Chương IV: GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 1:Tính giới hạn của các dãy số sau:
a)
2
2
4 1
lim
3 2
x
n n
n
→∞
− −
+
;b)
2
2
3 1
lim
1 2
x
n n
n
→∞
+ +
−
;c)
2
2
lim

Bài 2:Tính giới hạn của các dãy số sau:
a)
(
)
2
lim 3 2
x
n n n
→∞
+ − +
;b)
(
)
3 2
3
lim 2
x
n n n
→∞
− −
c)
2
1 2 3 ....
lim
1
x
n n
n n
→∞
+ + + +

lim ;
(2 1)(3 )( 2)
x
n n
n n n
→∞
− +
+ − +
b)
4 2
2
2 7
lim
2 3
x
n n
n n
→∞
+ −
− +
;
c)
2
3
3
lim
2 1
x
n n
n

n n
n
x
+
→∞
+
+
g)
5 1
lim
5 1
n
n
x→∞
+
−
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Các định nghĩa giới hạn hữu hạn
1.Cho khoảng K,
0
x K∈
và hàm số f(x) xác định trên K(hoặc K\
{ }
0
x
)
{ }
0
0 0

= ⇔ ∀ < < = ⇒ =
3.Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;
+∞
)hoặc (
−∞
;a)
lim ( ) ( ), , lim lim ( )
n n n n
x x x
f x L x x a x f x L
→+∞ →+∞ →+∞
= ⇔ ∀ > = +∞ ⇒ =
lim ( ) ( ), , lim lim ( )
n n n n
x x x
f x L x x a x f x L
→−∞ →+∞ →+∞
= ⇔ ∀ < = −∞ ⇒ =
2.Định nghĩa giới hạn
±∞
1.Cho khoảng K,
0
x K∈
và hàm số f(x) xác định trên K(hoặc K\
{ }
0
x
)
{ }
0

0
lim
x x
c c
→
=
với c là hằng số.
2.
lim
x
c c
→±∞
=

lim 0
x
c
x
→±∞
=
với c là hằng số.
3.
lim
x
x
→+∞
= +∞

lim ,
k

lim ( ) ,
x x
g x M
→
=
khi đó.
1.
[ ]
0
lim ( ) ( ) ;
x x
f x g x L M
→
+ = +
[ ]
0
lim ( ) ( ) ;
x x
f x g x L M
→
− = −
2.
[ ]
0
lim ( ). ( ) . ;
x x
f x g x L M
→
=
0

g(x)
≤
g(x)với mọi x
∈
K\
{ }
0
x
) và
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
h x g x L
→ →
= =
Thì
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
Định lí 3.
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
0 0

→
=
5.Quy tắc về giới hạn
±∞
*Trường hợp g(x)>0 khi
0
x x→
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
L
0
≠
+∞
0

−∞
L<0 0
+∞
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x
→
±∞
L>0

±∞
±∞
L<0

∞m
6.Các dạng vô định.
1.Dạng
0
0

→
,khi
0 0
lim ( ) ; lim ( )
x x x x
u x v x
→ →
= ±∞ = ±∞
3.Dạng
0.
∞
,tìm
[ ]
0
lim ( ). ( )
x x
u x v x
→
,khi
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
u x v x
→ →
= = ±∞
4.Dạng
∞ − ∞
,tìm
[ ]
0

→ →
,
,x x→ +∞ → −∞
ta thường gặp các dạng vô định tương tự như trên.
B.CÁC DẠNG TOÁN.
Dạng 1.Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định
0
0
Phương pháp:
1.Nhân biết dạng vô định
0
0
:
0
( )
lim
( )
x x
u x
v x
→
khi
0
0
lim ( ) lim ( ) 0
x x
x x
u x v x
→
→

A x
B x
→
3.Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến dưới dấu can thì có thể phân tử và mẩu với biểu thức liên
hợp,sau đó phân tích chúng thành tích để giản uớc.
Bài 1.Tìm giới hạn các hàm số sau:
a)
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
;b)
3
0
(1 ) 1
lim
x
x
x
→
+ −
;c)

2
x
x x
x x
→−
− +
+
Bài 2.Tìm các giới hạn của các hàm số sau
a)
2
2
4
lim ;
7 3
x
x
x
→
−
+ −
b)
5
5
lim
5
x
x
x
→
−

x
x
x
→−
−
− +
;f)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
Dạng 2 .Dạng vô định
∞
∞
Phương pháp:
1.Nhận biết dạng vô định
∞
∞
:
0
( )
lim
( )
x x
u x

3.Nếu u(x)hoặc v(x)có chứa biến x trong dấu căn thì đưa
k
x
ra ngoài dấu căn(với k là số mũ cao
nhất của biến x trong dấu căn),sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.
Bài 1.Tìm các giới hạn của các hàm số sau
a)
3
3 2
2 3 4
lim
1
x
x x
x x
→+∞
= −
− − +
b)
2
3
(3 1)(5 3)
lim
(2 1)( 1)
x
x x
x x
→±∞
+ +
− +

x x
→±∞
+ + +
+ − −
; f)
1
2
1
3
1
lim
2 3
3 2
x
x
x
x x
→−
 
+
 
+
 
−
 
+ +
 
Dạng 3.Dạng vô định
;0.
∞ − ∞ ∞

2
lim 4 2
x
x x x
→−∞
− +
c)
(
)
2
lim 2 3 4 4 3
x
x x x
→±∞
− − − −
; d)
( )
3
2
1
lim 1
1
x
x
x
x
+
→
−
−

lim 4 1
x
x x
→+∞
− +
c)
2
3
3
2
lim
2
x
x
x x
→
+
− −
;d)
3
2
2
2 15
lim
( 2)
x
x
x
→−
+

x x x x
x x
→
+ + − − +
−
; d)
0
9 16 7
lim
x
x x
x
→
+ + + −
e)
2
3
1
7 5
lim
1
x
x x
x
→
+ − −
−
; f)
32
0

→
+ −
−
Bài 4. Tìm giới hạn của các hàm số sau
a)
3
3
1 2 3
lim
9
x
x x
x
→±∞
− +
−
; b)
2 5
7
( 1)(1 2 )
lim
3
x
x x
x x
→+∞
− −
+ +
c)
2

− + +
−
; f)
2
3
3
2 3
lim
1
x
x x
x x
→±∞
+ +
− +
Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau
a)
2 2
lim ( 1)
x
x x x
→±∞
− − +
;b)
2 2
lim ( 8 3 4 3)
x
x x x x
→±∞
+ + − + +

3.Hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
; ( )a b f x⇔
liên tục trên khoảng
( ; )a b
và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
+ −
→ →
= =
4.Hàm số f(x) không liên tục tại điểm
0
x
thì
0
x
gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x)
II.Các định lí.
Định lí 1.a)Các hàm đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
b)Các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Định lí 2.Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên khoảng K,khi đó
a)Các hàm số f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x).g(x) cũng liên tục trên khoảng K.
b)Hàm số
( )
( )
f x
g x
liên tục trên khoảng K nếu g(x)

lim lim ( )
x x x x
f x
+ −
→ →
= =
3.Hàm số f(x) liên tục tại điểm
0
x
Dạng 2.Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng
Phương pháp:
1.Áp dụng định lí 1,định lí 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.
2.Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức,ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của
hàm số đó.
Dạng 3.Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm
Phương pháp:
1.Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất một nhgiệm
-Tìm 2 số a và b sao cho f(a).f(b)<0
-Hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
-Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm
0
( ; )x a b∈
2.Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất k nghiệm