TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề gồm 01 trang
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1
Năm học: 2013 - 2014
Môn: Toán - Khối A, A1. Thời gian làm bài: 150 phút
*******
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
− +
=
−
có
đồ
th
ị
là (
C
)
a. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v

i
ể
m phân bi
ệ
t A và B sao cho
15
4
IAB
S
∆
=

v
ớ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ

− − − = + + −


− + − + + + =


,
( )
x, y∈ ℝ

Câu 4 (1,0 điểm)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
log 2x 7 log x 1 log x 3− − − = +

Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hình chóp
S.ABC
có
đ
áy là tam giác vuông cân t
ạ
i

m c
ủ
a
SA,

BC;
bi
ế
t
góc gi
ữ
a
MN
v
ớ
i mp(ABC) b
ằ
ng
0
60
.Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
S.ABC
và kho
ả
ng cách gi
ữ

c
2 2 2
2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +

B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

1. Theo chương trình chuẩn.
Câu 7a (1,0 điểm)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho 2
đườ
ng th
ẳ

đườ
ng th
ẳ
ng
1
∆
và
2
∆
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A, B sao cho
2 3 0
AM MB
+ =
  Câu 8a (1,0 điểm)
M
ộ
t h
ộ
p có 7 viên bi màu
đỏ
, 5 viên bi màu xanh và 6 viên b

ng ch
ứ
a
1
x
−
trong khai tri
ể
n
2
3
3
2
n
x
x
 
−
 
 
thành
đ
a th
ứ
c. Bi
ế
t r
ằ
ng
n

ạ

độ

Oxy,
cho
∆
ABC có
đỉ
nh A thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
d
: x – 4y – 2 = 0, c
ạ
nh BC song song v
ớ
i
d
, ph
ươ
ng trình
đườ
ng cao BH: x + y + 3 = 0 và trung
đ
i

nhiên ch
ẵ
n g
ồ
m n
ă
m ch
ữ

s
ố
khác nhau
đ
ôi m
ộ
t và ch
ữ
s
ố
chính gi
ữ
a luôn là 2.
Câu 9b

(1,0 điểm)
Tìm các giá tr
ị

x
, bi

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
H
ọ tên thí sinh: Số báo danh:
CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
y
→−∞
=
.
2y =
là tiệm cận ngang của đồ thị (C)

1
lim
x
y
+
→
= −∞
,
1
lim
x
y
−
→
= +∞
.
1x =
là tiệm cận ngang của đồ thị (C)
+ Ta có
( )
2
2
' 0 x


0.25
1
b
+ Xét ph
ương trình hoành độ giao điểm

( ) ( )
2
1
2 4
2
2 4 4 0 1
1
x
x
x m
x m x m
x
≠

− +

= + ⇔

+ − − + =
−




+ Khi đó,
( ) ( )
;2 ; ;2
A A B B
A x x m B x x m
+ +
với
;
A B
x x
là nghiệm của (1)
Áp d
ụng định lí Viet ta có:
4
2
4
2
A B
A B
m
x x
m
x x
−

+ =



−

2 2
2
2
2
16 225
25
9
25
5
5
m m
m
m
m
m
m
⇔ − =

=
⇔

= −


⇔ =
=

⇔

= −
CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM Vậy
5m = ±
là giá trị cần tìm
2

+ Điều kiện:

cos
3
x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x x
x x
x
x
⇔ − = −
⇔ − = −
−
⇔ − = −
+
⇔ − + = −
⇔ + − =

=

⇔


= −


arccos 2
3
2
cos
3
2
arccos 2
3
x k
x
x k
π
π

 
= − +
 

 

= − ⇔

 
= − − +

 
 


Kết luận:….

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3
3
3
1 8 2 1 4 12 13 5 3 2 1
8 2 1 3 2 1 4 12 13 5
4 2 1 1 2 1 4 1 1
4 2 1 2 1 4 1 1 3
x x y y y x
x x x y y y
x x y y
x x y y
⇔ − = + + + + −
⇔ − − − = + + +
⇔  − +  − = + + +
 
⇔ − + − = + + +

Từ
( )
3 1 0 1y y⇒ + ≥ ⇔ ≥ −

Xét hàm số
( )
3
4f t t t= +

Thay vào
( )
2
ta có

( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 3 2
4 3 2
2
2 2 4 2 2 4 1 2 7 2 0
6 11 6 0
1 5 6 0
0
1
2
3
y y y y y y y y
y y y y
y y y y
y
y
y
y
+ + − + + + + + + + =
⇔ + + + =
⇔ + + + =0.25 0.25


4

Điều kiện:
1
7
2
x
x
>



≠


. Khi đó phương trình tương đương với
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2log 2 7 2log 1 2log 3
log 2 7 log 1 log 3
log 2 7 log 1 3
2 7 1 3 *
x x x
x x x
x x x


2 14
x x x
x
x
x
⇔ + − = − +
⇔ + − =

= − +
⇔

= − −



Kết hợp điều kiện
7
2
x <
và
1
7
2
x
x
>




N
M
I
A
C
B
S
H
J
K

Gọi I là trung điểm AC, do
SAC∆
cân tại S nên
( )SI ABC⊥
. Gọ
i H là trung
đ
i
ể
m AI
suy ra MH//SI ( )MH ABC
⇒
⊥ , do
đ
ó (MN,(ABC)) = MNH∠ = 60
0
. Ta
có
2
0.25

Ta có

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, à / / 2
/ / , à (3)
2 , 3 4
1 , 4
JN BI m BI HJ JN HJ
SI MH m SI JN JN MH
JN MHJ HK HK JN
HK MNJ
⊥ ⇒ ⊥
⊥ ⇒ ⊥
⇒ ⊥ ⊃ ⇒ ⊥
⇒ ⊥

( , ) ( , ) ( ,( ))d AC MN d H AC MN d H MJN HK= ∈ = =

=
2 2
.MH HJ
MH HJ+
=
2 2
30 2
.
30
4 4

ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cosi ta có:

( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
2
2 .
2 9 2 9 3
b c a b c a
a a a
b c b c
+ +
+ ≥ =
+ +

T
ươ
ng t
ự
ta c
ũ
ng có
( ) ( )

( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 1
2 2 2
2 2 2 3 9
a b c
P a b c a b c b c a c a b
b c c a a b
 
= + + ≥ + + − + + + + +
 
+ + +
(*)
Theo Cosi, ta có
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 3 3 3
3 3 3
a a c b b a c c b
a c b a c b a b c
+ + + + + +
+ + ≤ + + = + +
(**)
T
ừ
(*) và (**) suy ra
( )
( )
( )

2 2 2 4 4 4 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
7 12 3
7 12 0
3 4
a b c a b c a b c
a b c a b c
a b c
+ + − = + + ≥ + +
⇔ + + − + + + ≤
⇔ ≤ + + ≤

Do
đ
ó
2 3
2 1
9 27
P t t≥ −
. Xét hàm s
ố

( )
2 3
2 1
9 27
f t t t= −
trên

c
( ) ( )
min 3 1
D
f t f= =
. Suy ra
1P ≥

V
ậ
y Min
1P =

đạ
t
đượ
c khi
1a b c= = = 0.25


CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo ch
ương trình chuẩn.
7a

G
ọi
1
11 7 11 23
; ; 14

22 9 14 1
11 23
2
2 3 14 4
3 42 2 28
b
a b a
a
a b b
b a
− −

+ = − =
= −
 

⇔ ⇔ ⇔
  
− = = −
 

+ = +


Khi đó
( ) ( )
2;1 , 4; 4A B −

Ta có
( )

0.25

0.25

0.25

0.25
8a

+ Số phần tử của không gian mẫu
( )
4
18
3060n CΩ = =

+ G
ọi biến cố A = “Bốn viên bi lấy ra có đủ 3 mầu”
Số các cách chọn thuận lợi cho biến cố A là
( )
2 1 1 1 2 1 1 1 2
7 5 6 7 5 6 7 5 6

( )
( )
( )
( )
3 3 2 1
1 1 3
1 ! 1 ! 3 !
!
. .
3! 3 ! 3 !2! 2 !1! 2 !1!
n n
n n n n
n n n
n
C C C C
n n n n
− −
− − +
− − +
− = ⇔ − =
− − − +
2
12
11 12 0
1
n
n n
n
=


−
− −
= =
   
− = − = −
   
   
∑ ∑

S
ố hạng chứa
1
x
−
trong khai triển ứng với
24 5 1 5k k− = − ⇔ =

V
ậy hệ số của số hạng chứa
1
x
−
là
( )
5
5 7 5
12
1 2 .3 24634368C− = −
3 3
3

= −

 

− − =
⇔ ⇒ − −
 
 
=

 

= −


Vì M là trung điểm của AC nên
C
8 8
;
3 3
 
 
 

Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình:
x
y



0.25 0.25 0.25
0.25

8b

+ Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một là
2
ab de

Do
2
ab de
là số chẵn nên
{ }
0;4;6;8
e∈

0e =
thì
a có 8 cách ch
ọn
b có 7 cách chọn
d có 6 cách chọn
e có 1 cách chọn
Theo qui tắc nhân ta có: 8.7.6.1 = 336 số
+ Trường hợp 2: Nếu
{ }
4;6;8e∈
thì
a có 7 cách ch
ọn
b có 7 cách chọn
d có 6 cách chọn
e có 3 cách chọn
Theo qui tắc nhân ta có: 7.7.6.3 = 882 số
V
ậy có 336 + 882 = 1218 số
0.25 0.25

( )
( )
x
x
C
2
5
5
5 lg(10 3 ) ( 2) lg3
7
2 2
− −

+ Ta có:
x
x
C
5 lg(10 3 ) ( 2) lg3
7
.2 .2 21
− −
=
⇔
x
xlg(10 3 ) ( 2)lg3
2 1
− + −
=

⇔

CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM