Phương pháp toán tử cho mô-men góc và
cho dao động điề u hòa
Lý lê
Ngày 9 tháng 9 năm 2009
Tóm tắt nội dung
Các đặc trị của những toán tử năng lượng cho dao động điều hòa
và toán tử mô-men góc của hạt chuyển động trên một mặt cầu đã được
xác định bằng cách giải phương trình vi phân. Sau đây, chúng ta sẽ
sử dụng một phương pháp khác để tìm các đặc trị này, được gọi là
phương pháp toán tử bậc thang. Theo đó, các đặc trị được xác định chỉ
cần dựa vào các mối liên hệ giao hoán của các toán tử.
1 Phương pháp toán tử bậc thang cho mô-men góc
Chúng ta đã dùng chữ cái L để chỉ mô-men góc orbital. Sau đây, chúng ta
sẽ dùng chữ cái M để chỉ mô-men góc nói chung. Có ba toán tử mô-men góc
là

M
x
,

M
y
,

M
z
. Tính tất của chúng cũng giống như

L
x
,


M
x
; [

M
z
,

M
x
] = i

M
y
(1)
Toán tử

M
2
được xác định bởi

M
2
=

M
2
x
+

2
,

M
z
] = 0 (3)
Nhiệm vụ của chúng ta là sẽ xác định các đặc trị của

M
2
và

M
z
dựa vào
những mối liên hệ trên. Trước hết, chúng ta định nghĩa hai toán tử mới là
toán tử tăng

M
+
và toán tử giảm

M
−
như sau

M
+
=


z
.
1
Ta có

M
+

M
−
= (

M
x
+ i

M
y
)(

M
x
− i

M
y
)
=

M

+ i[

M
y
,

M
x
]
Vì
[

M
y
,

M
x
] = −[

M
x
,

M
y
] = −i

M
z

M
2
z
+ 

M
z
(6)
Tương tự, ta tìm được

M
−

M
+
=

M
2
−

M
2
z
− 

M
z
(7)
Ta có

M
y
,

M
z
]
với
[

M
x
,

M
z
] = −[

M
z
,

M
x
] = −i

M
y
và
[

M
x
+ i

M
y
) = −

M
+
(8)
Như vậy, chúng ta thấy
[

M
+
,

M
z
] =

M
+

M
z
−

M

M
−

M
z
=

M
z

M
−
+ 

M
−
(11)
Gọi Y là những đặc hàm chung của

M
2
và

M
z
, ta có

M
z
Y = bY (12)


M
z

M
+
− 

M
+
, (14) trở thành
(

M
z

M
+
− 

M
+
)Y = b

M
+
Y
hay

M

=

M
z

M
+
− 

M
+
, ta sẽ thu được

M
z
(

M
2
+
Y ) = (b + 2)(

M
2
+
Y ) (16)
Cứ tiếp tục như trên nhiều lần với toán tử tăng

M
+


M
−
+ 

M
−
ta sẽ thu được

M
z
(

M
−
Y ) = (b − )(

M
−
Y ) (18)

M
z
(

M
k
−
Y ) = (b − k)(


±
Y ) = (b ± k)(

M
k
±
Y ) (20)
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh những hàm này cũng là những đặc hàm
của

M
2
với cùng những đặc trị là c; nghĩa là ta chứng minh

M
2
(

M
k
±
Y ) = c(

M
k
±
Y ) (21)
3
Ta thấy


y
] = [

M
2
,

M
x
] ±i[

M
2
,

M
y
] = 0 (22)
Tương tự, ta có
[

M
2
,

M
2
±
] = [


M
k
±
] = 0 hay

M
2

M
k
±
=

M
k
±

M
2
(24)
Từ (13), ta có

M
k
±

M
2
Y =


k
±
Y và b
k
= b ± k, từ (20) ta có

M
z
Y
k
= b
k
Y
k
(26)
suy ra

M
z

M
z
Y
k
=

M
z
b
k

±
Y ) −

M
2
z
Y
k
= c(

M
k
±
Y ) −b
2
k
Y
k
(28)
Thế

M
k
±
Y = Y
k
, ta có

M
2

= (c − b
2
k
)Y
k
(30)
Toán tử

M
2
x
+

M
2
y
tương ứng với một thuộc tính vật lí không âm, do đó
nó sẽ có những đặc trị cũng không âm. Từ đó, ta suy ra
c −b
2
k
≥ 0 hay
√
c ≥ |b
k
|
Vì vậy
−
√
c ≤ |b

(32)

M
z
Y
max
= b
max
Y
max
(33)
Từ (33), ta có

M
+

M
z
Y
max
= b
max

M
+
Y
max
(34)
hay


+
− 

M
+
)
Phương trình (35) cho ta thấy

M
+
Y
max
là một đặc hàm của

M
z
với đặc trị
là (b
max
+). Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng b
max
là đặc trị lớn nhất
của

M
z
. Để loại bỏ mâu thuẫn này và để (35) đúng thì hàm

M
+


M
z
)Y
max
= 0
(c −b
2
max
− b
max
)Y
max
= 0
(c −b
2
max
−b
max
) = 0
Như vậy
c = b
2
max
+ b
max
(37)
Lý luận tương tự, ta có

M

min
−  (41)
Chúng ta loại nghiệm thứ hai vì b
max
không thể nhỏ hơn b
min
. Vậy nên
b
min
= −b
max
(42)
5
Mặt khác vì các giá trị b
k
khác nhau từng nấc với giá trị là , nên
b
max
− b
min
= n (n = 0, 1, 2, . . .) (43)
Thế (42) vào (43), ta được
b
max
=
1
2
n = j (j =
n
2

2
c = j(j + 1)
2
(j = 0,
1
2
, 1,
3
2
, 2, . . .) (47)
Tóm lại, chỉ bằng cách sử dụng mối liên hệ hoán vị giữa các toán tử,
chúng ta đã tìm được các đặc trị của

M
2
và của

M
z

M
2
Y = j(j + 1)
2
Y (j = 0,
1
2
, 1,
3
2

kx
2
=
1
2m
(i
2

2
d
2
dx
2
+ m
2
ω
2
x
2
) (50)
với ω
2
=
k
m
.
6
Các toán tử tăng

A

Ta có

A
+

A
−
=
1
√
2m

p
x
+ imωx

1
√
2m

p
x
− imωx

=
1
2m
(p
x
+ imωx)(p

2
− imωp
x
x + imωxp
x
)
=
1
2m

p
2
x
+ m
2
ω
2
x
2
+ imω(xp
x
− p
x
x)

với
1
2m
(p
2

H −
1
2
hν (52)
hay

H =

A
+

A
−
+
1
2
hν (53)
Trong đó
ν =
ω
2π
Tương tự, ta có

A
−

A
+
=


−
] =

A
+

A
−
−

A
−

A
−
= (

H −
1
2
hν) −(

H −
1
2
hν) = −hν (56)
Mặt khác, ta có
[

A

−
+
1
2
hν)]
Áp dụng các công thức
[

A,

B +

C] = [

A,

B] + [

A,

C]
[

A,

B

C] = [

A,


A
+

A
−
] + [

A
+
,
1
2
hν]
= [

A
+
,

A
+
]

A
−
+

A
+

] = −hν, ta thu được
[

A
+
,

H] = −hν

A
+
(57)
Tương tự, ta có
[

A
−
,

H] = hν

A
−
(58)
Chúng ta có phương trình Schr¨odinger

Hψ = Eψ (59)
Áp dụng

A


A
+
⇒

A
+

H =

H

A
+
− hν

A
+
Do đó, (60) trở thành
(

H

A
+
− hν

A
+
)ψ = E

A
−
ψ) = (E −hν)(

A
−
ψ) (62)
Như vậy,

A
−
ψ cũng là đặc hàm của

H với đặc trị E −hν. So với năng lượng
ở trạng thái ψ, năng lượng ở trạng thái này giảm một bậc là −hν. Bởi vì
8
đặc trị năng lượng của toán tử Hamiltonian chỉ nhận giá trị dương nên sự
giảm này phải được dừng lại tại một điểm cụ thể nào đó. Điểm này được
gọi là năng lượng điểm không, tức năng lượng thấp nhất của hệ. Tại đó, sự
tác dụng của toán tử giảm

A
−
không làm cho năng lượng của hệ giảm thêm
được nữa

A
−
ψ
0

A
−
+
1
2
hν)ψ
0
= E
0
ψ
0

A
+

A
−
ψ
0
+
1
2
hνψ
0
= E
0
ψ
0
Vì


+ hν = (1 +
1
2
)hν
Tương tự, mức năng lượng E
2
cao hơn mức năng lượng E
1
một bậc là hν
E
2
= E
1
+ hν = (2 +
1
2
)hν
Một cách tổng quát, năng lượng của dao động điều hòa được tính bởi
E
n
= (n +
1
2
)hν (n = 0, 1, 2, . . .) (66)
Như vậy, dựa vào sự hoán vị của các toán tử, chúng ta cũng xác định được
các đặc trị của dao động điều hòa. Kết quả hoàn toàn phù hợp với việc giải
phương trình Schr¨odinger.
9
Bài tập
1. Toán tử tăng và toán tử giảm của mô-men góc được định nghĩa như sau


M
2
−

M
2
z
− 

M
z
2. Toán tử tăng và toán tử giảm của dao động điều hòa được định nghĩa
như sau

A
±
=
1
√
2m

p
x
± imωx

Chứng minh

A
−

. Chứng minh

M
k
±
Y (k = 0, 1, 2, . . .)
cũng là những đặc hàm chung

M
2
và

M
z
.
4. Thực hiện phép giao hoán sau
[

A
−
, (

A
−

A
+
−
1
2