SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Môn: TOÁN CHUYÊN - Năm học 2009-2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (3 điểm)
a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức :
3 3 13 4 3 1   
.
b) Giải hệ phương trình :
2
15
( 2 1) 36
xy
x x y

  


  



Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trình:
42
2 2 1 0x mx m   
.
Tìm giá trị
m
để phương trình có bốn nghiệm
1 2 3 4

Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng
minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi
phần là số nguyên.

Hết
SBD thí sinh: ................. Chữ ký GT1: ..............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Môn: TOÁN CHUYÊN - Năm học 2009-2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút

BÀI NỘI DUNG Điểm
B.1 3,0
1.a
 
 
2
2

1ux
,
vy
(
0, 0uv
), ta có hệ
5
6
uv
uv






0,50
Giải ra : u

= 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2 0,25
Trường hợp u

= 2 , v = 3 có : ( x

= 1 ;

y = 9 ) hoặc ( x

=


2 2 1 0t mt m   
(2) (
0t 
) .
0,25
 
2
2
' 2 1 1 0m m m      
với mọi
m
.
0,25
Vậy để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (2) luôn có hai nghiệm dương phân biệt
12
,tt
.
Tương đương với:
1
' 0, 2 1 0, 2 0 , 1
2
P m S m m m         
(3)
0,25
Với điều kiện (3), phương trình (2) có 2 nghiệm dương
12
0 tt
và phương trình (1)
có 4 nghiệm phân biệt:
1 2 2 1 3 1 4 2

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ là:
5
9
m 
và
5m 
.
0,50
2

B.3

3,0
3.a
+ Hình vẽ


0
90 //CPA BMA CP BM  

Do đó :
AP AC
AM AB

(1)
+ Tương tự:

và
 
PEM EAM
.
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra:
2
ME MP
ME MA MP
MA ME
   
0,50

0,50

3.c
+ Tương tự ta cũng có:
2
NF NA NQ

+ Do đó:
2
2
ME MA MP
NF NA NQ



. (a, b, c, d là các số nguyên).
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của
ca
pq
db
  

0,25
Do b, c là số tự nhiên nên:
1c b c b   
. Vì vậy :
11
9
b
pq
b

  

1 1 1 1 7
2
9 9 9 9 9
bb
pq

; a, b, c
*
N
, diện tích tam giác ABC là
2
ab
S 

Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.
0.25
3

+ Chứng minh
3ab

Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì
22
ab
chia 3 dư 2.
Suy ra số chính phương
2
c
chia 3 dư 2, vô lý.
0,25

+ Chứng minh
4ab

- Nếu a, b chẵn thì
4ab

ab
là
một số nguyên.
0.25
Ghi chó:
 Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nh-ng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi
®a.
 §iÓm toµn bµi kh«ng lµm trßn.