PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

I- GIẢI TÍCH TỔ HP1. Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :
m x n.
4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P
n
= n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=

6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số
cách :
==

2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C

Tính chất :

k
1n
k
n

01 n
nn n
CC C2+++=
n
Với a, b
∈
{
±
1,
±
2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
*
nn
n
1n1
n
n0
n
n
xC xaCaC)xa( +++=+
−
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách :

1,
±
2, , hay
∫∫
±± 2
0
1
0
hay
β
α
∫

Chú ý :
* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
knkk m
n
Ca b Kx
−
=
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)
n
: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.

mr
knkk
pq

* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường
hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy
số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
1. Chuyển vế :
a + b = c
⇔
a = c – b; ab = c
⇔

⎢
⎢
⎣
⎡
⎩

b a
aba b, ab
a0
⎧
=
=⇔=± = ⇔
⎨
≥
⎩⎩
⎨
⎧
α=⇔=
≥
±=
⇔=
α
a
bbloga,
0a
ab
ba⎩
⎨
⎧
>

>
}b,amin{x
bx
ax
;}b,amax{x
bx
ax

⎧
⎨
Γ
⎧
>∨
<< <
⎧
⎩
⇔⇔
⎨⎨
<Γ
≥
⎧
⎩
⎩
⎨
Γ
⎩
p
xa pq
axb(nếuab)
;

⎨
⎧
≥
≥
⎩
⎨
⎧
∨
≥
<
⇔≥
2
ba
0b
0a
0b
ba)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.a
ab
<−−
≥
=

b.
.
: phá
.

a b b 0hay
aba
≥
⎧
≥⇔ <
⎨
≤− ∨ ≥
⎩
b0baba
22
≤−⇔≤

c. Mũ :
.1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay
x
<<↓>↑>∈=
TRANG 3

0m/n mmnmn
n
mn mn mn m.n nn n
nn n m n
a1;a 1/a;a.aa
a/a a ;(a) a ;a/b (a/b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
−+
−

α
= log
a
a
α
log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N (
⇐
)
log
a
(M/N) = log
a
M – log
a
N (
⇐
)

2
aaa
2
a
MlogMlog2,Mlog2Mlog ==
(


log
a
(1/M) = – log
a
M, log
a
M = log
a
N
⇔
M = N

aa
0MN(nếua1)
logM logN
MN0(nếu0a1
<< >
<⇔
>> <<
)

Khi làm toán log, nếu miền xác đònh nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh
dùng công thức làm thu hẹp miền xác đònh. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản :
Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt
a
x2
∈=>=≥=≥=≥=∈+=

= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
TRANG 4
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x
1
,x
2
) = 0
không đối xứng, giải hệ pt :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
=
21
21
x.xP
xxS
0
g

Biết S, P thỏa S
2
– 4P ≥ 0, tìm x

< x
2
< 0 ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
>Δ
0S
0P
0
* Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x
1
< α < x
2
⇔ af(α) < 0
α < x
1
< x
2
⇔ ; x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<α

α >
⎨
⎪
α<β
⎩
; x
1
< α < x
2
< β ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(
f.a

7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
x
1

1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x
2
.x
3
= C
thì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm phương trình : x
3
– Ax
2
+ Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :

⎧
Δ
⎨
α
⎩
= 0
< 0hay
f =
0
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng
sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế :
dùng sự tương giao giữa (C
m
) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
TRANG 5
3 nghiệm ⇔
⎩
⎨
⎧
<
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y

2 nghiệm ⇔
⎩
⎨

uốn
'y
d. So sánh nghiệm với α :
• x = x
o
∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2
f(x) với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của
f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương
giao của (C
m
) : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
α < x
1
< x
2
< x
3
⇔
y'
CĐ CT
CĐ
0

⎨
⎧
<α
>α
<
>Δ
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
α
x
1
x
x
x
1
< x
2
< α < x
3
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

y.y 0
y( ) 0
x
Δ>
⎧
⎪
<
⎪
⎨
α>
⎪
⎪
<α
⎩

α

x
1
x
x
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
TRANG 6

f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔
⎩
⎨

9. Phương trình bậc 4 :
a. Trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠ 0) ⇔
⎩
⎨
⎧
=
≥=
0)t(f
0xt
2
t = x
2
⇔ x = ±
t

4 nghiệm ⇔ ; 3 nghiệm ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
>Δ
0S
0P

0S
0P

VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
≥Δ
0S
0P
0
0
0
P
S
⎧
⎪
>
⎨
⎪
<
⎩

4 nghiệm CSC ⇔
⎩
⎨

x
1
. Tìm đk của t bằng BBT :
2t ≥

c. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
– bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x
2
+ (a + b)x. Tìm đk
của t bằng BBT.
e. (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Đặt :
2
ba
xt
+
+=
, t ∈ R.

a

D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y
/D.
D = 0, D
x
≠ 0 ∨ D
y
≠ 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :

Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
⇒ α = β ⇒ m = ?

* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ 0 :
ab
2
ba
≥
+

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ≥ 0 :
3
abc
3
cba
≥
++

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
≤ (a
2
+ b
2
).(c
2
+ d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d

Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt :
bội của
6
π
(
3
1
cung phần tư) và
4
π
(
2
1
cung phần tư)
α

0
A
x+k2
π
M
x = α +
n
k2 π
: α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều
trên đường tròn lượng giác.

2. Hàm số lượng giác :

3. Cung liên kết :

: đưa lượng giác về đại số.
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.

TRANG 9
5. Phương trình cơ bản :
sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ k2π; sinα = –1 ⇔ α = –
2
π
+ k2π,
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ kπ,
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos :
asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a
2
+ b
2
≥ c

Đặt :
2
1
202
42
t
t sinu cosu sin u , t ,sinu.cosu
π
−
⎛⎞
=+ = + ≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :

Đặt :
π −
⎛⎞
=− = −−≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠
2
1t
t sin u cosu 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
42

10. Phương trình chứa
⏐
sinu – cosu

3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :

Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
TRANG 10
* t = tg
2
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
14. Phương trình đặc biệt :
*

⎩
⎨
⎧
=
=
⇔=+
0v
0u
0vu
22
*
⎩

+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
* sinu.cosv = 1 ⇔
⎩
⎨
⎧
−=
−=
∨
⎩
⎨
⎧
=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
* sinu.cosv = – 1 ⇔
⎩
⎨
⎧
=
−=

a
yx

b. Dạng 2 :
⎩
⎨
⎧
=±
=
nyx
m)
y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành
+.
c. Dạng 3 :
⎩
⎨
⎧
=±
=
nyx
m)
y(F/)x(F
.
Dùng tỉ lệ thức :
db
ca
db
ca
d

– 2bc.cosA
*
pr
R4
abc
Csinab
2
1
ah
2
1
S
a
====)cp)(bp)(ap(p −−−=

* Trung tuyến :
222
a
ac2b2
2
1
m −+=

* Phân giác :
ℓ
a
=

1
, α ≠ – 1

uu
du
ln u C; e du e C;
u
=+ =+
∫∫
∫
+= Caln/adua
uu

;
sinudu cosu C=− +
∫
∫
+= Cusinuducos∫
;
+−=
Cgucotusin/du
2
∫
+=
Ctguucos/du
2


a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần :

udv uv vdu=−
∫∫
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a.
∫∫ ∫
=
nnnxn
xu:xcosx;xsinx,ex
b.
∫
=
xlnu:xlnx
n
c.
∫∫
==
dxedvhayeu:xcose,xsine
xxxx

2
– u
2
: u = asint
chứa u
∫
2
– a
2
: u = a/cost
chứa a
∫
2
+ u
2
: u = atgt
d. , R : hàm hữu tỷ
∫
)xcos,x(sinR
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
R đơn giản :
2
x
tgu
=∫

n
1m
,)bxa(x

g.
u
1
khx:cbxax)khx/[(dx
2
=++++
∫

h.
∫
++
)dcx/()bax(,x(R
, R là hàm hữu tỷ :
)dcx/()bax(u ++=

i. chứa (a + bx
∫
k
)
m/n
: thử đặt u
n
= a + bx
k
.


+
+
+
→+
+
→+

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+=<Δ
++++
+
++
+
→<Δ++
∫∫
atgtặt:)au/(du)0(
cbxax
dx
cbxax
B
cbxax
)bax2(A
)0(cbxax
22
222

) : f
2
(x, y) = 0 α
/
b
D
a
Sf(x)g(x) dx=−
∫

x=b x=a
f(x)
g(x)
β
/
b
D
a
Sf(y) g(y)dy=−
∫

y=a
f(
y)


[]
∫
π=
b
a
2
dx)x(fV
a
b
f(y)

b.
[]
∫
π=
b
a
2
dy)y(fV
b
f(x)
g(x
a
TRANG 14

c.
∫
−π=
b

2
dx)x(gdx)x(fV

f.
∫∫
π+π=
b
c
2
c
a
2
dy)y(fdy)y(gV Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tìm lim dạng
0
0
,
dạng 1
∞
:
a. Phân thức hữu tỷ :
1
1
ax
1
1

)x(g
)x(f
lim
ax
→
, dùng lượng liên hiệp :
a
2
– b
2
= (a – b)(a + b) để phá , a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
) để phá
3

d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1
∞
) : dùng công thức
e)u1(lim
u/1
0u
=+
→
2. Đạo hàm :

−
+
→
+
==
)x(f)x(f
o
/
o
/
−+
=
o
.
b
c
f(
y)
-
g(y)
a
b. Ý nghóa hình học :
M
α

f(x)
TRANG 15
k = tgα = f
/
(x

=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
M là điểm uốn của f ⇔ f
//
(x
M
) = 0 và f
//
đổi dấu khi qua x
M
.
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C
/
= 0, (x
α
)
/
= αx
α–1
, (lnx)
/
= 1/x ,
()
a
1

/
= ku
/
, (u ±v)
/
= u
/
± v
/
, (uv)
/
= u
/
v + uv
/
,
(u/v)
/
= (u
/
v – uv
/
)/v
2
* Hàm hợp : (g
o
f)
/
= g
/


x
−∞

+∞bylim
x
=
∞→
⇒ y = b : tcn
y b b

x
−∞

+∞

0)]bax(y[lim
x
=+−
∞→
⇒ y = ax + b : tcx y


c
yaxb
dx e
=++
+
( d ≠ 0 )
• a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ.
• c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thò các hàm thường gặp :

a/ y = ax + b :
b/ y = ax
2
+ bx + c
c/ y = ax
3
+ bx
2
+ c + d

a> 0 :
a < 0 :

d/ y = ax
4

y
′
Δ
> 0
y
′
Δ
= 0
y
′
Δ
< 0
ab > 0
ab < 0

y
′
Δ
> 0
y
′
Δ
= 0
y
′
Δ
< 0
TRANG 17

ad < 0

6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)

a/ Điểm cố đònh : M(x
o
, y
o
) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y
o
= f(x
o
, m), ∀m ⇔ Am + B = 0,
∀m (hay Am
2
+ Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay ). Giải hệ, được M.
⎩
⎨
⎧
=
=
0B
0A
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
0C

⎧
⎩
⎨
⎧
<Δ
≠
∨
≠
=
=
0
0A
0C
0B
0A
Chú ý :
C
B
A
=
VN ⇔ B = 0 ∨
⎩
⎨
⎧
=
≠
VNBCA
0B
c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(x
o

b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
* Tại M(x
o
, y
o
) : y = f'(x
o
)(x – x
o
) + y
o
.
* Qua M (x
o
, y
o
): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – x
o
) + y
o
.
Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2
/ bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
TRANG 18
* // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
* ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y =
a
1
−
x + m. Tìm m nhờ đk tx.

ẩn x, tham số x
o
hay y
o
. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x
= số tiếp tuyến), tìm được x
o
hay y
o
.
8. TƯƠNG GIAO :

* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C
/
) : y = g(x) là : f(x) = g(x).
Số nghiệm pt = số điểm chung.
* Tìm m để (C
m
) : y = f(x, m) và (C
/
m
) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết
phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ
điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và
(d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (C
m
) và (C
/
m

o
/
f đạt cực tiểu tại x
o
⇔
⎩
⎨
⎧
>
=
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò ⇔ f có CĐ và CT ⇔
/
f
Δ
> 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm α < x
1
< x
2
.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y

⎨
<
⎪
⎩

* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện y
CĐ
.y
CT
< 0 (>0) có thể thay bởi y = 0
VN (có 2 nghiệm.).
TRANG 19
* Tính y
CĐ
.y
CT
:

•
Hàm bậc 3 : y = y
/
(Ax + B) + (Cx

+ D)
y
CĐ
.y
CT
= (Cx
CĐ

* Đường thẳng qua CĐ, CT :

•
Hàm bậc 3 : y = Cx + D

•
Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u
/
/ v
/
* y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực trò
⇔
ab
≥
0, 3 cực trò
⇔
ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :

i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2

iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là hoành độ
điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1

12
xx
p
2m
+
=−
.
iv) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực
đại tại x
2
thỏa x
1
< x
2
và
12
xx
p
2m
+
=−
.

o
)
= 0; suy ra M
∈
(C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại
⇔
m ?
⇔
x
o
?
(hay y
o
?)

•
Nếu x
o
= a thì M
∈
(d) : x = a.

•
Nếu y
o
= b thì M
∈
(d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)

⎪
=
⎩
I
I
d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt
⊥
(d) là
(d') : y = –
a
1
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm x
A
,
x
B
, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d)
⇔
I
∈
(d)
⇔
m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm x
A
, x
B
, suy ra y
A
, y
B


⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∈
+
+
++=
Z
edx
c
,x
edx
c
baxy
M
M
M
MM⇔

⎪
⎩
⎪

<
<
xb
ax
f
≤
g
⇔
a
≤
x
≤
b , f
≥
g
⇔

⎢
⎣
⎡
≥
≤
bx
ax
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1. Tọa độ , vectơ :

* (a,b)
±

(a, b).(a
/
,b
/
) = aa
/
+ bb
/

22
ba)b,a( +=/
/
/
v.v
cos(v,v )
v.v
=
rr
rr
rrABAB),yy,xx(AB
ABAB
=−−=

M chia AB theo tỉ số k

yy
y,
2
xx
x
BA
M
BA
M
+
=
+
=

M : trọng tâm
Δ
ABC
⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++
=
++
=
3
yyy

b
a
a
,
a
a
c
c
,
c
c
b
b
v,v
rr///
v,v ] v . v .sin(v,v )=
rr r r rr
[[
//
v,v]v,v
rrrr
⊥
r


AC,AB
2
1
S
ABC
=
Δ[]
AS.AC,AB
6
1
V
ABC.S
=/
'D'C'B'A.ABCD
AA].AD,AB[V =

A, B, C thẳng hàng ⇔
AB//AC
uuuruuur

* Δ trong mp : H là trực tâm ⇔
⎪
⎩
⎪

MC
AC
AB
MB +=

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.
I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong của ΔABM với M
là chân phân giác trong của ΔABC.
∧
B
∧
A
2. Đường thẳng trong mp :

* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
,y
o
) và 1vtcp
v
= (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
(d) :
⎩
⎨
⎧
−
=
−
+=
+=

yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−

* (d) : Ax + By + C = 0 có
)B,A(n;)A,B(v
=−=

* (d) // (Δ) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By +
C
′
= 0
* (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C
/
= 0
* (d), (d
/
) tạo góc nhọn ϕ thì :
cosϕ =
()
/
/
/
d

= 0 là :
TRANG 23

2/2/
///
22
BA
CyBxA
BA
CByAx
+
++
±=
+
++/
d
d
n.n
> 0 : phân giác góc tù + , nhọn –

/
d
d
n.n
< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :

* Cho M(x
o
, y
o
, z
o
), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
d(M,(P)) =
222
ooo
CBA
DCzB
yAx
++
+++

* (P) , (P
/
) tạo góc nhọn ϕ thì : cos
ϕ
=
)n,ncos(
)'P()P(

* (P) ⊥ (P
/
) ⇔
)'P()P(
nn ⊥
, (P) // (P

ooo
o
o
o
−
=
−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
+=
+=
+=]'n,n[v
=

* (AB) :
AA
BA BA B
A
A
x xyyzz
x xyyzz
−−−


* ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
TRANG 24
sinϕ =
)n,vcos(
pd

* (d) qua M, vtcp
v
, (P) có pvt
n
:
(d) cắt (P) ⇔
n.v
≠ 0
(d) // (P) ⇔
n.v
= 0 và M ∉ (P)
(d) ⊂ (P) ⇔
n.v
= 0 và M ∈ (P)
* (d) qua A, vtcp
v
; (d
/
) qua B, vtcp
'v
:
(d) cắt (d
/

0
, A ∈ (d
/
)
* (d) chéo (d
/
) : d(d, d
/
) =
]'v,v[
AB]'v,v[

* (d) chéo (d
/
) , tìm đường ⊥ chung (Δ) : tìm
]'v,v[n
=
; tìm (P) chứa (d), //
n
; tìm (P
/
) chứa (d
/
), //
n
; (Δ) = (P) ∩ (P
/
).
* (d) ⊥ (P), cắt (d
/

// (Δ); (d
/
) = (P) ∩ (Q).
5. Đường tròn :

* Đường tròn (C) xác đònh bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
* (C) : x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R =
CBA
22
−+

* (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Tiếp tuyến với (C) tại M(x
o
,y
o
) : phân đôi t/độ trong (C) :
(x
o
–a)(x–a) + (y
o

M
/(C) = 0 , M trong (C) ⇔
P
M
/(C) < 0, ngoài ⇔ > 0.
* Trục đẳng phương của (C) và (C
/
) :2(A – A
/
)x + 2(B – B
/
)y + (C – C
/
) = 0
TRANG 25