GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN
GIA SƯ



Ứ
ỨỨ
ỨC KHÁNH‘‘Thắp sáng ngọn lửa thành công’’
• Chuyên luyện thi ðại Học
Khối A - B
• Nhận dạy kèm tất cả các lớp
22A - Phạm Ngọc Thạch – TP.Quy Nhơn
Liên hệ
: Thầy Khánh – 0975.120.189
BÀI TP GII HN

DNG I: TÌM GII HN DÃY S
Phương pháp gải: Dùng ñịnh nghĩa , tính chất và các ñịnh lý về giới hạn của dãy số

VÝ dô 1:
VÝ dô 1:VÝ dô 1:
VÝ dô 1: T×m: 2

lim
2
n 2
− −
− +
Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i: 3 1
2
2
n 2
2n 3n 1 2
n
lim lim 2
2 2 1
n 2
1
2
n
− −
− −
= = = −
−
− +

− − + = = =−
− + +
− + +
.

DNG II: CHNG MINH
limu 0
n
=

Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý
• Cho hai dãy số
( )
|u | v
n n
u ,v : limu 0
n n n
lim v 0
n





≤
⇒ =
=
(1)
(1)(1)
(1)

n

=

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
Ta có:
( )
n
1 cosn
1
n n


và
1
lim 0
n
=
nên
( )
n
1 cosn
lim 0
n

=
Giải:
Giải:Giải:
Giải:
Ta có
( )( )
(
)
u
n n 1
1 n
n 1
. 1, n.
u 1 n 2
n 1 n 2
n
+
+
= = <
+
+ +
Do đó dãy
(
)
n
u
giảm. Ngoài ra,
( )
1
*
n :u 0,

n
2 2
2
2
= + + + + +

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <
và
u 1
1
=
. Vậy:
u
1
1
S 2
1 q 1
1
2
= = =




2n 4n 3
n n
lim lim
2 3 1
3n 1
n
3
n
+
+
=
+
+

Lại có
4 3 3 1
lim 2 2 0,lim 0
n2 3 2
n n n




+ = < + =
và
3 1
*
0 n
n
3

Ta cã:
4 3
4 3
3
n 2
2
3
2 3
2 3
2n 4n 3
n n
n n
lim lim lim n.
2 1
1
3n 1
2
3
n 3
2
2
n
n
 
 
 
 
 
 
 

n n
 
 
 
 
 
 
 
− + − − + −
− + −
= +∞ = − < ⇒ = = −∞
+
+ +

VÝ dô
VÝ dôVÝ dô
VÝ dô 2
2 2
2:
::
: TÝnh
2
lim 4x 1
x
−
→−∞

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:

Phương pháp giải: Sử dụng các ñịnh lý và quy tắc
VÝ dô 1:
VÝ dô 1:VÝ dô 1:
VÝ dô 1: TÝnh:
1
lim x.sin
x
x 0
 
 
 
→
.
Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
XÐt d·y
(
)
x
n
mµ
x 0, n
n
≠ ∀
vµ
limx 0
n
=
. Ta cã:

 
 
 
 
+ + −
→+∞

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i: Ta cã:
1
1
2 2
x x 1 x x 1 1
2
x
lim x x 1 x lim lim lim
x x x x
2
2 2 1 1
x x 1 x x x 1 x
1 1
x
2
x
 
 

3x 1 3
2
x x
lim x 3x 1 x lim lim lim
x x x x
2
2 2 3 1
x 3x 1 x x 3x 1
1 1
1
x
2
x
x
 
 
 
 
+ +
+
+ + + = = = = −
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
+ + − + +
− + + −
−

(Chó ý: khi
x
→ −∞
lµ ta xÐt x < 0, nªn

x J\ x :g x f x h x
0
lim f x L
x x
lim g x lim h x L
0
x x x x
0 0







∀ ∈ ≤ ≤
⇒ =
→
= =
→ →

VÝ dô:
VÝ dô:VÝ dô:
VÝ dô: Chøng minh:
2
x sinx
lim 0
x
4
1 x

2 2 2
x x x sinx
lim lim 0 lim 0
x
x x
4 4 4
1 x 1 x 1 x
= = = =
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
+ +
+ +
⇒ = = ⇒ =
→−∞
→+∞ →+∞
+ + +
.

DNG VIII: GII HN MT BÊN
Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh nghĩa giới hạn một bên
• Giả sử hàm số f xác ñịnh trên khoảng
0
(x ;b)
.
 Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần ñến
0
x

0
lim f(x) L
x x
=
→
tồn tại
lim f(x)
x x
0
+
→
,
0
lim f(x) L
x x
=
−
→

và
lim f(x) lim L
x x
x x
0
0
= =
−
→
+
→

Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
Ta cã:
( )
( )
2
2
lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1
x 1 x 1
   
   
   
   
 
 
 
= − = − − = −
+ +
→ − → −
(1)

( )
3
lim f x lim x 1
x 1 x 1
   
   
   
   
= = −


>
+
=
−
<
+

a) T×m
(
)
lim f x
x 2
→

GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN
b) Tìm
(
)
lim f x
x 1


Giải:
Giải:Giải:
Giải:
a)
( )
1 1
lim f x lim

)
lim f x
x 1


(Chú ý:
(
)
lim f x
x x
0

tồn tại khi và chỉ khi
(
)
(
)
lim f x lim f x L
x x
x x
0
0
= =


+

thì
(
)

0 0
= =

:
Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho
x x
0


Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lợng liên hiệp.
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 9x 14
lim
x 2
x 2
+



Giải:
Giải:Giải:
Giải:
(
)
(
)
( )

)
(
)
(
)
(
)
(
)
4 x 2 4 x 2
4 x 2 4 x 4 1 1
lim lim lim lim
4x 16
x 0 x 0 x 0 x 0
4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2
+ + +
+ +
= = = =

+ + + + + +

Ví dụ 3:
Ví dụ 3:Ví dụ 3:
Ví dụ 3: Tìm:
3
x 7 2
lim
x 1
x 1
+




+ + + + +
+ +
= =


+ + + + + + + +

( )
1 1
lim
12
x 1
2
3
3
x 7 2. x 7 4

= =

+ + + +


(
)
(
2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2
2x 5 3 4
lim lim lim lim
x 2 x 2 x 2 x 2
x 2 2 2x 5 3
x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3
+ + + + + + + + + +
+
= = = =

+ + +
+ + + + + + + +

GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN
V
VV
Ví dụ 5:
í dụ 5:í dụ 5:
í dụ 5: Tìm:
3
x 3x 2
lim
x 1
x 1






= = =



+ + = + + = =

+
+
=

Ví dụ 6:
Ví dụ 6:Ví dụ 6:
Ví dụ 6: Tìm:
4
x 2 1
lim
3
x 1
x 2 1





+ +
+ + +
= = = =


+
+ + + +

Ví dụ 7:
Ví dụ 7:Ví dụ 7:
Ví dụ 7: Tìm:
3
x 7 x 3
lim
x 1
x 1
+ +



Giải:
Giải:Giải:
Giải:
(
)
( )

+ +
+ + + +
= =

, ta lu ý:
Đặt
m
x
(m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
Sử dụng kết quả:
1
lim 0
x
x
=


( với
0
>
)
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Tìm:
2
3x 4x 1
lim
x
2
2x x 1
+
+
+ +


x
2 3x
+ + −
→−∞
−

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
1 1
1 3
2
x
2
x x 1 3x 1 3 4
x
lim lim
x x
2 3x 2 3 3
3
x
− + + −
+ + − − −
= = =
→−∞ →−∞
− −
−

VÝ dô 3:
VÝ dô 3:VÝ dô 3:

2
x
+ + −
+ + − −
= = =
→−∞ →−∞
− +
− + +
− − + +

3) Dạng
∞−∞
và dạng
0.
∞

• Nhân và chia với biểu thức liên hợp
• Nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy ñồng mẫu ñể ñưa về cùng một phân thức.

VÝ dô
VÝ dô VÝ dô
VÝ dô :
::
:
2
lim ( 2 3 )
+ + −
→+∞
x x x
x

x x
x x x
x
x
x x
x x x
x
x