139
Bài giải - Đáp số - Chỉ dẫn

4.1. 1. a) Với đồ thị hình 4.23. thì đây là một hàm chẵn nên b
k
=0.
Xung đầu tiên có biểu thức giải tích: ⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<<
≤≤−
−<<−
=
Tt
t
khi
t
t
t
khih
t

=→===
∫∫
−−
0
2
2
2
2
0
2
22

(**) ,,k;
T
t
ksin
k
h
T
t
k
T
t
ksin
T
htt
T
ksin
T
Tk

x
t
t
T
T
k
X
X
321
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
222
1
1
1
11
1

140
b) Tìm phổ theo
k
.
C
:
T
t
ksin
k
h
T
t
k
T
t
ksin
T
ht
k
t
ksin
T
h
k
ee
T

x
x
tjk
t
t
tjk
T
T
tjk
k
XX
XX
X
X
.
π
π
=
π
π
=
ω
ω
=
ω
−
=
ω−
−
=

11

Theo biểu thức cuối:

(*)
T
ht
CA
x
==
00(**)
T
t
k
T
t
ksin
T
ht
CA
x
x
x
kk
π
π
==

1
ω
1
ω
1
ω
1
ω
ω
ω
π
1
ω
1
ω
1
ω
1
ω
1
ω
1
ω
1
ω
1
ω
1
ω
1

π
π
+=ω
π
π
+
11
1
1
121
k
tjk
x
x
x
k
x
x
x
)e
T
t
k
T
t
ksin
(
T
ht
)tkcos

20
0
,,k;k,sin
k
h
A;h,A
k
=π
π
==

Kết quả tính cho trong bảng 4.2
Bảng 4.2.
k 0 1 2 3 4 5 6
A
K

4. 7,484. 6,055. 4,036. 1,871. 0 -1,247.
IA
k
I
4 7,484 6,055 4,036 1,871 0 1,247
ϕ
k

0 0 0 0 0 0
π
k 7 8 9 10 11 12 13
A
K

là biểu thức (**) trong BT(4.1) nhân với
1
2
ωk
t
j
x
e
(thành phần A
0
giữ nguyên như
(*) vì e
0
=1.)
-Tín hiệu hình 4.4b) chậm so với tín hiệu trong BT4.1 là t
X
/2→ phổ sẽ là
biểu thức (**) trong BT (4.1) nhân với
1
2
ω− k
t
j
x
e
Như vậy phổ biên độ không thay đổi, chỉ thay đổi phổ pha so với BT(4.1).
4.3. Hàm lẻ.

∑
∞

E
n½chkkhi
)kcos(
k
E
b142
4.4. Trong chu kỳ đầu thì u(t)=At nên
dtteA
T
C
T
t
T
jk
k
.
∫
π
−
=
0
2
1

Lấy tích phân từng phần:
u=t; du=Adt; dV=
T

0
2
2
2
1
0
2
π
=
π
−
π−
π
−
π
−
π
=
π−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

T
jk
jk
T
t
T
jk
t
T
jk
k
e
k
AT
jk
AT
T
)
T
jk(
e
jk
e
T
T
A
dte
T
jk
T


Chuỗi Fourrie ở dạng thực: ở đây phải tính các A
k
qua
k
.
C ,lúc đó chú ý là
từ biểu thức của
k
.
C trên, khi k =0 thì
k
.
C = ∞ nên tính riêng C
0
:

2
0
2
11
2
0
0
AT
T
At
T
Atdt
T

π
+=
π
+
π
π
+
∑∑
∞
=
∞
= 11
2
221
1
22
2
2
kk
)t
T
kcos(
k
AT
)t
T
kcos(
k
ATAT


S

143
;tdtksinAt
T
b
T
T
k 1
2
2
2
ω=
∫
−
Đặt t = u → du=dt ; dv=sinkω
1
tdt → v=
1
1
ω
ω−
k
tkcos

;dt
k
tkcos
T
T

2
2
1
1
1
1
2
2
2

Thành phần thứ nhất trong tổng:
,,,k;
k
T
)(Ab)lÎkvíi
k
T
;n½chkvíi
k
T
kcos
k
T
kcos
k
T
)]
T
T
kcos()

ω
−=
π
−−−
π
ω
−
+
Thành phần thứ hai trong tổng:
0
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
=

π
−=
ω
−=
+++
k
AT
)(
T
k
T
.
T
A
)(
k
T
.
T
A
)(b
kkk
k
11
1
1
1
2
2
1

.n½chkkhi
.lÎkkhi
víi)tksin(
k
.
k
k
k
0
108
1
1
6

So sánh modun của biểu thức b
k
trong (*) với mondun A
k
trong bài giải
của BT4.4 thì thấy chúng là một (!) vì các dãy xung có cùng cấu trúc,chỉ khác
nhau ở quan hệ pha.
4.7. Xung xạ tần (tần số phát xạ được vào không gian) sử dụng trong kỹ thuật
rada.ở dãy xung này cần phân biệt các thông số:
- U
0m
biên độ xung điều hoà cao tần.
- f
0
=
0

=ω=
∫∫
∫∫
τ
τ
ω−ω−
τ
τ
ω+ω−
τ
τ
ω−
ω−ω
τ
τ
ω−
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
00
0101
1
00

ee
)k(j
ee
dte
)k(j)k(j)k(j)k(j
t)k(j
01
01
01
22
01
22
2
2
2
2
01010101
01
ω+ω
τ
ω+ω
=
ω+ω
−
=
ω+ω−
−
=
τ
ω+ω−

)ksin(
)k(j
)ksin(j
)k(j
ee
)k(j
ee
)k(j
e
dte
mm
k
.
)k(j)k(j)k(j)k(j
t)k(j
t)k(j
01
01
0
01
01
0
01
01
01
01
01
22
01
22

−
=
ω−ω−
−
=
τ
−
τ
ω−ω−
=
τ
ω+ω−
τ
ω−ω
τ
ω−ω
τ
ω−ω−
ω−ω−
τ
τ
ω−ω−
∫

Để tiện biểu thức thường đưa về dạng
x
xsin
:

2

ω−ω
τ
ω−ω
τ
=
)k(
)ksin(
.
T
.U
CA
)k(
)ksin(
T
U
)k(
)ksin(
T
U
C
m
k
.
k
.
mm
k
.

b) Tính phổ: Với T

1021010
1
501010210551021
10
1
π=ω===
=
τ
==τ===τπ=ω==
−−
−

0
105
2
105
102
2
0
6
0
0
6
6
0
0
0
0
0
0

)]k(,[
)]k(,sin[
.U.,
.
).k.(
]
.
).k.sin[
.
T
.UA
mmk
−π
−π
=
π−π
π−π
τ
=
−
−
1050
1050
50
2
105
102102
2
105
102102

theo công thức cuối với k=0÷20 ở bảng
4.3.
Bảng 4.3.
k 0 1 2 3 4 5
6

7

A
k
[V] 0 3,535 0 4,545 0 6,365 0 10,61
k
8 9 10 11 12 13 14 15
A
k
[V] 0 31,83 50 31,83 0 10,61 0 6,365
k
1
6
17 18 19 20 21 22 23
A
k
[V] 0 4,545 0 3,535 0 2,89 0 2,445
Từ bảng dựng đồ thị phổ biên độ hình 4.26

146
1
ω
1
ω

)tcos(
)k(
A
)(
A
)t(s
e
)k(
)(A
CA
A
C
k
k
k
k
j
k
K
.
,,k
.
.
1
1
2
1
1
1
2

∑∑
∞
=
+
∞
=
+
π
−
+
=

4.9.2222
0
22
00
00
4
4
2
2
Tk(
TU
k)
T
(
T

⎪
⎨
⎧
≤≤−
≤≤+−
≤≤−
−≤≤−+
−≤≤−−
=
−−
−−
−−
−−
−−
S.tS.khiE
S.tSkhiE)t(
;StSkhiE
StS.khiE)t(
;S.tS.khiE
)t(u
66
666
66
666
66
104103
10310210
1010
10103210
103104

dt)t(u
chính là phần diện tích được bôi trên đồ thị
nên sẽ bằng 0. Chỉ xác định a
k
với k=1,2,3,4…
Biểu thức giải tích của một chu kỳ là:

2
T
2
T
8
T
4
T
4
T
8
T
8
T
Sμ
8
T
8
T
⎥

6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
104
103
6
103
10
66
10
103
10
10
666
103
104
6
6
2
2
1
101250211012502210
10125021012502210

−=π−
−−
=
−
−
−
−
−
−
−
∫
−
−
)] ,.k(sin) ,.k([sin
.,.k
.,.k
)t.,.k(sin
dt)t.,.k(cos
.
.
.
.
6666
6
6
104
6
103
6
6

π
π−
π
=π−−π−
π
−
+Tích phân thứ 2:

148

11
10
103
6
10
103
66
10
103
66
6
6
6
6
6
6
10125022
1012502101012502210
BAdt)t.,.kcos(
dt)t.,.kcos(.t(dt)t.,.kcos()t(

dtdutu
dt)t.,.kcos(.tA
.
.
11
6
10
103
6
6
6
6
6
6
6
6
10
103
66
1
10
1012502
1012502
1012502
1012502
10
1012502
1012502
1012502101250210
6

⎢
⎢
⎣
⎡
π
π
=
π=
=→=
=π=
∫
∫
−
−
−
−
−
−
−
−

=
π
π−
−−
π
π−
−=
−
−

.,.k
)ksin()k,(sin
π
π
−π
−

626
266
66
11
6
1
2626
6666
6
103
6
10
26
6
10
103
6
6
1
1012502
4
3
250

)k(cos)k,(cos
.,.k
)ksin()k,(sin
]NM[A
).,.k(
)k(cos)k,(cos
).,.k(
) ,.k(cos) ,.k(cos
).,.
k(
)t.,.k(cos
dt
.,.k
)t.,.k(sin
N
.
.
π
π
−π
+
π
π
−π
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

−−
−
−
−
−
−
−
∫
−
−+
π
π
−π
+
π
π
−π
=+
π
π
+π−
=π=
∫
−
−
−
−

.

6626
1012502
4
3
250
1012502
4
3
250
1012502
4
3
2520
2
.,.k
)ksin()k,(sin
),.k(
)k(cos)k,(cos
.,.k
)ksin()k,sin(
π
π
+π
−
π
π
−π
=

π
π
=
π
π
=π
−
−
−
−
∫
−
−
:
+Tích phân thứ 4

=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢

2
22
103
10
6
103
10
66
103
10
66
1012502
1012502
1012502101250210
10125022
1012502101012502210
6
6
6
6
6
6
6
6
.,.k
)t.,.ksin(
v
dt)t.,.kcos(dv
dtdutu
dt)t.,.kcos(tA

1012502
1012502
10
6
6
−−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
π
π
π
π
−
∫
−
−
−
−
−

.
.),.k(
)k,cos()kcos(
.,.k

6
6
66
2
26
103
10
6
6
2
6
6
6
6
6
66
6
6
66
6
2
1012502
250
4
3
1012502
250
1012502
4
3

103
6
6
π
π−
π
−
π
π
+
π
π
−
=
π
π−
π
+
π
π
−
π
π
−=
π
π−
π
−=
π
π

⎡
π
π
−
π
π
=
π
π
=π=
−−
−
−
∫
−
−
).,.k(
) ,.ksin(
).,.k(
) ,.ksin(
).,.k(
)t.,.ksin(
dt)t.,.kcos(B
.
.
6
66
6
66
103

3
2
2
π
π
−
π
π150
).,.k(
)k,sin(
.,.k
.ksin
.),.k(
)k,cos()kcos(
).,.k(
)k,sin(
.,.k
.ksin
.),.k(
)k,cos()kcos(
.,.k
k,sin
.,.k
.ksin
BA
6
66266

−
π
π
−
π
π−
π
−=
π
π
−
π
π
π
π−
π
−
π
π
+
π
π
−=+

+Tích phân thứ 5:

).,.k(
)k(sin
).,.k(
)k(sin.)k(sin

66626
66626
1012502
4
3
250
2
1012502
4
3
1012502
250
1012502
4
3
1012502
250
4
3
1012502
2502
1012502
4
3
1012502
250
1012502
4
3
250

+
π
π
−
π
π
−
π
π−
π
−
π
π
+
π
π
−
π
π
−
π
π
−π
+
π
πKết quả b
k

−π
=
−

4.11.Hãy so sánh dãy xung này với dãy xung trong BT4.3 để tìm lời giải.

4.12.Hàm chẵn nên tìm được
22
0
321
00
0
12
2
22
)k(
U
A;
Ua
A
,,k
+π
===
=4.13. Biểu diễn tín hiệu qua biến đổi Fourrie ngược ở dạng phức.

∑
∞

τ
ω
τ
ω
τ=ω
jj
e
sin
A)j(
.
S)ce
sin
A)j(
.
S)b
sin
A)j(
.
S)a
2
2
2
2
2
2151
4.15.
α

A
)j(
sinje)cose(
A
)j(
e.e
A
)j(
e
A
)j(
e
AdteAdte.eA)j(S
.
ωθ
βτβτ
ωτ−βττω−βω−β
τ
ω−β
τ
ω−β
=
ω−β
βτ−−βτ
=
ω−β
−
=
ω−β
−

a)
ω−
ω
ω
=ω
2
1
2
2
x
t
j
x
x
x
e
t
t
sin
At)j(S
.

Theo tính chất trễ thì phổ của xung thứ hai:

ω−
ω−
ω
ω
=ω
jT

ee
t
t
sin
At)j(S
x
.
2
2
3
2
2

…………………………….

Phổ của xung thứ n:

ω−−
ω−
ω
ω
=ω
T)n(j
t
j
x
x
x
n
ee

x
x
x
n
ee
t
t
sin
e
t
t
sin
[At)]j(S )j(S)j(S[)j(S
xx

22
2
1
2
2
2
2

=
−
−
ω
ω
=+++
ω

T)n(j
t
j
x
x
Tj
t
j
x
x
e
e
e
t
t
sin
At]*e ee[e
t
t
sin
At
]ee
t
t
sin
ee
t
t
sin
xx

22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
ω
+−−ω−
ω
−
ω
−
ω
−
ω
−
ω
−
ω

ω
ω
]
t
T)n[(
x
x
x
t
j
jT
jnT
x
x
x
jT
jnT
jTjT
jnTjnT
t
j
x
x
x
jTjT
jnTjnT
jT
jnT
t
j

At
e.e
e.e
e
.e
e
t
t
sin
At
Chú ý:(*) được áp dụng công thức tổng S
n
của cấp số nhân.

b) Để vẽ phổ biên độ S(jω)=
2
2
2
2
ω
ω
ω
ω
Tsin
nTsin
.
t
t
sin
At

2
2
2
2
0
0
T
Tsin
T
nT
nTsin
.nT
.
t
t
sin
At
Tsin
nTsin
.
t
t
sin
At)j(S)(S
x
x
x
x
x
x

x
x
x

- Với ω≠0 có thể tính theo công thức:
S(jω)=
2
2
8
2
2
2
2
2
2
ω
ω
ω
ω
=
ω
ω
ω
ω
Tsin
Tsin
.
t
sin
A

⎪
⎨
⎧
<
τ
τ
≤≤
τ
−ω
τ
−<
=
tkhi
tkhitcosU
khi
)t(u
m
2
0
22
2
00
00

Chuyển hàm cosω
0
t về hàm mũ(Xem BT4.7)
để chứng minh

2

)j(S
.
.
Khi ω≠ω
0
thì
2
0
0
0
τ
ω−ω
ω−ω
=ω )sin(
U
)j(S
m
.

4.19. Thực hiện tương tự như BT7.17. để tìm phổ của n xung:

)n(mT.kj
m
e
)mT.ksin(
)mT.k.nsin(
.
mT
)(
mT

2
τ
2
τ

154
4.20.

ωα+α+ω−αα
α−α
=ω
)(j
)(A
)j(
.
S
21
2
21
12

4.21. Hạ bậc cos
2
ω
0
t rồi tìm phổ
)j(
.
S ω


2
2
ω+α
=ω=
A
)j(SW
(*).Đường cong (*)
hình 4.29. cho thấy 100% năng lượng chính
là phần diện tích giớ hạn bởi nó với trục
hoành,tức:

;
A
d
A
2
2
0
22
2
π
α
=ω
ω+α
∫
∞

90%năng lượng ứng với
ω
m

ω
2
A
0,9
2

4.24. Phổ của tín hiệu theo BT 4.15. Giải tương tự như BT.4.23. ĐS 97,4 %.
4.25. m=0,733 ; U
0m
= 75 [V]
4.26. Khảo sát hàm số đường bao cho U
mãx
= 20 [V], U
min
≈ 7 [ V].
4.27. m
1
=0,8 ; m
2
=0,6, m=1.
4.28. m=0,6.
4.29. Min[
]V[,]U
m
1811
0
=

4.30. P
max


155
.K
.,
.
C.
R
RCCRQ
.
,
Ω=Ω=
==≤→=
ω
ω
=
ω
=ωΔ≤
−
5000050
1050
1000020
1
00020
11
00020
5
9
0
00
70

m
(ω
i
)=I
m
(ω
i
)IZ(ω
i
)I.

22
11
1
11
11
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−ω+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛


]V[,K,].mA[)(Z).(I)(U
mm
58100526733300010100001010
66
20
=Ω≈±±±=Ω±ω
4.32.
a)
ω
0
=10
7
rad/s ; Ω
1
=10
7
-0,9997.10
7
=3000 rad/s ;Ω
2
=10
7
-0,9995.10
7
=5000
rad/s;
Δω=2Ω
2
=10 000 rad/s.

−
−
−
−−
K

.C
R;
CR
;nFF
.
C;
.CC
LC
5010
0001010
1
00010
11
00010
110
1010
1
10
10
1
1010
11
5
9

-Tần số của dao động: là
ω
0
+ aU
Ωm
cosΩ
max
t =ω
0
+Δω
m
cosΩ
max
t
-Pha của dao động:
ϕ(t) =ω
0
t+
tsin
max
max
m
Ω
Ω
ω
Δ
+ϕ
0
= ω
0

F
m
m
m
max
m
max
m
05110507015
15
70
===Δ
→
Δ
=
Δ
=
Ω
ωΔ
== Khi không có điều chế(không phát
tín hiệu sơ cấp,chỉ phá sóng mang) thì
khung cộng hưởng sẽ cộng hưởng ở tần
số sóng mang.

2
π.82,25.10
6

26

Khi có điều chế ứng với f
min
÷f
max
thì:
.pF,,C;pF,F.,
).,.(.,
CC
)CC(L
).,.,(
;
)CC(L)CC(L
)ff(
mm
m
mm
maxmin
20878871087
10383210684
1
1
100511025822
11
2
12
267
0
0