ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 11
I. TẬP ĐO ĐƯỢC - ĐỘ ĐO DƯƠNG
Để tính diệntíchhìnhthangmàuvàng,
ta có thể chia nó ra thành hai hình tam
giác vuông và mộthìnhchữ nhật.
Để tính diện tích đagiác
màu xanh, ta có thể tính
diện tích các tam giác
vuông màu hồng và vàng.
Mặt khác ông Lebesgue đã chứng minh có một tập
hợp bị chận trong mặt phẳng, mà ta không thể nào đo
được diện tích của nó.
ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 2
Thật ra việc đo không chỉ là đo diện tích, ta còn phải
đo nhiều thứ : nhiệt độ, chiều dài, thể tích, điện trở,
nhiệt lượng , khả năng trị bịnh của một dược phẩm, . .
Kể cả việc đo “lòng người” trong các cuộc thăm dò
ý kiến người dân về một vấn đề nào đó.
Ta sẽ mô hình toán học các phép đo trong thực tiển
như sau
Cho  là mộttậphợp khác trống, xét P() là họ tất
cả các tập con của  . Ta quan sát M , mộttậpcon
của P(). M chính là các tập con mà chúng ta cần đo
trong mộtcôngviệcnàođó.
M có thể bằng hoặcnhỏ hẳnhơn P().
ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 3
Cho  là mộttậphợp khác trống, xét P() là họ tất
cả các tập con của  . Ta quan sát M , mộttậpcon
của P(). M chính là các tập con mà chúng ta cần đo
trong mộtcôngviệcnàođó.
M có thể bằng hoặcnhỏ hẳnhơn P().

n
} là một
dãy các phầntử rời nhau trong M thì
1
1
() ()
nn
n
n
A A







Ta thường dùng (, M, ) để chỉ mộttậphợp  khác
trống, một -đạisố M, trong  và một độ dương 
trên M . Ta cũng gọi(, M, ) là một không gian đo
được
ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 6
Thí dụ 1.1. Nếutrọng trong mộttrận đá bóng dùng
cách tung đồng xu xem nó rớt xuống sân cỏ với mặt số
(S) hay mặt hình (H) ngữa lên trên, ta có
 = {S,N},
M = P() = { , {S}, {N}, }
() 0
1
({ }))

2
() 1
ii
ij ij i j
ijk ijk i j i k j k
 










ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 8
Thí dụ 1.3. Nếu bạn chơi trò đổ hai con xúc sắc, ta có
Ở đây <i,j> là lần chơi bạn được mặt i ở con xúc sắc 1
và mặt j ở con xúc sắc 2 .
1
({ , }) ,
36
ij ij

   
2
2
ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 9 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 10
6549211519542480

AB
 
   
Vậytrêncùng, có thể xét nhiều M và  khác nhau.
ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 12
Thí dụ 1.6. Một nhà sảnxuất piston biếtrằng trung
bình có 12% piston không đạtchuẩn vì to hoặcnhỏ
vượtmứcchấpnhận được. Vậynếulấyngẫu nhiên 10
piston, xác suất có 4 piston không tốt trong các piston
đólàbaonhiêu?
Việcnàycóthể mô hình toán họcnhư sau. Nếu đối
vớimộtsự việc , thí nghiệm, vấn đề nào chỉ có đúng
hoặcsai, tốthoặcxấu, ta đặt q là xác suấttốt, vậyxác
suấtxấu là (1-q) cho sự việc, thí nghiệmhoặcvấn đề
đó. Nay tiếnhànhmộtthử nghiệmvới n thí nghiệm
đó, nếucók thí nghiệmtốt, thì xác xuấtcủalầnthử
nghiệmnàylà q
k
(1-q)
n-k
.
3
3
ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 13
Việcnàycóthể mô hình toán họcnhư sau. Nếu đốivớimột
sự việc , thí nghiệm, vấn đề nào chỉ có đúng hoặcsai, tốthoặc
xấu, ta đặt q là xác suấttốt, vậyxácsuấtxấu là (1-q) cho sự
việc, thí nghiệmhoặcvấn đề đó. Nay tiếnhànhmộtthử
nghiệmvới n thí nghiệm đó, nếucók thí nghiệmtốt, thì xác
xuấtcủalầnthử nghiệmnàylà q

!
!( )!
n
kn k
Từ đó ta đặt  = {1,2, ,n}, M = P() và
!
({ }) (1 ) {1,2, , }
!( )!
jnj
n
j qq j n
jn j





ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 15
Ta nói ( , M, µ) là không gian xác xuất có xác suất
nhị thức và ký hiệu là B(n,k).
Bài toán 1.1. Ở Mỹ xác suất một trẻ sơ sinh là bé gái
là 0,487. Hãy tính xác xuất trường hợp có hai bé gái
trong ba trẻ sơ sinh.
Bài toán 1.2. Một loại thuốc trị bịnh các xác suất có
tác động trên bịnh nhân là 80%. Hỏi xác xuất có ít
nhất 4 bệnh nhân có tác động của thuốc trong 6 bịnh
nhân dùng thuốc.
ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 16
CÁCH TẠO KHÔNG GIAN ĐO ĐƯỢC TRONG
THỐNG KÊ

con rầynâu trên phần đất.
Đặt
12
1
{, ,, }
||
() {1,,}.
||
m
j
j
i
nn n
n
n
m
n
i
BB B
B
Bjm
B







Ở đây |B| là số phần tử của B.

 




ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 19
MỘT SỐ -ĐẠI SỐ THƯỜNG DÙNG
Cho mộttậphợp khác trống  và m tậphợp con A
1
, .
. . , A
m
của . Ta tìm một -đạisố M nhỏ nhấttrên
chứa A
1
, . . . , A
m
.
Đặt F là tậphợptấtcả các -đạisố N trên  chứa A
1
, . . . , A
m
. Ta thấy P()  F . Đặt


M= N
NF
M là -đạisố nhỏ nhấttrên chứa A
1
, . . . , A

n
)
µ((a
1
,b
1
)××(a
n
,b
n
)) = (b
1
- a
1
)× ×(b
n
- a
n
).
a
b
1
2
3
1
a
a
b
b
3

Cho {a
n
} là một dãy trong [0,  ]
Nếucósố thực M sao cho a
n
 M vớimọi n. Ta có
{a
n
} là một dãy trong [0, M ]. Lúc đó được
định nghĩa như trong giáo trình Giải tích A1 .
lim
n
n
a

Nếu với mọi số thực M đều có một số nguyên N
M
sao
cho M  a
n
vớimọi n  N
M
. Ta đặt
lim
n
n
a


ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 24

aA




Bài toán 1.5. Cho {a
n
} là một dãy trong [0,  ). Giả
sử chuỗi số thực hội tụ theo nghĩa trong
giáo trình Giải tích A1. Chứng minh
1
n
n
a



1
sup
n
n
aA




ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 26
Bài toán 1.6. Cho  là tậpcácsố nguyên dương
{1,2,….,m,. . .}. Đặt M = P() và vớimọi E  M
(E) = số phầntử của E nếu E có hữuhạnphầntử,

Chứng minh A là mộttập con M-đo đượctrong .
1
m
n
n
A A



(D3)  {A
n
}  M .
1
n
n
A




M
(D3)  {B
n
}  M .
1
n
n
B




M
 {A
1
, A
2
, . . ., A
m
}  M .
1
n
n
m
A



M
(D3)
 {B
1
, B
2
, . . ., B
m
, B
m+1
, B
m+2
, . . . }  M .

2
= A
2
, . . ., B
m
= A
m
,
B
m+1
=

, B
m+2
=

, . . .
7
7
ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 29ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 29
Bài toán 1.8. Cho (, M) là một không gian đo
được. Cho A, B  M . Chứng minh A B là mộttập
con M-đo được trong .
(D1) M .
(D2)  \ A  M  A  M .
(D3)  {A
n
}  M .
1
n


Đặt A
1
= B , A
2
= , A
3
= , A
4
= , . .
11
1
() ( ) ( ) lim ( )
lim[() ( 1)()] () lim[( 1)()]
m
nn n
m
nn
n
mm
BA A A
Bm B m
  
 





 

, . . .
Bài toán 1.10. Cho (, M,µ) là một không gian đo
được. Cho A
1
, A
2
, . . ., A
m
là các tậprời nhau trong
M. Chứng minh
1
1
() ()
m
m
nn
n
n
AA





ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 32ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 32
Bài toán 1.11. Cho một không gian đo được(,
M,µ). Cho C và D trong M. Giả sử C  D . Chứng
minh µ(C)  µ(D) .
Đặt A = C và B = D \C
A  B =







(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu{A
n
} là một
dãy các phầntử rời nhau trong M thì
1
1
() ()
nn
n
n
AA







112 213312
44123 1 1
1
,\,\(),
\( ), , \( ),
n




1
n
nk
k
BB



11
( ) lim ( )
n
mm
n
mm
B B






(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu{A
n
} là một
dãy các phầntử rời nhau trong M thì
1
1

1
n
nk
k
BB



11
( ) lim ( )
n
mm
n
mm
B B






Nếu{A
n
} là một dãy các phầntử rờinhautrong M
1
1
() ()
nn
n
n

nn
nm
m
A AA


 





ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 36
Bài toán 1.14. Cho (,M,µ) là không gian đo được
với độ đo Lebesgue µ, và a là mộtsố thực. Chứng
minh µ({a}) = 0.
Bài toán 1.15. Cho (,M,µ) là không gian đo được
với độ đo Lebesgue µ, và  là tậphợp các số hữutỉ.
Chứng minh µ() = 0.
Bài toán 1.16. Cho (,M,µ) là không gian đo được
với độ đo Lebesgue µ, và c là mộtsố thựcdương.
Chứng minh có mộtmở A trong , sao cho bao đóng
của A là  và µ(A)  c.
9
9
1
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 1
II. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT
Định nghĩa. Cho một không gian đo được(, M, µ).
Ta nói đây là một không gian xác suấtvớimột độ đo

02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 3
Cây hồng có thể có hoa màu
đỏ, màu hồng, hoặc trắng.
Trong một cuộc điều tra cơ chế
di truyền kiểm soát màu sắc, thế
hệ con cháu 182 của một lai tạo
giửa hai giống hoa hồng đỏ và
hoa hồng trắng. Kết quả như
trong bảng bên cạnh
182Tổng cộng
40Trắng
34Hồng
108Đỏ
Số câyMàu
 ={Đỏ,Hồng,Trắng}
P({Đỏ}) = , P({Hồng}) = , P({Trắng}) =
108
182
34
182
40
182
Xác suất P được tính theo tần số. Qua thí nghiệm này,
ta thấy gen đỏ mạnh hơn gen trắng.
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 4
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Thí dụ 2.1. Nếu máy bay có hiện diện trong khu vực
Đàlạt, xác suất để radar báo có máy bay là 0,99. Nếu
máy bay không hiện diện trong khu vực Đàlạt, xác
suất để radar báo có máy bay là 0,10. Ta giả định :

lạt, xác suất để radar báo có máy bay là 0,10” : câu
này không có nghĩa “CB” , mà là : dưới điều kiện
“máy bay không hiện diện trong khu vực Đàlạt”, xác
xuất để dữ kiện “radar báo có máy bay” xãy ra là 0,1.
A = {có máy bay trong khu vực Đàlạt}
B = {báo động có máy bay trong khu vực Đàlạt}
C = {không có máy bay trong khu vực Đàlạt}
D = {
thông báo không có máy bay trong khu vực Đàlạt
}
Còn “CB”chỉ dữ kiện “máy bay không hiện diện
trong khu vực Đàlạt và radar báo có máy bay”.
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 7
1.a. “Nếu máy bay hiện diện trong khu vực Đàlạt,
xác suất để radar báo có máy bay là 0,99”
1.b. “máy bay hiện diện trong khu vực Đàlạt và radar
báo có máy bay”.
Xác suất 1.a như là tỉ lệ hai diện tích AB và A.
Xác suất 1.b như là tỉ lệ hai diện tích AB và .




A
A
A
B
B
AB


()0,99(),()0,1()
() 0,05
P AB PB PCB PC
PA



Tìm P(CB)
() ()
0,99, 0,1, ( ) 0,05.
() ()
PA B PC B
PA
PB PC


Tìm P(CB)
Để ý P(C) = P() - P( \ C) = 1 - P(A) = 0,95
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 10
BÀI TOÁN 2.1. Cho A
1
, . . ., A
m
là m biến cố trong
một không xác xuất (, M, P) sao cho
Cho B là một biến cố trong (, M, P). Chứng minh
1
()0 1, ,.
m
i

m
là m
biến cố trong một không xác xuất (, M, P) sao cho
Cho B là một biến cố trong (, M, P) vớiP(B) >0.
Chứng minh vớimọi i = 1, . . . , m, ta có
1
()0 1, ,.
m
i
i
ij
i
A
AA ij
P Aim








11
11
()(|)
(|)
()
()(|)
()(|) ( )(| )

|B) .
12
12
4
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 13
Định nghĩa. Cho hai biếncố A và B trong một không
gian xác suất(,M, P), ta nói A và B độclậpvớinhau
nếuP(AB) = P(A) P(B)
Khái niệm độclập này có ý nghĩanhư sau
Vậytỉ trọng củabiếncố A đốivớitoàncục() bằng
tỉ trọng củabiếncố AB đốivớibiếncố B.
()()
() ()
P AB PA
PB P



Định nghĩa. Cho m biếncố A
1
, . . . A
m
trong một
không gian xác suất(,M, P), ta nói A
1
, . . . A
m
độc
lậpvới nhau nếuP(A
1

♥
GiàĐ
ầ
mB
ồ
i10987654321
A là biếncố khi ta chọn đúng một quân bài có hình
(bồi, đầm, già)
 B là biếncố khi ta chọn đúng một quân bài già
 C là biếncố khi ta chọn đúng một quân bài cơ ().
12 3 4 1 13 1
() , () , () ,
52 13 52 13 52 4
PA PB PC  
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 16
12 3 4 1 13 1
() , () , () ,
52 13 52 13 52 4
31
() ()(),() ()()
52 52
1
( ) ()()
13
PA PB PC
P AC PAPC PBC PBPC
PA B PAPB
  
   


524444444444444
13
1111111111111
♠
131111111111111
♣
131111111111111
♦
131111111111111
♥
GiàĐ
ầ
mB
ồ
i10987654321
A = {bồi đầm, già}, B = {già} , C = {cơ}
Độclập:A và C . Không độclập: A và B , B và C
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 18
6549211519542480
5336186816221846Không hút thuốc
1213247332634Hút thuốc
CaoTrung bìnhThấp
Chúng ta lấymẩungẩu nhiên 6549 người và ghi nhận
số liệuvề mức thu nhập(thấp, trung bình, cao) và sự
hút thuốc, chúngtacóbảng số liệusau
Đặt A = {hút thuốc} và B = {thu nhập cao}. Ta có
1213 2115
() , ()
6549 6549
247 1213 2115

1213247332634Hút thuốc
CaoTrung bìnhThấp
Chúng ta lấymẫungẫu nhiên 6549 người và ghi nhận
số liệuvề mức thu nhập(thấp, trung bình, cao) và sự
hút thuốc, chúngtacóbảng số liệusau
Đặt 
1
={{Hút thuốc},{Không hút thuốc}} ,

2
={{Thấp},{Trung bình},{Cao}}, và  = 
1
× 
2
.
14
14
6
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 21
12
22 2
1213 5336
({ }) ({ })
6549 6549
2480 1954 2115
({ }) ({ }) ({ })
6549 6549 6549
634 247
(({ },{ })) (({ },{ }))
6549 6549

(({ },{ })) (({ },{ }))
6549 6549
PHT PKHT
PTh PTB PC
PHTTh PHTC



Đặt 
1
={{Hút thuốc},{Không hút thuốc}} ,

2
={{Thấp},{Trung bình},{Cao}}, và  = 
1
× 
2
.
BÀI TOÁN 2.3. Chứng minh (
1
, P(
1
), P
1
),
(
2
, P(
2
), P

2
.
P
1
({™}) = P
1
({©}) = P
1
({®}) = P
1
({®}) =
P
2
({1}) = ···= P
2
({B}) = ···= P
2
({G}) =
P({(™, 1)}) = P({(®, B)}) = ···=
13 1
52 4

41
52 13

1
52
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 24
BÀI TOÁN 2.5. Chứng minh (
1

P
1
({™}) = P
1
({©}) = P
1
({®}) = P
1
({®}) =
P
2
({1}) = ···= P
2
({B}) = ···= P
2
({G}) =
P({(™, 1)}) = P({(®, B)}) = ···=
13 1
52 4

41
52 13

1
52
15
15
7
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 25
Cho (

2
) = P
1
(A
1
) × P
2
(A
2
).
Độ đo  này cũng là một độ đoxácxuấttrên, và
(,V, ) là một không gian xác xuất.
Tuy nhiên, theo các số liệu thu nhận được, có thể 
nhận -đạisố M và một độ đodương P sao cho
(,M,P) là một không gian xác xuất.
Chúng ta sẽ thấyhiệntượng “độclập” thường gặpkhi
(,V, ) = (,M,P) . Lúc đó ta nói các số liệutrên
(
1
,M
1
,P
1
) và (
2
,M
2
,P
2
) độclậpvới nhau.

rời rạc. Nhiều khi chúng ta gọi f vắn tắt là biến số
ngẫu nhiên .
Bài toán 3.1. Tích và tổng các hàm đơnlàcáchàm
đơn.
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 2
Thí dụ 3.1. Một người tham gia một trò đố vui. Có
hai câu hỏi A và B. Người chơi có quyền lựa thứ tự
câu hỏi để trả lời. Nếu trả lời đúng một câu thì có
quyền trả lời tiếp câu hỏi thứ hai. Nhưng nếu sai một
câu thì bị loại và không được đồng nào. Nếu trả lời
đúng câu hỏi A, sẽ được 1 triệu, xác suất để trả lời
đúng câu này là
0,80. Nếu trả lời đúng câu hỏi B, sẽ
được 2 triệu, xác suất để trả lời đúng câu này là 0,50.
Nên chọn trả lời câu hỏi A rồi đến câu hỏi B, hay nên
chọn trả lời câu hỏi B rồi đến câu hỏi A?
Chúng ta sẽ dùng xác suất thống kê để tìm lời giải có
lý nhất.
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 3
Bài toán 3.2. Đặt  = {A1,A2,A3}, M = P() và
P(A1) = 0,2 , P(A2) = 0,4 và P(A3) = 0,4 . Chứng
minh (, M,P) là một không gian xác xuất.
A1:0$
A4: 0$
A3: đồng3 triệu
A6: 3 triệu đồng
A2 :1 triệu đồng
A5: 2 triệu đồng
A trước, B sau
B trước, A sau

11
( ) ( ) ({ }) ( ) ({ })
kk
EZ Zw P w Zw P w

 
Bài toán 3.6. Tính E(X) và E(Y) trong các bài toán 3.3
và 3.5. Từ đó đưa ra cách chọn câu trả lời cho thí dụ
3.1.
ThậtraE(X) và E(Y) không trùng vớiphầnthưởng
trong mọitrường hợp. Nhưng nó cho biếttrị giá trung
bình giảithưởng nếutachơi nhiềulần.
Sai lệch giữa kỳ vọng và giá trị X được tính như sau
Bài toán 3.8. Cho (,M,µ) là một không gian đo
được. Cho f là mộtmột hàm đơntrên. Chứng minh
có k số thực d
1
, . . ., d
k
, d
1
< . . . < d
k
, và k tập đo
được rời nhau B
1
, . . ., B
k
sao cho
1

, và m tập đo được A
1
, . . .,
A
m
sao cho
1
() () .
m
i
i
i
fx c x x
A




f() = {d
1
, . . ., d
k
}, d
1
< . . . < d
k
. Đặt B
j
= f
-1

1
(, ,)
{( , , ) : }
1, , .
s
r
rj
jriij
jii
iiI
Iiic cd
BAAjk





 

B
j
là tập
đo được
Có k số thực d
1
, . . ., d
k
, d
1
< . . . < d

18
18
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 9
Có k số thực d
1
, . . ., d
k
, d
1
< . . . < d
k
, và k tập đo
được rời nhau B
1
, . . ., B
k
sao cho
1
() () .
k
j
j
j
fx d x x
B




Chứng minh f

j j
da da
f afdB

 
 

02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 10
Bài toán 3.10. Cho f là mộthàmsố thực đo đượctrên
một không gian đo được(,M,µ), b , c và d là ba số
thực sao cho b  c < d. Chứng minh các tậpsauđây
đo được: f
-1
([b , )) , f
-1
((- , b]) , f
-1
((- , b)) ,
f
-1
([b , c]) , f
-1
([b , d)) , f
-1
((b , d)) , f
-1
((b , d]).
f
-1
((a,)) M vớimọisố thực a .

111
(( , ] [ , )) (( , ]) ([ , ))fcbfcfb

 

02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 11
Bài toán 3.11. Cho f và g là hai hàm số thực đo
đượctrênmột không gian đo được(,M,µ). Đặt
h(x) = sup {f(x) , g(x) }  x .
Chứng minh h đo đượctrên(,M,µ).
h
-1
((a,)) = {x : h(x)  (a,)} = {x : h(x) > a}
= {x : sup {f(x), g(x)} > a} = {x : f(x) > a hay g(x) > a}
= {x : f(x) > a}{x:g(x) > a}= f
-1
((a,)) g
-1
((a,))
Bài toán 3.12. Cho f và g là hai hàm số thực đo
đượctrênmột không gian đo được(,M,µ). Đặt
k(x) = inf {f(x) , g(x) }  x .
Chứng minh k đo đượctrên(,M,µ).
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 12
Bài toán 3.13. Cho f là mộthàmsố thực đo đượctrên
một không gian đo được(,M,µ). Đặt
f
+
(x) = sup {f(x) , 0 }  x ,
f

19
19
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 13
Bài toán 3.15. Cho { f
m
}là mộtdãyhàmsố thực đo
đượctrênmột không gian đo được(,M,µ). Đặt
f (x) = inf {f
1
(x) , f
2
(x) , . . ., f
m
(x) , . . . }  x ,
Chứng minh f đo đượctrên(,M,µ).
11
1
(( , )) (( , )) .
m
m
fafa x



     

Bài toán 3.16. Cho { f
m
}là mộtdãyhàmsố thực đo
đượctrênmột không gian đo được(,M,µ). Đặt

m
m
fx f x x


Bài toán 3.18. Cho { f
m
}là mộtdãyhàmsố thực đo
đượctrênmột không gian đo được(,M,µ). Giả sử
{f
m
(x)} hộitụ vớimọi x trong . Đặt
Chứng minh f đo đượctrên(,M,µ).
() lim () .
m
m
fx f x x


02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 15
Định lý. Cho f là mộthàmđo đượctrênmột không
gian đo được(,M,µ) . Lúc đó
(i) Có một dãy các hàm đơn{t
m
} trên (,M,µ) sao cho
(ii) Nếu f(x)  0 vớimọi x trong , ta có một dãy các
hàm đơn{s
m
} trên (,M,µ) sao cho :
0  s

M
,µ) sao
cho
lim ( ) ( ) ,
lim () () ,
m
m
m
m
sx fx x
tx gx x


 
 
Bài toán 3.19
. Cho f và g là hai hàm đo đượctrên
một không gian đo được(,
M
,µ) . Chứng minh f + g
là hàm đo đượctrên(,
M
,µ).
Bài toán 3.20
. Cho f và g là hai hàm đo đượctrên
một không gian đo được(,
M
,µ) . Chứng minh f g là
hàm đo đượctrên(,
M

1
và X
2
trong một không gian xác suất(,
M
, P), ta nói X
1
và
X
2
độclậpvớinhaunếu X
1
-1
(U
1
) và X
2
-1
(U
2
) độclập
vớinhau vớimọi U
1
và U
2
mở trong

.
Không gian mẫu  có thể là danh mụccổ phiếu, danh
sách các ngư trường trên biển , . . . Ta giảđịnh trong

i
là giá cổ phiếu
trong đợt khớp lệnh mua bán cuối cùng trong ngày r
i
.
Giá cổ phiếu ngày hôm trước có tác động đến các
phiên giao dịch đầu của ngày hôm sau, nhưng các
phiên giao dịch sau đócủa ngày hôm sẽ không tùy
thuộc nhiều vào ngày hôm trước, nên các X
i
độc lập
với nhau.
Định nghĩa
. Cho m biếnsố ngẫu nhiên X
1
, . . . X
m
trong một không gian xác suất(,
M
, P), ta nói X
1
, . . .
X
m
độclậpvớinhaunếu X
1
-1
(U
1
) , . . . X

i
,
M
i
, P
i
) với tính chất : nếu A
i

M
i
với mọi i = 1, . .
. , n thì A
1
 . . .  A
n

M
và
P(A
1
 . . .  A
n
) = P
1
(A
1
) . . .  P
n
(A

trên (,
M
, P).
21
21
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 21
Bài toán 3.23. Cho m biếnsố ngẫu nhiên X
1
, . . . X
m
trong một không gian xác suất(,
M
, P). Chứng minh
P({

: X
1
(

) < c
1
, . . ., X
m
(

) < c
m
}) =
= P(X
1

, . . ., X
m
(

) < c
m
} = A
1
. . .  A
m
.
P(A
1
 . . .  A
n
) = P
1
(A
1
) . . .  P
n
(A
n
).
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 22
Tính chất độclậpcóvaitròquantrọng trong các qui
luậtsố lớnvàgiớihạncủacáctiếntrìnhngẫu nhiên.
Khái niệm độclậpnàycòncóthể mở rộng cho một
họ {X
i

HÀM PHÂN BỐ
02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 3 24
Bài toán 3.24
.
Hàm số F
X
đồng biếntrên(- , ) và
có trị trong [0,1] .
Bài toán 3.25
.
Hàm số F
X
có giớihạn bên trái là F(c)
tạimọi c .
Cho {c
m
} là mộtdãytrong(-,c) và hộitụ về c.
Chứng minh
( ) lim ( )
XXn
n
F cFc


1
(,) (,)
m
m
cc


c.
Cho {c
m
} là một dãy trong (c , ) và hộitụ về c.
Chứng minh dãy{F
X
(c
m
)} hộitụ.
Đặt  = inf {F
X
(t) : t > c} . Chứng minh
1
lim ( )
X
m
m
Fc



1
1
11
11
11
(, )(,]
(( , )) (( , ))
m
m

).
Cho m số thực không âm c
1
, . . ., c
m
và A
1
, . . . , A
m
là
một họ trong M . Xét hàm đơn
Cho E  M. Đặt
và gọi là tích phân của s trên E. Tích phân
nàycóthể bằng  .
E
s d


1
()
kk
km
E
s dcAE







8/2/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 4 2
Định nghĩa. Cho (, M,) là một không gian đo
được, E M , và f là mộthàmthực đo đượctrên.
Lúc đó| f | là mộthàmsố từ  vào [0,∞). Giả sử
Đặt f
+
(x) = max{f (x), 0}, f
-
(x) = max{- f (x), 0} và.
Ta gọilàtích phân Lebesgue của f trên
E với độ đo  . Tích phân của f là mộtsố thực.
f dfdfd
E EE
 



 
f d
E


|| .fd




8/2/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 4 3
A
1

sc
A




Lúc đótrọng lượng của thanh sắt này chính là
ởđây µ là độ đo Lebesgue.
1
()
kk
km
s dcA






24
24
Thí dụ 4.2. Cho  = {w
1
, . . . , w
k
}, M = P() và P
là một độ đo xác xuất trong . Cho Z là một biến số
ngẩu nhiên trên không gian xác suất (, M,P). Lúc đó
(i) Kỳ vọng của biến số ngẫu nhiên Z chính là


Cho (,M,µ). là một không gian đo đượcvà {f
m
}
là một dãy ánh xạđo đượctừ  vào [0 , ] , f là
mộtánhxạ từ X vào [0 , ]vàgiả sử
Lúc đó
(ii) ( ) lim ( )
m
m
fx f x x


12
(i) ( ) ( ) ( )
m
fx fx f x x
lim lim .
 

 
mm
mm
fd fd fd
XX X
 
8/2/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 4 7
BổđềFatou .
Cho (,
M ,
) là một không gian đo

x
f xgx gxfx
  

 
() liminf ()


n
n
f x g x
0

f
1

f
2

. . .

f
m

f
liminf lim liminf
nmm
EEEE
nmm
gd fd fd fd