Khối chuyên Toán - Tin trường ĐHKHTN-ĐHQGHN
Đề thi thử đại học lần 1 năm 2008-2009
Ngày thi: 15/2/2009
• Thời gian: 180 phút.
• Typeset by L
A
T
E
X 2
ε
.
• Copyright
c
2009 by Nguyễn Mạnh Dũng.
• Email:
1
1 Đề bài
Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = 2x
3
− 3(m + 1)x
2
+ 6mx + 6.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác
sin 4x + 2 = cos3x + 4 sin x + cos x
2) Giải phương trình
2 + (1 − log
3
x) log


xdx
cos
4
x
Câu IV (3 điểm). Cho hai đường tròn trên mặt phẳng tọa độ có phương trình x
2
+ y
2
= 1 và
x
2
+ y
2
+ 16 = 8x + 4y.
1)a) Viết phương trình các đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình.
b) Tìm giao điểm của các tiếp tuyến.
2) Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
= 1, u
2
+ v
2
+ 16 = 8u + 4v. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
M = 8u + 4v −2(ux + vy)
Câu V (1 điểm). Tìm số các số tự nhiên gồm 8 chữ số phân biệt được thành lập từ các chữ số
0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho trong mỗi số không có bất kì hai chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau.

.y
min
= y(1).y(m) < 0
⇔ (9m − 1)(−2m
3
+ 3m
2
+ 6m) < 0
⇔ m(9m − 1)(−2m
2
+ 3m + 6) < 0
⇔ m <
3 −
√
57
4
, 0 < m <
1
9
, m ≥
3 +
√
57
4
Câu II.
1) Phương trình đã cho tương đương với
⇔ (sin 4x −sin 2x) + (sin 2x − cos x) + (2 − 4 sin x) = cos 3x
⇔ (2 cos 3x sin x −cos3x) + cos x(2 sin x − 1) − 2(2 sin x −1) = 0
⇔ (2 sin x − 1)(cos 3x + cos x −2) = 0
• sin x =

x
= 3
t
⇔

x = 2
t−1
x = 3
1−t
⇔ 2
t−1
=

1
3

t−1
⇔ t = 1 ⇔ x = 1
• log
2x
4 − log
2
√
x
4x
2
⇔
2
1 + log
2

(t) =
1
1 + t
− 1 < 0
Suy ra f(t) là hàm giảm suy ra f(t) < f (0) ⇒ ln(1 + t) − t < 0, đpcm.
Với t = 0 ⇒ ln(1 + t) = t ta thu được phương trình tương đương
sin x + cos x = 0 ⇔ cos (x −
π
4
) = 0 ↔ x =
π
4
+ 2kπ, k ∈ Z.
2) Ta có
I =

xdx
cos
4
x
−

x(1 + tan
2
x)d(tan x) =

xd(tan x) +

xd(
tan


tan x

1
cos
2
x
− 1

dx
= x tan x +
x tan
3
x
3
−
2
3

d(cos x)
cos x
−
1
3

tan xd(tan x)
= x tan x +
x tan
3
x

Trong đó d là khoảng cách giữa hai điểm trên 2 đường tròn. Khoảng cách tâm bằng
√
4
2
+ 2
2
= 2
√
5.
Suy ra

d
max
= 2
√
5 + 1 + 2 = 2
√
5 + 3
d
min
= 2
√
5 − 3
⇒

P
max
= 15 +

2

= C
2
5
2!5!
Đáp số: d = d
1
− d
2
= 100.5!
4