SỞ GD-ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI HỌC SINH GIỎI OLIMPIC ĐBSCL
TRƯỜNG THPT THỊ XÃ CAO LÃNH NĂM HỌC 2005-2006
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
Thời gian : 180 phút

----------***----------
Bài 1: (Số học)
Tìm tất cả các số tự nhiên x và y thoả mãn phương trình :

4
( ) 3361 11296320xy  

Bài 2: (Đại số )
Cho các số x,y,z thỏa mãn:
2
22
 yxyx
.
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:

22
32 yxyxA Bài 3: (Dãy số )

Cho dãy số thực
)(
n
x
, n=1,2,3,...xác đònh bởi

,BB
'
,CC
'
lần lượt cắt vòng tròn ngoại tiếp tại
111
,, CBA
. Tìm GTLN của:

1
'
1
'
1
'
CC
CC
BB
BB
AA
AA
T 

Bài 5: (Hình học không gian)

Cho tứ diện ABCD. Giả sử tứ diện này được chia thành hai phần bởi một mặt phẳng
song song với AB và CD, khoảng cách từ mặt phẳng này đến AB bằng 2 lần khoảng
cách đến CD.Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.

-----------------Hết----------------


2
( ) 4 3361 4( ) 328 105x y xy x y xy     
(1) (1đ)
Vế trái của (1) là số hữu tỉ nên điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là cả hai
vế của (1) đều bằng không . Khi đó ta có hệ phương trình:

2
( ) 4 3361 0
4( ) 328 105 0
x y xy
x y xy

   


  


(1đ)
Đặt : S=x+y, P=xy ta được hệ:

2
4 3361 0 (2)
82 105 (3)
SP
SP

  


t=20 hoặc t=21. (1đ)
Vậy phương trình có hai nghiệm là (20;21); (21;20).
Bài 2: (4 điểm)

Cho các số x,y,z thỏa mãn:
2
22
 yxyx
.
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:

22
32 yxyxA 
Hướng dẫn giải:
Xét trường hợp y=0 thì
2
2
x


22
2
22
22
'
)1(
543
)1(
)32)(12()1)(22(
)(






tt
tt
tt
tttttt
tf
(0,5 đ)
3
192
3
192
05430)(
21
2'

(1 đ)
Do đó:
))(2max
1 2
2f(tminAvà  tfA

Kết luận:
19738
19476
min&
19738
19476





 AMaxA
(0,5 đ)
t









33
2
23
1
1
nnn
xxx
x

Tìm số hạng tổng quát của x
n

Hướng dẫn giải:
Đặt:
1,1  nxy
nn
(0,5 đ)
Từ dãy
)(
n
x
ta có dãy
)(





1.
3
21
21
xx
xx
(0,5 đ)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng:
11
3
2
3
1


nn
xxy
n
(2)
1n
(0,5 đ)
Với n=1: hiển nhiên có (2)
Giả sử đã có (2) với n=k (
1k
). Tức là :
11

21
3
2
3
1
3
2
3
1
33
2
3
1
3
1
11111
1111






xxx
xxxxxxxx
xxxxyyy
kk
kkkkkkk
kkkk
kkk

1
2
53
2
53
11
33





















 nn
n

1
'
1
'
1
'
CC
CC
BB
BB
AA
AA
T 

c
b
a
A1
C1
B1
B'
C'
A'
B
A
C


)(.
2
2
1
'''
1
'
a
mAAAAAAAAAA
a

(0,5 đ)
Từ đó:
22
2
22
222
1
'
2'
1
'
.
2
1
1
22
.
2
1

1
'
ba
c
ac
b
cb
a
CC
CC
BB
BB
AA
AA






(0,5 đ)
Ta có:

 

3)
111
.()()()(
2
1


















accbba
accbba
accbba
cb
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac