Cao Văn Dũng
SV: Lớp K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Phạm – ĐHQGHN
Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur
Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt và đẹp mắt có nhiều ứng
dụng để giải toán, nhưng khi áp dụng nó thì phải chứng minh nó xong rồi
mới được áp dụng. Bài viết này xin nêu ra một số cách để chứng minh,
mong bạn đọc có them nhiều cách hay khác nữa đóng góp để cho bài viết
trở nên phong phú hơn.
Ta có bài toán bất đẳng thức Schur: Với các số thực không âm a,b,c ta
luôn có bất đẳng thức sau:
( )( ) ( )( ) ( )( )
0
≥−−+−−+−−
bcaccabcbbcabaa
.
CM:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên ta có thể giả sử
cba
≥≥
.
Đặt
0;0
≥−=≥−=
cbybax
nên bất đẳng thức được viết lại thành:
( ) ( ) ( ) ( )
.0
≥+++++−+
yxxyxcxyycyyxc

thức tương đương:
0
>
−
+
−
−
−
ba
c
ca
b
cb
a
bất đẳng thức trên luôn đúng do
.
0
0
ca
b
cb
a
cacb
ba
−
>
−




2222222'
≥−+−++−=−+−−−++−=
−+−+−+−=−−−−+=
cbccababacbcbacbaababa
cbcacbcababacacbabbcaxf
Nên
)(xf
đồng biến
Nên
( ) ( ) ( ) ( )
.023
2
23
≥−=+−+=≥
caccaaccacbfaf
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.
Cách 4: (Đánh giá)
Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử
cba
≥≥
.
Khi đó ta có:
( )( )
0
≥−−
bcacc
.
Ta xét:
( ) ( ) ( )( )
0

2
,
2
,,,
2






++
≥⇒≥−






−+=






++
−
cbcb
afcbafcbacb