Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
1
Trong các phần trước chúng ta ñã ñi xét một số dạng hệ mà có ñường lối giải tổng quát.
Trong ph
ần này chúng ta ñi xét một số hệ mà không có ñường lối giải tổng quát. ðể tìm
l
ời giải của những hệ này

1. Ph
ương pháp thế:
N
ội dung của phương pháp này từ một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình của
h
ệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào
ph
ương trình còn lại chuyển về phương trình một ẩn (có thể là ẩn phụ). Mục ñích của
vi
ệc làm này là giảm số ẩn. Tùy thuộc vào ñặc ñiểm của bài toán mà ta có những cách
biến ñổi phù hợp. Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau.
• N
ếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất ñối với một ẩn thì ta rút ẩn
ñó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn.
• Với hai số thực bất kì
x 0;y≠
ta luôn có
y tx=
(t là số
th
ự

p nghi
ệ
m
x y=
(các b
ạ
n th
ử
gi
ả
i thích
vì sao?), do
ñ
ó ta luôn phân tích ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho v
ề
d
ạ
ng:
(x y)g(x;y) 0− =
.
•

Trong h
ệ
ph
ươ

c bài toán.Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
3
x y 16 (1)
3x y 8 (2)

=


+ =


.

Gi
ải :
Ta th
ấy (2) là một phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta rút ẩn này qua ẩn kia.
T
ừ phương trình (2)
y 8 3x⇒ = −
thay vào phương trình (1) ta ñược:
3 4 3 2 2
x (8 3x) 16 3x 8x 16 0 (x 2) (3x 4x 4) 0 x 2− = ⇔ − + = ⇔ − + + = ⇔ =
V
ậy hệ có nghiệm là x y 2= = .
Chú ý : Ở cách giải trên ta thấy hệ có nghiệm duy nhất
x y 2= =

ấ
y th
ỏ
a mãn.
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
2
Ví dụ 2:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
( )
2 2
2 2
y(1 x ) x 1 y (1)
x 3y 1 (2)

+ = +



+ =

.


1
x 3y y 1 0
y
= ⇒ − + = phương trình vô nghiệm.
V
ậy nghiệm của hệ là:
1
x y
2
= = ± .
Ví d
ụ 3: Giải hệ phương trình:
3
1 1
x y (1)
x y
2y x 1 (2)

− = −



= +

.

Gi
ải:
xy 0≠


x
= −
thay vào (2), ta ñược:
4 2 2
1 1 3
x x 2 0 (x ) (x ) 0
2 2 2
+ + = ⇔ − + + + =
vô
nghi
ệm.
V
ậy hệ ñã cho có ba cặp nghiệm:
1 5
x y 1;x y
2
− ±
= = = =
. Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
3
Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau:
3
3
x y x y
x y x y 12

, khi ñó ta có ñược
h
ệ phương trình mới ñơn giản hơn nhiều.
ðể ñơn giản về mặt hình thức ta ñặt
a x y, b x y a,b 0= + = − ⇒ ≥
ta có hệ :
3 2
3
3 2
3
a a a a a 0 V a 1
b 4
b b 12
b (b 12)


= = = =

 
⇔ ⇔
  
=
= −
= −





.


= −



V
ậy nghiệm của hệ là:
5 3
(x;y) (2; 2), ( ; )
2 2
= − −
.

Ví d
ụ 4: Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
x y x y 2 (1)
x y x y 4 (2)

+ − − =


+ + − =


.

Gi
ải: ðK :
x | y |≥

  
+ = − − + = −
 
+ = −


Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
4
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 x 6 2 x 6
5
x
2
2x (2 x) (6 x) 2x 40 16x 2x
y 6
x y (6 x) y 36 12x
≤ ≤ ≤ ≤
 

=
 

⇔ = − + − ⇔ = − + ⇔
  
  
=


y(4 a)(a 2) y y(a 6a 9) 0 y 0; a 3− − = ⇔ − + = ⇔ = =
* V
ới
y 0=
thay vào (1) ta thấy hệ vô nghiệm.
* V
ới
a 3 x y 3= ⇔ + =
thay vào hệ ta có:
2 2
x 1 y 2
x 1 y 3 x x x 2 0
x 2 y 5
= ⇒ =

+ = = − ⇔ + − = ⇔

= − ⇒ =

.
V
ậy hệ ñã cho có hai cặp nghiệm:
(x;y) (1;2), ( 2;5)= −
.

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
x 8x y 2y (1)
x 3 3(y 1) (2)



.
* V
ới
x 0=
thay vào (3) ta có:
2
y 2 0
+ =
vô nghiệm.
* Với
2
3x 24
y
x
−
= thay vào (3) ta ñược:
2
2
2
3x 24
x 3 6
x
 
−
= +
 
 
 



∓
.
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
5
Vậy hệ có bốn cặp nghiệm:
96 78
(x;y) ( 3; 1), ( ; )
14 13
= ± ± ±
∓
.
Cách 2: Ta thấy x 0= không là nghiệm của hệ nên ta ñặt
y tx=
. Khi ñ
ó h
ệ
tr
ở
thành
3 3 3 2 3
3
2
2 2 2 2 2
x 8x t x 2tx x (1 t ) 2t 8
1 t t 4
3



.
*
2 2
x (1 3t ) 6
x 3
1
t
x
y 1
3
y
3

− =
= ±


=
⇒
⇔
 
= ±
=



.
*

ng trình:
2
2
| x 2x | y 1 (1)
x | y| 1 (2)

− + =


+ =


.

Giải: Từ (2)
1 x,y 1⇒ − ≤ ≤
.
Ta xét các tr
ường hợp sau
*
y 0≥
2 2
(1) x y 1 y 1 x⇒ ⇔ + = ⇔ = − thay vào (2) ta ñược:
2 2 2 2 2 2 4 2
| x 2x | 1 x 1 | x 2x | x x (x 2) x x ( 4x 4) 0− + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + =
x 0 y 1
x 1 y 0
= ⇒ =

⇔