ĐỀ TÀI
TIỂU LUẬN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Giáo viên hướng dẫn :
Sinh viên thực hiện :


Chương 1: Sai số
Bài 1: Hãy xác định giá trị của hàm số với sai số tuyệt đối và sai số tương đối
tương ứng với những giá trị của các đối số đã cho.
1.1/
)(
2
yzyxtgu
+=
,
.114,2;032,1;983,0
===
zyx

Ta có :
037283,0)114,2.032,1032,1.983,0(
2
=+=
tgu

.
[ ]
031732,2)032,1.983,0.2.()114,2.032,1032,1.983,0(1'
22
=++=


.
[ ]
033435,1032,1.)114,2.032,1032,1.983,0(1'
22
=++=
tgzu

Vậy:
333
10.5,0.033435,110.5,0.084571,310.5,0.031732,2.'.'.'
−−−
++=∆+∆+∆=∆
zzuyyuxxuu
003075,0
=∆
u

⇒
082477,0
037283,0
003075,0
==
∆
=
u
u
u
δ


xy
.
58399,0)732,4.133,0cos(.133,0..015,3)cos(...'
)732,4.133,0sin()sin(
===
exyxezyu
xy
.
801508,1'
)sin(
==
xy
ezu

Vậy:
( )
011582,010.5,0.801508,158399,0777737,20.'.'.'
3
=++=∆+∆+∆=∆
−
zzuyyuxxuu
⇒
002132,0
431548,5
011582,0
==
∆
=
u
u

05776,0)sin(..'
2
−=−=
yzzxyu

.
868395,0)sin('
2
−=−=
yzyxzu

Vậy :
( )
[ ]
001799,010.05.05776,010.5,0.868395,015183,2.'.'.'
23
=++=∆+∆+∆=∆
−−
zzuyyuxxuu
⇒
001477,0
217936,1
001799,0
==
∆
=
u
u
u
δ

x
z
xu

.
341537,2'
2
==
y
z
yu

.
226914,6)ln(.2'
−==
xyzzu

Vậy :
( )
020789,010.5,0.226914,6341537,2009959,33.'.'.'
3
=++=∆+∆+∆=∆
−
zzuyyuxxuu
⇒
003314,0
273616,6
020789,0
==
∆

==
yzxxu

.
577701,2)cos(.'
2
==
yzzxyu

.
123381,0)cos(.'
2
==
yzyxzu

Vậy:
( )
001591,010.5,0.123381,0577701,2480047,0.'.'.'
3
=++=∆+∆+∆=∆
−
zzuyyuxxuu
⇒
005955,0
267146,0
001591,0
==
∆
=
u

xu

.
30942,0'
)ln(
==
xy
e
y
z
yu

.
734022,0'
)ln(
==
xy
ezu

Vậy:
[ ]
( )
008152,010.5,0.734022,010.5,0.30942,065421,8.'.'.'
23
=++=∆+∆+∆=∆
−−
zzuyyuxxuu
⇒
005815,0
401982,1

2
055,0.2085,0
==
+
u

.
738302,01.2ln.2'
2
055,0.2085,0
==
+
xu

.
162426,0055,0.4.2ln.2'
2
055,0.2085,0
==
+
yu

Vậy :
00045,010.5,0.162426,010.5,0.738302,0.'.'
33
=+=∆+∆=∆
−−
yyuxxuu

⇒

=+=
−
zzxyxu
y

.
407779,1)1ln(.)1('
=++=
zxzxyu
y

.
405139,0.)1('
1
=+=
−
xzxyzu
y

Vậy:
∆u =
( )
004289,010.5,0.405139,0407779,1764095,6.'.'.'
3
=++=∆+∆+∆
−
zzuyyuxxu

⇒
002102,0

( ) 0, 229173
6 6
d
V
π
′
= = =
Sai số tuyệt đối:
3 3 3
( ). ( ) 1,941.0,5.10 0,229173.0,5.10 1,085.10
V d
V d V
π
π
− − −
′ ′
∆ = ∆ + ∆ = + =
Chương 2: Giải phương trình đại số và phương
trình siêu việt
Bài 1: Dùng phương pháp chia đôi giải các phương trình sau và tính số lần
lặp với ε = 10
-3
.
1.1/
1sin
=
xx
,
[ ]
2;1

−
=+


















−
=
−
ε
ab
n
( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0496242,05,15,1

2
33
fcf
ba
c
thay
3
cb
=

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
=
0071827,00625,10625,1
2
44
fcf
ba
c
thay
4
ca
=

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
=
0028362,009375,109375,1

2
77
fcf
ba
c
thay
7
cb
=

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
=
0001216,0113282,1113282,1
2
88
fcf
ba
c
thay
8
ca
=

( ) ( )
⇒>==⇒
+
=
0001497,0115235,1115235,1

0
∈
x
.
( )
xxxf cos
−=

( ) ( )
010
<−==
faf

( ) ( )
0459698,01
>==
fbf

Số lần chia đôi:
101
2ln
10
01
ln
1
2ln
ln
3
=+
−

2
11
fcf
ba
c
thay
1
ca
=

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
=
0134337,075,075,0
2
22
fcf
ba
c
thay
2
cb
=

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
=
0020394,0625,0625,0

fcf
ba
c
thay
5
cb
=

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
=
0001332,0640625,0640625,0
2
66
fcf
ba
c
thay
6
ca
=

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0008228,0648438,0648438,0
2
77
fcf

thay
9
cb
=

641602,0
2
642579,0640625,0
2
10
=
+
=
+
=⇒
ba
c
là nghiệm của phương trình.
3.1/
tgxx
=
;
[ ]
5,4;4
0
∈
x
.
( )
tgxxxf














−
=
−
ε
ab
n

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0243691,225,425,4
2
11
fcf
ba
c
thay

=

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0445853,046875,446875,4
2
44
fcf
ba
c
thay
4
ca
=

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
=
0174948,0484375,4484375,4
2
55
fcf
ba
c
thay
5
ca
=


( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
=
0014821,0494141,4494141,4
2
88
fcf
ba
c
thay
8
cb
=

493165,4
2
494141,4492188,4
2
9
=
+
=
+
=⇒
ba
c
là nghiệm của phương trình.
Bài 2: Dùng phương pháp lặp giải các phương trình sau với

( )
[ ]



∈∀>−=
<−=−==
2;1013'
055.12.1.
2
xxxf
ffbfaf

( )
0'
=⇒
xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
2;1
.
( )
3
1*
+=⇒
xx
đặt
( )
3
1

2
21
0
=
+
=
x

( )
5
011
3
001
1006735,0
1
357209,11
−
>=−
−
=∆⇒=+==
xx
M
M
xxx
ϕ

( )
5
122
3

ϕ

( )
5
344
3
334
10000446,0
1
324939,11
−
>=−
−
=∆⇒=+==
xx
M
M
xxx
ϕ

( )
5
455
3
445
10000085,0
1
324759,11
−
>=−

667
100000033,0
1
324719,11
−
<=−
−
=∆⇒=+==
xx
M
M
xxx
ϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
324719,1
7
=
x

2.2/
033
24
=−−
xx
;
[ ]
2;1
0
∈

xxxxf
ff

( )
0
=⇒
xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
2;1

( )
4
2
33*
+=⇒
xx
đặt
( )
4
2
33
+=
xx
ϕ

( )
( )
2
33.3


( ) ( )
5
01101
1017334,0
1
767059,15,1
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
12212
10070255,0
1
875299,1767059,1
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
45545
10004429,0
1
942651,1935827,1
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
56656
10001754,0
1
945353,1942651,1
−
>=−
−

>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
89989
10000108,0
1
947013,1946846,1
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
91010910
10000043,0
1

100000065,0
1
947116,1947106,1
−
<=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
947116,1
12
=
x

3.2/
042
34
=−−
xx
;
[ ]
3;2
0
∈
x

( )
4
3
42*
+=⇒
xx
đặt
( )
4
3
42
+=
xx
ϕ

( )
( )
2
42.3
'
4
3
3
−
+
=⇒
xx
x
ϕ


ϕϕ

( ) ( )
5
12212
10019076,0
1
395571,2436631,2
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
23323
10012354,0
1
368979,2395571,2
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M

xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
56656
10003348,0
1
33342,2340626,2
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
67767
10002165,0
1
328759,233342,2
−
>=−

−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
91010910
10000585,0
1
322537,2323797,2
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1011111011
10000379,0

1213131213
10000158,0
1
320855,2321195,2
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1314141314
10000102,0
1
320635,2320855,2
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ


ϕϕ

( ) ( )
5
1617171617
10000028,0
1
320341,2320401,2
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1718181718
10000018,0
1
320302,2320341,2
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M

xx
M
M
xx
ϕϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
320261,2
20
=
x
.
4.2/
x
x
=+
2
sin5,0
π
;
[ ]
π
2;0
0
∈
x
.
( )
(*)
2

0
=⇒
xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
π
2;0
.
( )
2
sin.5,0*
x
x
+=⇒
π
đặt
( )
2
sin.5,0
x
x
+=
πϕ

( )
2
cos.25,0'
x
x
=⇒

M
M
xxx
πϕϕ

( ) ( )
5
12212
10005181,0
1
626049,3641593,3
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xxx
ϕϕ

( ) ( )
5
23323
10000316,0
1
626996,3626049,3
−
>=−
−

<=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xxx
ϕϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
626942,3
5
=
x
.
5.2/
02
=−
−
x
x
;
[ ]
1;3,0
0
∈
x
.
( )
(*)2

=⇒
2(*)
đặt
( )
x
x
−
=
2
ϕ
.
( )
2ln.2'
x
x
−
−=⇒
ϕ

( )
56301,0'max
==⇒
xM
ϕ

Đặt
65,0
2
13,0
0

=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
23323
10003234,0
1
640414,0642924,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
34434
10001437,0
1
641529,0640414,0
−

641254,0641033,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
67767
10000128,0
1
641155,0641254,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
78878

5
91010910
100000103,0
1
641188,064118,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1011111011
100000039,0
1
641185,0641188,0
−
<=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

[ ]



∈∀>−=
<−=−=
1;006'
0281718,0281718,0.11.0
xexxf
ff
x

( )
0
=⇒
xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
1;0
.
3
(*)
x
e
x
=⇒
đặt
( )
3
x

( ) ( )
5
01101
10219177,0
1
741332,05,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
12212
10086347,0
1
836407,0741332,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx

M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
45545
10007367,0
1
903281,0895169,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
56656
10003334,0
1
906952,0903281,0
−
>=−
−
=∆⇒===

−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
89989
10000312,0
1
90972,0909376,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
91010910
100001417,0
1
909876,090972,0

1
90998,0909948,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1213131213
100000136,0
1
909995,090998,0
−
>=−
−
=∆⇒===
xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5

1.3/
052
23
=−−
xx
;
[ ]
4;1
0
∈
x
.
( )
052
23
=−−=
xxxf

( )
xxxf 43'
2
−=

( )
46''
−=
xxf
;
( )
6'''

3
5 5
' ' 4 .32 0
3 3
f f
f f

 
<
 ÷

  

 

= >
 ÷

 


⇒ f(x) có nghiệm duy nhất trong khoảng
5
,4
3
 
 
 
Với
( )

Ta đặt x
0
= 4
( )
( )
4 0
4 0
f
f
′′

>


>


Với
5
5
,4
,4
3
3
5
min ( ) , max ( ) 20
3
m f x M f x
 
 

=
, với
5
2
0,122 10
−
∆ = >

3
2,6907238x =
, với
4 5
3
8, 2.10 10
− −
∆ = >

4
2,69064745x =
, với
8 5
4
3,4975.10 10
− −
∆ = <
⇒ x
4
là nghiệm gần đúng, x
3
là nghiệm đúng của phương trình

f f
f f

− − = − =<


− − = =


Vì vậy ta cần thay đổi khoảng li nghiệm, ta chọn
[ ]
3; 2,5− −
Khi đó
( ) ( )
( ) ( )
3 . 2,5 0
' 3 ' 2,5 9.3,75 33,75 0
f f
f f

− − <


− − = = >


⇒ f(x) có duy nhất 1 nghiệm trong khoảng
[ ]
3, 2,5− −
Với


− >


Với
[ ]
[ ]
3, 2,5
3, 2,5
min ( ) 3,75; max ( ) 9m f x M f x
− −
− −
′ ′′
= = = =
⇒
0
1 0
0
( )
( 3)
3 2,888888
( ) ( 3)
f x
f
x x
f x f
−
= − = − − = −
′ ′
−

là nghiệm gần đúng, x
2
là nghiệm đúng của phương trình
3.3/ x- cosx = 0 ; x
0
∈
0,
2
π
 
 
 
( ) cosf x x x
= −
( ) 1 sinf x x
′
= +
> 0 ∀x∈
0,
2
π
 
 
 
( ) osf x c x
′′
=
> 0 ∀x∈
0,
2

 

⇒ f(x) có duy nhất 1 nghiệm trong khoảng
0,
2
π
 
 
 
Với
( ) cos
(0) 1
( ) 0,9996242
2
f x x
f
f
π


′′
=

′′
=


′′

=

0,
0,
2
2
min ( ) 1, max ( ) 1m f x M f x
π
π
 
 
 
 
 
 
′ ′′
= = = =
⇒
0
1 0
0
( )
0,785398163
( )
f x
x x
f x
= − =
′
, với
2
5

là nghiệm đúng của phương trình.
4.3/
2
1
ln x
x
−
= 0 ; x
0
∈
[ ]
1,2
[ ]
[ ]
[ ]
2
3
2 4
3 5
1
( ) ln
1 2
( ) 0 1, 2
1 6
( ) 0 1, 2
2 24
( ) 0 1,2
f x x
x
f x x

Với
2 4
1 6
( )
(1) 7
(2) 0,625
f x
x x
f
f

′′
= − −


′′
= −


′′
= −


Ta đặt x
0
= 1
Với m =
[ ]
[ ]
1,2

2
1.5057681x =
,với
5
2
0.012389>10
−
∆ =

3
1,5311639x =
, với
4 5
3
2,687.10 >10
− −
∆ =

4
1,5315842x =
, với
8 5
4
7,36.10 <10
− −
∆ =
Vậy x
4
là nghiệm gần đúng, x
3

x x y z
y x y z
z x y z

= + + +



⇔ = + + + +



= + + + +


Hay:
X X
α β
= +
Với:
5 5
0
102 51
11 5
0
103 103
11 3
0
104 26
α

( )
1 0
1 0
f
f
′′

<


<




Kiểm tra điều kiện hội tụ:
5 16 23 23
max , , 1
34 103 104 104
α
∞
 
= = <
 
 


Chọn:
0
0 0

Ta tính được:
1
2
3
0.591604
0.972764
1.521777
0.976290
0.999772
1.557123
0.981079
1.004124
1.562851
X
X
X
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 


=
0
0
0
0
X
1 1 6
0
10 10 5
1 1 6
0
10 10 5
1 1 6
0
10 10 5
x x y z
y x y z
z x y z

= − − +



⇔ = − + − +



= − − + +


5
6
5
6
5
β
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
,


Kiểm tra điều kiện hội tụ:
1 1 1 1
max , , 1
5 5 5 5
α
∞
 
= = <
 
 
Cho:

1 1 6
0
10 10 5
x x y z
X y x y z
z x y z

= − − +



= = − + − +



= − + + +


Tương tự ta tính được:

1
1.2
1.08
0.972
X
 
 
=
 
 

<10-
5−
và đánh giá sai số.
1)





=+−−
=−+−
=−−
398,104,112,011,0
849,005,003,111,0
795,01,005.002,1
zyx
zyx
zyx
5 5 53
0
102 51 68
11 5 849
0
103 103 1030
11 3 699
0
104 26 520
x x y z
y x y z
z x y z

 
 
=
 
 
 
 
 
,
53
68
849
1030
699
520
β
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 


Kiểm tra điều kiện hội tụ:
5 16 23 23

 
 
 
 
 
 
 
1 0
X X
α β
⇒ = +
Ta tính được:

1
2
3
4
0.951604
0.972764
1.521777
0.976290
0.999772
1.557123
0.981079
1.004124
1.562850
0.981854
1.004914
1.563859
X

7
8
0.981992
1.005046
1.564032
0.982015
1.005069
1.564062
0.982019
1.005072
1.564067
0.982019
1.005073
1.564068
X
X
X
X
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 

x y z
− − =


− + − =


− − + =

25 5 103
0
102 17 204
41 15 311
0
113 113 226
25 14 278
0
121 121 121
x x y z
y x y z
z x y z

= + + +



⇔ = + + +




204
311
226
278
121
β
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 

Kiểm tra điều kiện hội tụ:
55 56 39 55
max , , 1
102 113 121 102
α
∞
 
= = <
 
 
Chọn:
0
0 0

Ta tính được:

1
2
3
4
5
6
1.517924
1.864281
2.561058
1.715086
2.266821
2.826843
1.891920
2.373639
2.914154
1.943780
2.449390
2.963049
1.976728
2.474697
2.982529
1.988660
2.48
X
X
X
X
X

 
=
7
8
9237
2.992264
1.992087
2.494858
2.996412
1.997684
2.497741
2.998390
X
X
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 

 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 

 
⇒
{ }
16 15 6 6 6 6 5
max 5.10 ,5.10 ,4.10 5.10 10X X
ε
− − − − −
∞
− = = < =

Vậy: X
16
là nghiệm gần đúng của phương trình.

4)
4 8
2 5 2 3
2 4 11
x y z
x y z
x y z
− + =


+ − =


+ + =



Với:
1 1
0
4 4
2 2
0
5 5
1 1
0
4 2
α
 
−
 
 
 
= − −
 
 
 
− −
 
 
,
2
3
2
11
4
β

X y
z
β
 
 
 
 
 
 
= = =
 
 
 
 
 
 
 
1 0
X X
α β
⇒ = +
Ta tính được:
1
2
3
4
5
6
1.6875
0.4

=
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
= −
 
 
 

= −

7
1.391272
0.026608
2.407397
X

1.391311
0.021633
2.413161
1.3
X
X
X
X
X
X
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 

 

15
16
17
18
19
20
1.391304
0.021750
2.413032
1.391305
0.021734
2.413049
1.391304
0.021741
2.413041
1.391304
0.021738
2.413045
1.391304
0.021740
2.413043
1
X
X
X
X
X
X

=
.391304
0.021739
2.413043
 
 
−
 
 
 
{ }
20 19 6 6 5
max 0,0,4.10 10 10X X
ε
− − −
∞
− = = < =

Vậy: X
20
là nghiệm gần đúng của phương trình.

5)
4 2 9
2 4 5
3 9
x y z
x y z
x y z
+ + =



Hay:
X X
α β
= +