Chuyờn LTH Thy toỏn: 0968 64 65 97
1

Chuyờn 14: GII HN LIấN TC O HM
A. Gii hn
1. Cỏc gii hn c bn:
1)
x x
0
limC C


(C laứ haống soỏ)
2)
0
x x
0
lim f(x) f(x )

(f(x
0
) phaỷi xaực ủũnh)
3)
x
limC C


,
x
1
lim 0

x
lim x


vi k l s l
a)
k
x
lim x


vi k l s chn.
2. Cỏc quy tc tớnh gii hn:

1)


x x x x x x
0 0 0
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)



2)


x x x x x x
0 0 0
lim f(x).g(x) lim f(x). lim g(x)


lim g(x) L 0


thỡ


0
x x
lim f(x).g(x) ?


c cho trong bng sau:

0
x x
lim f(x)
Du ca L


0
x x
lim f(x).g(x)






0
x x
lim g(x) 0


v
g(x) 0

hoc
g(x) 0

vi mi


0
x I\
x
,
trong ú I l mt khong no ú cha x
0
thỡ
0
x x
f(x)
lim ?
g(x)


c cho trong bng sau:


 
     
)
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
a)


3 2
x
lim x 3x 4x 2

   
b)


3 2
x
lim x 3x 4

 

c)


4 2
x
lim x 2x 3

  
a)
x 2
2x 1
lim
x 2




b)
1
x
2
2 x
lim
2x 1

 
 
 
 



Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau
a)
2
2

 

b)
2
x 2
x 2x 3
lim
x 2


 


B. Liên tục
Các định nghĩa:
 Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng


a;b
và


0
x a;b
 .
Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x
0
nếu
0
0

a;b
và
x a
x b
lim f(x) f(a)
lim f(x) f (b)












Định lý:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng
(tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
3) Các hàm lượng giác
y sin x, y cosx,y tan x,y cot x
   
liên tục trên tập xác định của chúng.
C. Đạo hàm
1) Đònh nghóa đạo hàm của hàm số tại một điểm:
Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và
0

x x
0
0
f(x) f(x )
f'(x ) lim
x x



2. Ý nghóa hình học của đạo hàm:
 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x
0
là f'(x
0
) . (C) là đồ thò của hàm số

0 0 0
M (x ;f(x )) (C)
 và

là tiếp tuyến của (C) tại M

;f(x
0
)) là:

0 0 0
y f'(x )(x x ) f(x )
  

hay:


0 0
y y k x x
   trong đó :
0 0
0
y f(x )
k f '(x )








3. Các quy tắc tính đạo hàm:
Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số
a. Đạo hàm của tổng ( hiệu ):
 











Đặc biệt
2
1 1
v v


 

 
 
và

 
 
 
 
2
C C.v'
v
v

0
M

Chun đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97
4

3. Đạo hàm của các hàm số cơ bản:  
0

C ( C là hằng số )



x ' 1




C.x ' C


Với u là một hàm số

 
n n 1
x n.x



 
 
 
 

x
x
2
1





x 0




u
u
u
2





  
 
2
2
u
tan u (1 tan u).u
cos u



  

 
 
2
2
1
cot x 1 cot x
sin x

    
 
 
2
2
u
cot u 1 cot u .u
sin u


2
bxa
cabbxbaxaa
bxa
cbxax














 Đạo hàm của hàm số mũ:



'
x x
e e


 
1
ln '
x
x
 
'
ln '
u
u
u

và
 
'
ln '
u
u
u

(với u là một hàm số)

 
1
log '
ln
a

 (với u là một hàm số)

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Ví dụ 1 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau

       
  

 
4
3 2 2
2
1 x 3
1) y x 4x 5x 11 2) y x
3 2 2
2x 1 3x 2x 1
3) y= 4)
y
3x 2 2x 1

Chun đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97
5

Ví dụ 2 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

   
  
3 2
1) y 2sinx sin2x 2) y 3cos2x 2cosx
4 x



x
x
y
3) xxy  42 4)
2
2 xxy 
Ví dụ 5: Tính
f '(x)
và giải phương trình
f '(x) 0

khi biết
1)
3 2
f(x) 2x 3x 36x 10
   
2)
4 2
f(x) x 2x 3
  

3)
2
x 2x 2
f(x)
x 1
 


1 x



4)
2
x x 1
f(x)
x 1
 



Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
1)
3
y x 3x 2
  
tại điểm trên (C) có hồnh độ bằng 2.
2)
4 2
y x 2x
  tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8.
3)
2x 3
y
2x 1




gọi là vi phân của hàm số
y f(x)

, ký hiệu là

df(x) f '(x). x
 
(1) . Đặc biệt với hàm số
y x

ta có


dx x '. x x
   
nên (1) có thể viết thành:

df(x) f '(x).dx


Hết