức. Sau đó Galois (1811-1832) dùng lý thuyết nhóm đã tìm được
tiêu chuẩn để một phương trình bậc ≥ 5 cụ thể có giải được bằng căn thức không. Ví
dụ phương trình x
5
− x − 1=0không giải được bằng căn thức
Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình hệ số nguyên. Cho một đa thức có hệ số

)=0, ta có
a
0
q
n
+ a
1
q
n−1
p + ···+ a
n−1
qp
n−1
+ a
n
p
n
=0
Do gcd(p, q)=1, từ đẳng thức trên dễ suy ta p là ước số của a
0
, q là ước của a
n
. 
Bài tập: Tìm các nghiệm hữu tỉ của phương trình: 3x
4
+5x
3
+ x
2
+5x − 2=0

với Q
1
(X),··· ,Q
s
(X) ∈ K[X] thoả điều kiện GCD(Q
i
(X),Q
j
(X)) = 1, nếu i = j.
Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức A(X),P
ij
(X) ∈ K[X],i=1,··· ,s,j =1,··· ,k
i
,
sao cho deg P
ij
(X) < deg Q
i
(X) và
P (X)
Q(X)
= A(X)+
s

i=1


k
i


,U
2
∈ K[X]
Suy ra P = PU
1
D
1
+ PU
2
D
2
. Chia Euclid, ta có PU
1
= AD
2
+ V
2
, deg V
2
< deg D
2
.
Vậy P = V
2
D
1
+ V
1
D
2

< deg D
1
, deg V
2
< deg D
2
Trường hợp tổng quát, trước hết chia Euclid P cho Q ta có thương là A. Sau đó áp
dụng biểu diễn trên cho D
1
= Q
k
1
1
, D
2
= Q
k
2
2
···Q
k
s
s
. Tiếp tục áp dụng biểu diễn
trên cho Q = Q
k
2
2
···Q
ks

∈ K[X], sao cho
P
Q
= A

+
s

i=1


k
i

j=1
P

ij
Q
j
i


, với deg P

ij
< deg Q
i
Chương 0. Kiến thức chuẩn bò 13
Suy ra A = A

=0. Nhân (∗) với Q, suy ra
(P
1k
1
− P

1,k
1
)Q
k
2
2
···Q
k
s
s
+ Q
1
U =0, với U ∈ K[X]
Do GCD(Q
1
,Q
k
2
2
···Q
k
s
s
)=1, nên Q

1k
1
) ≤ deg Q
1
.
Vậy phải có P
1k
1
− P

1,k
1
=0.
Tương tự lập luận trên, ta có P
ij
= P

ij
,∀ij. 
Hệ quả 1. Mọi phân thức trên trường phức đều có phân tích duy nhất dưới dạng
P (X)
Q(X)
= A(X)+
s

i=1
m
i

j=1

ij
(X − c
i
)
j
+
s

i=1
n
i

j=1
b
ij
X + c
ij
(X
2
+ p
i
X + q
i
)
j
trong đó Q(X)=a
n
(X−c
1
)

X + q
i
(i =1,··· ,s) không có nghiệm thực., A(X) ∈ R[X], a
ij
,b
ij
,c
ij
∈ R.
Ví dụ. Phân tích
1
X
5
− X
2
thành phân thức đơn trên trường thực:
Ta có X
5
− X
2
= X
2
(X − 1)(X
2
+ X +1).
Vậy phân tích có dạng
1
X
5
− X

trình tuyến tính, ta có
1
X
5
− X
2
=
0
X
−
1
X
2
+
1
3(X − 1)
−
X − 1
3(X
2
+ X +1)
I. Không gian vector hình học
Chương này vector được trình bày dựa vào trực quan, với mục đích tạo mô hình hình
học giúp cho việc tư duy trừu tượng và khái quát hóa ở các chương sau. Để có thể
làm việc cụ thể hơn trên các vector, ngøi ta đại số hoá không gian hình học bằng
cách đưa vào hệ cở sở Descartes
1
. Khi đó các phép toán trên vector sẽ có công thức
tính thuận lợi, còn các đối tượng hình học như đường, mặt cong sẽ được mô tả bởi
các phương trình giúp cho việc nghiên cứu hình học dễ dàng và cụ thể hơn.

✑✸
−→
v
A
B
✑
✑
✑
✑
✑
✑✸
−→
v
phương
Hai vector
−→
AB,
−→
CD gọi là
bằng nhau
, ký hiệu
−→
AB=
−→
CD, nếuu chúng cùng độ dài và
hướng, i.e. ABDC là hình bình hành.
Vector không
, ký hiệu là
→
O

✡
✡
✡
✡
✡
✡✡✣
−→
u
✘
✘
✘
✘
✘
✘
✘
✘✿
−→
v
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑✸

✑
✑
✑
✑
✑✸
−→
u
+
−→
v
Tính chất. Với mọi vector
→
u
,
→
v
,
→
w
,tacó
→
u
+
→
v
=
→
v
+
→

+(−
→
v
)=
→
O
Hệ thức Chasles. Trong không gian cho các điểm A
0
,A
1
,···A
n
. Khi đó
−→
A
0
A
1
+
−→
A
1
A
2
+···+
−→
A
n−1
A
n

✑
✑
✑✸
−→
v
t ✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑✸
α
−→
v
(α>0)
✑
✑
✑
✑
✑
✑✰
α
−→
v
(α<0)
t
Tính chất. Với mọi vector
→

→
v
1
→
v
=
→
v
Chương I. Không gian vector hình học 17
2. Cơ sở Descartes - Tọa độ
Để có thể làm việc cụ thể hơn trên các vector, người ta đại số hóa như sau
2.1 Hệ cơ sở Descartes. Descartes đã đại số hoá mặt phẳng E
2
hay không gian
Euclid E
3
bằng cách đưa vào hệ tọa trục, mà chúng ta đã quen biết với cái tên gọi
hệ cơ sở Descartes
, là bộ bốn (O;
→
e
1
,
→
e
2
,
→
e
3

3
vuông góc với nhau từng đôi.
(ii) 
→
e
1
 = 
→
e
2
 = 
→
e
3
 =1.
(iii) Bộ ba (
→
e
1
,
→
e
2
,
→
e
3
) tạo thành tam diện thuận (?).
t
O

2
,e
3
thường được gọi tên là các trục
Ox, Oy, Oz tương ứng. Hệ cở sở trong mặt phẳng E
2
được đònh nghóa tương tự như
trong E
3
. Hơn nữa, ta sẽ đồng nhất E
2
với mặt phẳng Oxy trong E
3
, nên tiếp sau
đây các khái niệm sẽ chỉ được trình bày trong không gian.
2.2 Tọa độ. Khi cố đònh một hệ cơ sở Descartes (O;
→
e
1
,
→
e
2
,
→
e
3
), ta có:
• Mỗi điểm M ∈ E
3

→
e
1
+v
2
→
e
2
+v
3
→
e
3
. Ta có thể mô tả đại số vector
→
v
như bộ ba (v
1
,v
2
.v
3
)
gọi là
tọa độ vector
→
v
. Ta viết:
→
v

trong đó F : D → R, là một hàm số xác đònh trên D ⊂ R
3
.
Khi đó ta nói X được cho bởi phương trình F (x, y, z)=0.
Ví dụ.
a) Trong mặt phẳng, đường tròn tâm A =(a, b) bán kính R>0 là tập đònh nghóa
C = {M ∈ E
2
: khoảng các từ M đến A bằng R}
C được cho bởi phương trình: F (x, y)=(x − a)
2
+(y − b)
2
− R
2
=0.
b) Tương tự,ï trong không gian mặt cầu tâm A =(a, b, c), bán kính R>0 được cho
bởi phương trình
F (x, y, z)=(x − a)
2
+(y − b)
2
+(z − c)
2
− R
2
=0
Tổng quát hơn, khi các điều kiện (P
1
),··· , (P

2
,z=0,
mô tả giao của mặt cầu và mặt phẳng, vậy là đường tròn trên mặt phẳng Oxy
• Điều kiện hình học có thể mô tả bởi phương trình tham số:
Khi tập đang xét là đường cong C (chẳng hạn qũy đạo của một điểm), nó thường còn
được mô tả bởi
M ∈ C ⇔ (x = f (t),y = g(t),z = h(t)),t∈ I
trong đó f, g,h : I → R là các hàm xác đònh trên I ⊂ R.
Khi đó ta nói đường cong C được cho bởi phương trình tham số





x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
, với tham số t ∈ I
Chương I. Không gian vector hình học 19
Tương tự, mặt cong S thường còn được mô tả bởi
M ∈ S ⇔ (x = f (s, t),y = g(s, t),z = h(s, t)), (s, t) ∈ D
trong đó f, g,h : D → R là các hàm xác đònh trên D ⊂ R
2
.
Ta nói mặt S được cho bởi phương trình tham số






→
e
1
,
→
e
2
,
→
e
3
).
Cho ba vector
→
u
=(u
1
,u
2
,u
3
),
→
v
=(v
1
,v
2
,v
3

→
v
=(αv
1
,αv
2
,αv
3
).
3.3 Công thức tính độ dài. 
→
v
 =

v
2
1
+ v
2
2
+ v
2
3
(công thức Pythagore)
3.4 Công thức tính khoảng cách. Cho các điểm A(a
1
,a
2
,a
3

(b
1
− a
1
)
2
+(b
2
− a
2
)
2
+ b
3
− a
3
)
2
Ngoài các phép toán cộng và nhân với số, còn các phép toán cơ bản trên các vector
mà ta sẽ đònh nghóa và tính toán sau đây.
20
3.5 Tích vô hướng: <
→
u
,
→
v
>=
→
u

v
)
Về mặt hình học hình chiếu vuông góc của
→
u
lên phương
→
v
là
<
→
u
,
→
v
>

→
v

2
→
v
(Bài tập)
Công thức qua tọa độ:
<
→
u
,
→

→
u

2
= u
2
1
+ u
2
2
+ u
2
3
+ v
2
1
+ v
2
2
+ v
2
3
− 2(u
1
v
1
+ u
2
v
2

→
v
,
→
w
và các số α, β,tacó
<
→
u
,
→
v
> = <
→
v
,
→
u
>
<α
→
u
+ β
→
v
,
→
w
> = α<
→

v
= O
3.6 Tích hữu hướng:
→
u
×
→
v
=
→
u
∧
→
v
, gọi là
tích vector
của hai vector
→
u
,
→
v
(theo
đúng thứ tự đó), là một vector:
→
u
×
→
v
vuông góc với mặt phẳng (

v
| sin

(
→
u
,
→
v
)| =


→
u

2

→
v

2
− <
→
u
,
→
v
>
2
Về mặt hình học 

→
v
là vector
→
O
trong trường hợp một
trong hai vector bằng
→
O
, hay hai vector song song.
Ví dụ.
→
e
1
×
→
e
1
=
→
O
,
→
e
1
×
→
e
2
=

→
e
1
→
e
2
→
e
3
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3







=


v
1
v
3





→
e
2
+





u
1
u
2
v
1
v
2





→
u
×
→
v

2
= 
→
u

2

→
v

2
sin
2

(
→
u
,
→
v
) ,
ta có các phương trình tương ứng
u
1

v
3
− u
3
v
1
)
2
+(u
2
v
3
− u
3
v
2
)
2
Giải hệ phương trình, kết hợp với điều kiện (
→
u
,
→
v
,
→
u
×
→
v

→
w
= α
→
u
×
→
w
+ β
→
v
×
→
w
3.7 Tích hỗn hợp: của ba vector
→
u
,
→
v
,
→
w
được đònh nghóa là số
(
→
u
,
→
v

→
w
| cos(
→
u
×
→
v
,
→
w
)|
= Diện tích đáy × chiều cao của hình hộp bình hành tạo bởi
→
u
,
→
v
,
→
w
= Thể tích hình hộp bình hành tạo bởi
→
u
,
→
v
,
→
w

✟
✟
✂
✂
✂
✂
✂
✂
✂
✂
✂
✂
✟
✟
✟
Công thức qua tọa độ:
(
→
u
,
→
v
,
→
w
)=





u
,
→
v
,
→
w
) > 0, i.e. cos(
→
u
×
→
v
,
→
w
) > 0, hệ (
→
u
,
→
v
,
→
w
) gọi là
thuận
.
Khi (
→

song song khi và chỉ khi
→
u
×
→
v
=
→
O
.
c) Ba vector
→
u
,
→
v
,
→
w
đồng phẳng khi và chỉ khi (
→
u
,
→
v
,
→
w
)=0.
22

✑✸
−→
v
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
M
0
M
đường thẳng ∆
t✑
✑
✑
✑
✑✸
Vậy M =(x, y, z) ∈ ∆ nếu và chỉ nếu
−→
M

y − y
0
b
=
z − z
0
c
4.2 Phương trình mặt phẳng. Cho M
0
=(x
0
,y
0
,z
0
) và hai vector không song song
→
u
=(u
1
,u
2
,u
3
),
→
v
=(v
1
,v

❍
❍
❍❥
→
u
✏
✏
✏
✏
✏
✏✶
→
v
✻
→
n
P
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
Vậy M =(x, y, z) ∈ P nếu và chỉ nếu

2
z = z
0
+ su
3
+ tv
3
,s,t∈ R
Ta cũng có M =(x, y, z) ∈ P nếu và chỉ nếu (
−→
M
0
M,
→
u
,
→
v
)=<
−→
M
0
M,
→
u
×
→
v
>=0.
Từ đó ta có

z + D
1
=0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
=0
P
1
∩ P
2
⇔ A
1
B
2
− A
2
B
1
,B
1
C
2
− B
2

2
P
1
≡ P
2
⇔ A
1
: A
2
= B
1
: B
2
= C
1
: C
2
= D
1
: D
2
Bài toán 2:
Xét vò trí đường thẳng ∆ với mặt phẳng P.
Tương tự bài toán trên xét hệ phương trình xác đònh bởi đường thẳng và mặt phẳng.



x − x
0
a

0
+ By
0
+ Cz
0
+ D =0
Bài toán 3:
Tính góc giữa các mặt phẳng / đường thẳng.
Với ký hiệu ở trên ta có
cos(P
1
,P
2
)=| cos(
→
n
1
,
→
n
2
)| =
|A
1
A
2
+ B
1
B
2

n
)| =
|Aa + Bb + Cc|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
√
a
2
+ b
2
+ c
2
Bài toán 4:
Tính khoảng cách từ điểm M
0
=(x
0
,y
0
,z
0
) đến mặt phẳng
P : Ax + By + Cz + D =0.