Quá Trình Sinh Hủy
(Birth and Death Processes)
C.Lam - L.T.Huu
Tóm tắt nội dung
Quá trình sinh hủy là một mô hình ngẫu nhiên có tính Markov nghiên cứu về sự
tăng hay giảm số phần tử trong một hệ theo thời gian. Bây giờ ta sẽ đi xây dựng
lần lượt các mô hình sinh hủy có tỷ lệ thuần nhất, mô hình sinh hủy tổng quát và
cụ thể là mô hình sinh hủy tuyến tính. Bằng việc thiết lập các phương trình vi phân
Kolmogorov, ta sẽ tìm được các đặc trưng cơ bản (kỳ vọng, phương sai, ) và hơn thế
nữa là luật phân phối của mô hình.
1 Quá trình sinh thuần nhất: (Pure Birth Processes)
Định nghĩa 1. (Quá trình sinh thuần nhất)
Nếu quá trình đếm {B(t), t ≥ 0} là xích Markov với xác suất chuyển dừng và thỏa các
tính chất sau:
Với mọi t ≥ 0, h > 0,
i) B(0) = 0,(tại thời điểm ban đầu t = 0, quá trình không có phần tử nào)
ii) P [B(t + h) = j + 1|B(t) = j] = λ
j
h + o(h),
iii) P [B(t + h) = j|B(t) = j] = 1 − λ
j
h + o(h),
iv) P [B(t + h) ≥ j + 2|B(t) = j] = o(h),
v) P [B(t + h) < j|B(t) = j] = 0
Khi đó B(t) gọi là quá trình sinh thuần nhất với tham số λ
j
, j = 0, 1, 2,
Xác suất chuyển từ trạng thái có i phần tử sang trạng thái có j phần tử sau một đơn vị
thời gian h, và xem h đủ nhỏ để hệ sinh ra phần tử trong một đơn vị thời gian, thỏa phương
trình Chapman - Kolmogorov:
P

Định nghĩa 2. (Quá trình hủy thuần nhất)
Nếu quá trình đếm {D(t), t ≥ 0} là xích Markov với xác suất chuyển dừng thỏa các tính
chất sau:
Với mọi t ≥ 0, h > 0,
i) D(0) = j, (tại thời điểm ban đầu t = 0, quá trình có j phần tử)
ii) P [D(t + h) = j − 1|D(t) = j] = µ
j
h + o(h),
iii) P [D(t + h) = j|D(t) = j] = 1 − µ
j
h + o(h),
2
iv) P [D(t + h) ≥ j − 2|D(t) = j] = o(h),
v) P [D(t + h) > j|D(t) = j] = 0, j = 0, 1,
Khi đó D(t) gọi là quá trình hủy thuần nhất với tham số µ
j
, j = 1, 2, , n.
Trong quá trình hủy thuần nhất thì hầu hết các sự kiện xảy ra trong bất kỳ thời gian
nào, vì không có sự kiện nào xảy ra khi quá trình đạt trạng thái 0, tức là trạng thái 0 là
trạng thái hấp thu.
Hình 2: Đồ thị của quá trình hủy thuần nhất
Từ Định nghĩa 2, ta có các dạng xác suất chuyển của quá trình hủy thuần nhất như sau:
Với mọi t ≥ 0, h > 0,
• P
j,j−1
(h) = P [D(t + h) = j − 1|D(t) = j] = µ
j
h + o(h), j ≥ 1,
(nghĩa là, xác suất " mất một phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất
µ

j
h + o(h), ∀j ≥ 0,
iii) P [X(t + h) = j − 1|X(t) = j] = µ
j
h + o(h),∀j ≥ 1,
iv) P [X(t + h) = j + a|X(t) = j] = o(h), ∀a ≥ 2,
v) P [X(t + h) = j − a|X(t) = j] = o(h), ∀a ≥ 2,
vi) P [X(t + h) = j|X(t) = j] = 1 − (λ
j
+ µ
j+1
)h + o(h),∀j ≥ 0,
Khi đó X(t) gọi là quá trình sinh hủy tổng quát với hai tham số λ
j
, µ
j+1
, j = 0, 1, 2,
4
Hình 4: Quá trình sinh hủy tổng quát.
Bây giờ ta đặt λ
j
, µ
j
, với mọi j ≥ 0, lần lượt là tỷ lệ sinh và tỷ lệ hủy của quá trình sinh
hủy tổng quát. Ta thấy chúng phụ thuộc vào j (số phần tử tại t) và thời gian t. Cùng với
tính thuần nhất theo thời gian, ta có các xác suất chuyển của quá trình sinh hủy tổng quát
như sau:
• P
j,j−1
(h) = P [X(t + h) = j − 1|X(t) = j] = µ

(h) = P [X(t + h) = j + a|X(t) = j] = o(h), a ≥ 2,
(nghĩa là, xác suất "thêm hơn hai phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất
o(h) )
• P
j,j−a
(h) = P [X(t + h) = j − a|X(t) = j] = o(h), a ≥ 2,
(nghĩa là, xác suất "mất hơn hai phần tử" sau một đơn vị thời gian h với xác suất
o(h) )
Tiếp đến ta sử dụng phương trình Chapman - Kolmogorov:
5
Xét trường hợp j ≥ 2 :
P
ij
(t + h) = + P
i,j−2
(t).P
j−2,j
(h) + P
i,j−1
(t).P
j−1,j
(h) + P
ij
(t).P
jj
(h)
+P
i,j+1
(t).P
j+1,j

+ µ
j
)h + o(h)] + P
i,j+1
(t). [µ
j+1
h + o(h)]
(3.2)
Nên với j = 0 :
P
i0
(t + h) =P
i,0
(t).P
0,0
(h) + P
i,1
(t).P
1,0
(h) + P
i,2
(t).P
2,0
(h) +
=P
i,0
(t). [1 − λ
0
h + o(h)] + P
i,1

(t)
h
=
−λ
0
hP
i,0
(t) + µ
1
h.P
i,1
(t) + o(h)
h
⇐⇒ lim
h→0
P
i0
(t + h) − P
i0
(t)
h
= lim
h→0
−λ
0
hP
i,0
(t) + µ
1
h.P

(t) − (λ
j
+ µ
j
)hP
i,j
(t) + µ
j+1
hP
i,j+1
(t)
h
⇐⇒ lim
h→0
P
ij
(t + h) − P
ij
(t)
h
= lim
h→0
λ
j−1
hP
i,j−1
(t) − (λ
j
+ µ
j

Ta sẽ đi giải các phương trình (3.4), (3.5) khi biết λ
j
, µ
j
để tìm biểu thức cho kỳ vọng,
phương sai hoặc luật phân phối của chúng. Nhưng điều này không dễ dàng trong trường hợp
tổng quát vì tỷ lệ sinh λ
j
, tỷ lệ hủy µ
j
phụ thuộc vào j (số phần tử tại t) và thời gian t.
Nên ta xét quá trình sinh hủy tổng quát trong trường hợp tỷ lệ sinh và tỷ lệ hủy có dạng
tuyến tính.
6
4 Quá trình sinh hủy tổng quát với tỷ lệ tuyến tính:
(Linear rates)
Quá trình sinh hủy tổng quát với tỷ lệ tuyến tính nếu:

λ
j
= jλ(t)
µ
j
= jµ(t)
(4.1)
4.1 Trường hợp quá trình bắt đầu với 1 phần tử: (i = 1)
Gọi X
1
(t) là biến ngẫu nhiên mô tả kích cở của quá trình tại thời điểm t.
Trong trường hợp này X

µ(t).P
11
(t), j = 0
(4.3)
Dùng hàm sinh (Generating function) để tìm kỳ vọng và phương sai quá trình sinh hủy
tổng quát với tỷ lệ tuyến tính.
Hàm sinh có dạng:
G(s, t) =
∞

j=0
P
1j
(t)s
j
, s ∈ [0, 1],
là hàm sinh của biến ngẫu nhiên X
1
(t).
Ta có các đạo hàm riêng sau:
∂G(s, t)
∂t
=
∞

j=0
∂P
1j
(t)
∂t

(t)
∂t
s
0
=

∞

j=1
[(j − 1).λ(t).P
1,j−1
(t) − j. [λ(t) + µ(t)] .P
1j
(t) + (j + 1).µ(t).P
1,j+1
(t)] .s
j

+ µ(t).P
11
(t).s
0
=

λ(t).
∞

j=1
(j − 1).P
1,j−1

Ta viết lại (4.4) như sau:
∂G(s, t)
∂t
=
∞

j=0
∂P
1j
(t)
∂t
s
j
=
∂P
10
(t)
∂t
s
0
+
∞

j=1
∂P
1j
(t)
∂t
s
j


j=1
(j + 1).P
1,j+1
(t).s
j

=µ(t).P
11
(t).s
0
+

λ(t).
∞

j=0
j.P
1,j
(t).s
j−1
.s
2

−

[λ(t) + µ(t)] .
∞

j=1

.
∂G(s, t)
∂s

+

µ(t).
∂G(s, t)
∂s

=

λ(t).s
2
− [λ(t) + µ(t)] .s
1
+ µ(t)

.
∂G(s, t)
∂s
(4.5)
8
Từ (4.5), ta được:
∂G(s, t)
∂t
=

λ(t).s
2

1
− µ(t) (4.7)
Tiếp theo, ta giải phương trình (4.7), ta xét hai trường hợp s = 1 và s = 1:
• Xét s = 1, thì
ds
dt
= −λ(t).1
2
+ [λ(t) + µ(t)] .1
1
− µ(t) = 0
• Xét s = 1:
Đặt y =
1
s − 1
, hay s = 1 +
1
y
, suy ra
ds
dt
=
−y

y
2
, với y

=
dy

1
y
2

y
2
+ [λ(t) + µ(t)] .

1 +
1
y

y
2
− µ(t).y
2
⇐⇒ − y

= −λ(t)

y
2
+ 2y + 1

+ [λ(t) + µ(t)] .

y
2
+ y


= [λ(t) − µ(t)] y + λ(t)
(4.8)
Phương trình (4.8) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, nên sẽ có dạng nghiệm
như sau:
y = f
1
(t) + Cf
2
(t), trong đó C = const (4.9)
Lúc đó,
s = 1 +
1
y
= 1 +
1
f
1
(t) + Cf
2
(t)
=
1 + f
1
(t) + Cf
2
(t)
f
1
(t) + Cf
2

2
(t).s = f
3
(t) + Cf
4
(t)
⇐⇒C [f
2
(t).s − f
4
(t)] = −f
1
(t).s + f
3
(t)
⇐⇒C =
sf
1
(t) − f
3
(t)
f
4
(t) − sf
2
(t)
(4.11)
Trong đó f
1
(t), f

(0).s
j
= s.
Từ điều kiện biên, ta được:
G(s, 0) = Φ

sf
1
(0) − f
3
(0)
f
4
(0) − sf
2
(0)

= s (4.13)
Đặt:
C
0
=
sf
1
(0) − f
3
(0)
f
4
(0) − sf

⇐⇒s. [f
1
(0) + C
0
f
2
(0)] = C
0
f
4
(0) + f
3
(0)
⇐⇒s =
C
0
f
4
(0) + f
3
(0)
f
1
(0) + C
0
f
2
(0)
(4.15)
Theo (4.13), (4.14) và (4.15), ta được:

(4.16)
10
Tương tự (4.16), ta có:
Φ(C) =Φ

sf
1
(t) − f
3
(t)
f
4
(t) − sf
2
(t)

=
C.f
4
(0) + f
3
(0)
f
1
(0) + C.f
2
(0)
=

sf

f
2
(0)
=
(sf
1
(t) − f
3
(t))f
4
(0) + f
3
(0)(f
4
(t) − sf
2
(t))
f
4
(t) − sf
2
(t)
f
1
(0)(f
4
(t) − sf
2
(t)) + (sf
1

(t)) + (sf
1
(t) − f
3
(t))f
2
(0)
=
f
3
(0)f
4
(t) − f
3
(t)f
4
(0) + s [f
4
(0)f
1
(t) − f
3
(0)f
2
(t)]
f
1
(0)f
4
(t) − f

(t)
g
3
(t) + sg
4
(t)
(4.18)
Trong đó,
g
1
(t) = f
3
(0)f
4
(t) − f
3
(t)f
4
(0)
g
2
(t) = f
4
(0)f
1
(t) − f
3
(0)f
2
(t)

(t) = [1 − P
00
(t)](1 − β
t
)β
j−1
t
, ∀j ≥ 1, (0 ≤ α
t
, β
t
< 1)
(4.19)
là xác suất chuyển trạng thái tạo nên hàm sinh G(s, t), trong đó β
t
, α
t
là hàm bất kỳ
theo t.
11
(4.19) thỏa,
∞

j=0
P
1j
(t) =P
00
(t) + [1 − P
00

(t)] (1 − β
t
).s.
∞

j=1
β
j−1
t
s
j−1
=α
t
+ s(1 − α
t
)(1 − β
t
)
1
(1 − β
t
.s)
=
α
t
− α
t
.β
t
.s + s − β

+ β
t
α

t
s − α
t
β

t
s + β

t
s)
(1 − β
t
s)
2
(4.21)
∂G(s, t)
∂s
=
(1 − α
t
)(1 − β
t
)
(1 − β
t
s)

+ µ(t)

.

(1 − α
t
)(1 − β
t
)
(1 − β
t
s)
2

⇐⇒(β
t
α

t
− α
t
β

t
+ β

t
)s − α

t


t
= µ(t)(1 − α
t
)(1 − β
t
) (4.25)
12
Đặt: U = 1 − α
t
và V = 1 − β
t
Ta có:
U

=
dU
dt
= −α

t
và V

=
dV
dt
= −β

t
(4.26)

= λ(t)V + (V − 1)µ(t)V
=⇒V

= [µ(t) − λ(t)]V − µ(t)V
2
(4.29)
Phương trình (4.29) là phương trình vi phân Bernoulli, ta giải như sau:
Đặt W =
1
V
, suy ra W

=
−V

V
2
Chia 2 vế phương trình (4.29) cho −V
2
, ta được:
W

+ [µ(t) − λ(t)]W = µ(t) (4.30)
Với điều kiện đầu t = 0:
α
0
= β
0
= 0 =⇒ U = V = W = 1
Để giải (4.30), ta giải dạng thuần nhất của (4.30), như sau:

(t)e
−ρ(t)
= µ(t)
⇐⇒C(t) =

t
0
µ(τ)e
ρ(τ)
dτ + C
∗
13
Khi t = 0, chọn C
∗
= 1 để W = 1, ta được nghiệm phương trình (4.30):
W = e
−ρ(t)


t
0
µ(τ)e
ρ(τ)
dτ + 1

(4.31)
Hơn nữa,

t
0

− 1 +

t
0
λ(τ)e
ρ(τ)
dτ
Do đó, ta có biểu diễn nghiệm của phương trình (4.30):
W = 1 + e
−ρ(t)

t
0
λ(τ)e
ρ(τ)
dτ (4.32)
Lấy trung bình cộng của (4.31), (4.32), ta được một cách biểu diễn nghiệm khác:
W =
1
2

e
−ρ(t)
+ 1 + e
−ρ(t)

t
0
[λ(τ) + µ(τ)]e
ρ(τ)

=
W

W
− ρ

(t)
⇐⇒ ln U = − ln W − ρ(t)
⇐⇒U =
e
−ρ(t)
W
+ C
∗∗
Khi t = 0, ta chọn C
∗∗
= 0 để cho U = W = 1.
Khi đó,
α
t
= 1 − U = 1 −
e
−ρ(t)
W
(4.34)
β
t
= 1 − V = 1 −
1
W


=

t
0
µ(τ)e
ρ(τ)
dτ
1 +

t
0
µ(τ)e
ρ(τ)
dτ
(4.36)
– Tính P
1j
(t):
P
1j
(t) = (1 − α
t
)(1 − β
t
)β
j−1
t
= UV


1 + e
−ρ(t)

t
0
λ(τ)e
ρ(τ)
dτ

j+1
(4.37)
Bây giờ ta tính kỳ vọng và phương sai của X
1
(t) với hàm sinh G(s, t):
G(s, t) =
α
t
+ (1 − α
t
− β
t
)s
1 − β
t
s
• Tính kỳ vọng X
1
(t):
E(X
1

=e
−ρ(t)
(4.38)
15
• Tính phương sai X
1
(t):
V ar(X
1
(t)) =
∂G(s, t)
∂s
2
|
s=1
+ E(X
1
(t)) − [E(X
1
(t))]
2
=
2β
t
(1 − α)(1 − β)
(1 − β.s)
3
|
s=1
+

t
.
β
t
+ α
t
1 − β
t
=e
−ρ(t)

1 −
e
−ρ(t)
W
+ 1 −
1
W

.W
=e
−ρ(t)

2W − e
−ρ(t)
− 1

(4.39)
Ta thay lần lượt (4.31), (4.32), (4.33) sẽ được 3 biểu thức tính phương sai.
4.2 Trường hợp quá trình bắt đầu với i phần tử: (i > 1)

1 − β
t
.s

i
(4.40)
Bây giờ ta tính kỳ vọng của X
i
(t):
E(X(t)) =
∂H(s, t)
∂s
|
s=1
=i.G
i−1
(1, t).
∂G(s, t)
∂s
|
s=1
=i.E(X
1
(t))
=i.e
−ρ(t)
, vì G(1, t) = 1
(4.41)
16
Tiếp theo tính phương sai của X

(1, t).
∂G(s, t)
∂s
2
|
s=1

+i.E(X
1
(t)) − (i.E(X
1
(t)))
2
=i.

(i − 1).(E(X
1
(t)))
2
+
∂G(s, t)
∂s
2
|
s=1
+ E(X
1
(t)) − i(E(X
1
(t)))