GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
HYPEBOL

1.
ðịnh nghĩa : Tập hợp các ñiểm M của mặt phẳng sao cho
1 2
| | 2 MF MF a− =
(2a không
ñổi và
0c a> >
) là một Hypebol.
*
1 2
, F F
: cố ñịnh là 2 tiêu ñiểm và
1 2
2F F c=
là tiêu cự.
* MF
1
, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2. Ph
ương trình chính tắc của hypebol:
2 2
2 2
1
x y

b c a= −
.

* Tâm sai:
2 2
c a b
e
a a
+
= =

* Hai ñường chuẩn:
2
a a
x
e c
= ± = ±

*
ðộ dài các bán kính qua tiêu của
( )
( )
0 0
;M x y H∈
:
+)
1 0
MF ex a= +
và
2 0

2 2
1
x y
a b
− =

*T
ại
( )
( )
0 0 0
; M x y H∈
có phương trình:
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
*
ði qua
1 1
( ; )M x y là
1 1
: ( ) ( ) 0A x x B y y∆ − + − = với ñiều kiện:
∆ ti
ếp xúc (H) ⇔
2 2 2 2 2
A a B b C− = với
( )

.
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) ñi qua
(12;9)M
.

Gi
ải:
1)
{
2
2
16 4
3
9
a a
b
b

= =
⇒

=
=

,
2 2 2
25 5c a b c= + = ⇒ =
.
T
ừ ñó suy ra:

:
0 0
1 3 7 9 0
16 9
xx yy
x y
− = ⇔ − − =
.
3) Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( 12) ( 9) 0 12 9 0A x B y Ax By A B− + − = ⇔ + − − =

ðk tiếp xúc:
2 2 2 2 2
3
4
16 9 (12 9 ) 64 108 45 0
15
16
A B
A B A B A AB B
A B

= −

− = + ⇔ + + = ⇔


= −



. GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
Gi
ải:
1) Ta có:
{
2 8
4
5
3
4
a
a
b
e
=


=
⇒

=
=




= ±


− =
⇒ ⇔
 
 
= ±
+ =


4 34 9
;
5 5
M
 
⇒
± ±
 
 
.
Ví dụ 3:

Cho hypebol (H) :
2 2
2 2
1.
x y
a b
− =

M x y H b x a y a b
a b
∈ ⇒ − = ⇔ − =
.
Ta có:
0 0 0 0
1 2
2 2 2 2
| | | |
( , ) ; ( , )
bx ay bx ay
d M d d M d
a b a b
− +
= =
+ +

2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
1 2 0 0
2 2 2 2
2 2 2 2
| | | |
1
( , ). ( , ) . | |
bx ay bx ay
a b
d M d d M d b x a y
a b a b


Gi
ải:
Gi
ả sử
0 0
2 2
: 1
xx yy
a b
∆ − = với
2 2 2 2 2 2
0 0
b x a y a b− = , tiếp tuyến tại A và A’:
x a=
và
x a= −

2 2 2
0 0 0
1
0 0 0
( ) ( ) ( )
( ; ); '( ; ) ( ; )
b x a b x a b x a
T a T a FT a c
ay ay ay
− + −
⇒ − − ⇒ = +


 

T
ương tự ta cũng có:
2 2
'F T F T⊥ ⇒
ñpcm.
b) Ta có:
4 2 2 2 2 2 2
2 2
0 0
2 2 2 2
0 0
( ) | |
. ’ ’ | |
b x a b x b a
AT A T b b
a y a y
− −
= = =
.
Chú ý: Ta có th
ể giải bài toán trên bằng phương pháp
hình h
ọc tổng hợp. Bài tập:
1/ Xác
ñịnh tiêu ñiểm;tâm sai,tiêu cự của hypepol :

− =
Gọi F
1
,F
2
là các tiêu ñiểm và A
1
,A
2
là các ñỉnh của (H) .
M là m
ột ñiểm tùy ý trên (H) có hình chiếu trên Ox là N . Chứng minh rằng:

2 2 2
1 2
) .a OM MF MF a b− = −
.
( )
( )
2
2 2
1 2
) 4b MF MF OM b+ = +
c)
2
2
1 2
2
.
b