81
Chương 3
Phân tích quá trình quá độ trong
mạch điện tuyến tính
Tóm tắt lý thuyết
Quá trình quá độ trong mạch điện là quá trình chuyển từ một trạng thái
xác lập này của mạch sang một trạng thái xác lập khác. Quá trình quá độ trong
mạch điện được bắt đầu từ thời điểm “đóng-mở mạch”, thường coi là từ t
0
=0.
Nguyên nhân của quá trình quá độ là sự có mặt của các thông số quán tính L và
C trong mạch. Ta biết rằng các thông số quán tính L, C tích luỹ năng lượng W
M

và W
E
nên khi quá trình quá độ diễn ra sẽ có sự phân bố lại năng lượng trong
mạch. Tốc độ biến thiên của năng lượng chính là công suất: p(t)=
t
W
dt
dW
Δ
Δ
≈
.
Như vậy thì tốc độ biến thiên của năng lượng p(t) phải ≠∞, tức không thể tồn tại
ΔW≠0 khi Δt=0. Từ đó ta có điện áp trên điện dung u
C
(t) và dòng điện qua điện

⎧
≤
<
=
tkhih
tkhi
)t(f
0
00
(Hình 3.1a) (3.1)
-Nguồn xung vuông
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<τ
τ≤≤
<
=
tkhi
tkhih
tkhi
)t(f
0
0
00

(Hình 3.1b) (3.2)
-Nguồn xung Dirac δ(t)=

machcuaungphan
)t(h =
(3.5)

khôngĐKBĐ
đôngtácxungtíchDiên
machcuaungphan
)t(g =
(3.6)
Phân tích trình quá độ của mạch điện là lập và giải hệ phương trình trạng
thái đặc trưng cho mạch bằng công cụ toán thích hợp. Hệ phương trình trạng thái
của mạch điện tuyến tính thường gặp là một hệ phương trình vi phân tuyến tính
hệ số hằng không thuần nhất. Nghiệm của hệ gồm hai thành phần:
- Nghiệm của hệ phương trình vi phân thuần nhất - đ
ây chính là dao động
tự do trong mạch điện. Là dao động tự do nên khi t→∞ thì thành phần tự
do phải tiến tới 0.
- Thành phần thứ hai là 1 nghiệm riêng - đó chính là dao động cưỡng bức
trong mạch điện.
Nghiệm tổng quát của hệ là là tổng (tức xếp chồng) của dao động tự do và
dao động cưỡng bức.
Việc phân tích quá trình quá độ có thể thực hiện bằng một công cụ toán
h
ọc nào đó để tìm các nghiệm tự do và nghiệm cưỡng bức. Ví dụ: chương trứơc
ta đã tìm thành phần cưỡng bức hình sin của mạch điện thông qua công cụ biểu
diễn phức.
Có hai phương pháp thông dụng phân tích quá trình quá độ: phương pháp
kinh điển và phương pháp toán tử Laplas.
1. Phương pháp kinh điển là lập và giải hệ phương trình vi phân của mạch điện.
Phương pháp này chỉ thực hiện tiện l

Như vậy các dòng điện, điện áp trong các nhánh chỉ khác nhau các hằng
số A
K
và B
K
, có cùng hệ số tắt dần α. Việc giải bài toán thực chất là xác định 3
hằng số α, A
K
và B
K
. Chúng được xác định như sau:
- Hệ số α: xác định theo đường phóng-nạp của C hoặc L. Ae
-α
t

là
thành phần dao động tự do có hệ số tắt dần α.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=α
LmétcãchØch¹mNÕu
L
R
CmétcãchØch¹mNÕu
CR

Kk
B
t
)t(f =
∞→
được xác định ở chế độ 1 chiều của mạch.
- Thành phần A
K
: Từ (3.7) ta thấy khi t=0 thì f
K
(0)=
Kkk
BA
t
)t(f +=
→ 0
- Giá trị f
K
(0) xác định theo điều kiện ban
đầu. Từ đó xác định A
K
, tức đã tính được f
K
(t).
Các điện áp và dòng điện khác cũng xác định tương tự hoặc nên sử dụng
các định luật Ôm và Kieckhop để xác định chúng từ f
K
(t) cho tiện.
Như vậy bài toán phải được bắt đầu từ xác định điều kiện ban đầu. Từ đó
xác định A

(t)=A
K
e
-αt
+B
K
(t)

(3.9)

84
Trong đó
Kk
B
t
)t(f =
∞→
(t) được xác định ở chế độ hình sin xác lập của
mạch. Chế độ này dùng biểu diễn phức như đã xét trong chương 2. Tiếp theo là
A
K
cũng xác định theo điều kiện ban đầu.
2. Phương pháp toán tử Laplas:
Phương pháp này phải biến đổi hệ phương trình vi phân về hệ phương
trình đại số với các hàm ảnh. Phương pháp này được tiến hành trong 5 bước:
Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu - xác định các điện áp trên các điện
dung và dòng điện qua các điện cảm tại thời điểm bắt đầ
u “đóng- mở” mạch.
Bước 2: Biến đổi mạch điện về dạng toán tử tương đương.
Bước3: Lập hệ phương trình cho mạch ở dạng hàm ảnh.

)p(u
)p(i
L
LL
113
0
00
−=
+
=+=

Công thức 3.11 cho ta sơ đồ tương đương hình 3.2b) khi điều kiện ban đầu
không, tức I
L0
=0; sẽ có mạch tương đương hình 3.2c) khi điều kiện ban đầu khác
không, tức I
L0
≠0. Từ mạch hình 3.2c) có thể chuyển sang mạch nguồn dòng
tương đương hình 3.2d). Chú ý: chiều của nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.2c) có
chiều như chiều của dòng điện ở mạch gốc hình 3.2.a) và có trị số là L.I
L0
với L
có thứ nguyên Henri, I
L0
-Ampe; nguồn dòng hình 3.2d) cũng có chiều như vậy và
có trị số là LI
L0
/pL=I
L0
/p.

C
)t(u
0
0
1
(3.12)
Bảng 3.1
TT Hàm ảnh Hàm gốc
1 1
σ
(t)
2 A
A
σ
(t)

3
p
AA4
2
p
A
et
)!1n(
A
α−−
−8
)p(p
A
α+

)e1(
A
tα
α
−
−9
22
p
A
ω+

ω
ω
sin
A


tsine
A
t
1
1
ω
ω
α−13
2
0
2
p2p
Ap
ωα ++

)tsint(cosAe
1
1
1
t
ω
ω
α
ω
α
−


15
)p(p
A
22
ω+

)tcos1(
A
2
ω
ω
−16
)p2p(p
A
2
0
2
ωα ++

)tsint(cose[
A
t
1
1
1
2

)p(ihay
p
u
)p(i
pC
)p(u −=+=
(3.13)
H×nh 3.3
a)
i(t)C
u(t)
b)
i(p)
u(p)
c)
i(p)
u(p)
d)
i(p)
u(p)
+
_
p
u
C0
−
pC
1
pC
1

r=n-q nghiệm thực đơn thì:

q
b
q
b
br
r
K
)pp(
C

)pp(
C
pp
C
pp
A

pp
A
pp
A
)p(N
)p(M
)p(F
−
++
−
+
).(
pp
)p('N
)p(M
A
k
k
153
=
=

các hệ số C
K
xác định theo công thức (3.16) hoặc:
b
q
b
]q[
]q[
b
q
bq
b
q
bq
pp
])pp(
)p(N

−
1
1
1
1
1
1
(3.16)

87
3. Phương pháp tích phân Duhamel và tích phân Green: Nếu tác động không
thuộc dạng mẫu ta áp dụng các công thức tích phân để tính phản ứng f
2
(t) khi tác
động là f
1
(t). Tính được thực hiện qua đặc tính quá độ h(t) và đặc tính xung g(t)
với nhánh tương ứng của mạch.
Công thức tích phân Duhamen:

∫∫
−+=−+=
t
'
t
'
dx)x(h).xt(f)t(h).(fdx)xt(h).x(f)t(h).(f)t(f
0
11
0


3.2. Cho mạch điện hình 3.5 với L=0,5H, R=100Ω và
nguồn một chiều E=50V. Tại thời điểm t=0 khoá K được
đóng lại. Tìm u
L
(t), u
R
(t), i(t) và vẽ đồ thị của chúng.

3.3. Mạch điện gồm hai cuộn cảm mắc nối tiếp có điện trở
và điện cảm tương ứng là R
1
, L
1
và R
2
, L
2
, được đóng vào
nguồn một chiều U=300V tại thời điểm t
0
=0. Biết: hằng số
thời gian củat mạch τ=0,01s, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ nhất tại thời điểm
t
0
=0 là U
1
(0)=200V, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ hai tại thời điểm t
1
=0,02s là

E
H×nh 3.5
K
L
R
E
H×nh 3.6
K
C
R
E
R
R
1
2
3
i (t)
i (t)
i (t)
u (t)
2
3
1
C
L
K
E
R
R
2

3.6. Mạch điện hình 3.8. có R
0
=R=10Ω, nguồn một chiều E=100V, khoá K được
đóng tại thời điểm t=0. Tìm giá trị của điện cảm L, biết điện áp trên cuộn dây là
U
C
tại thời điểm t
1
=0,04s có trị số U
C
(t
1
)=60V.
3.7. Mạch điện hình 3.9. có R
1
=R
2
=10 Ω, L=100 mH, nguồn một chiều E=100V.
Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại, sau đó1s khoá K được hở ra. Tìm biểu
thức của các dòng điện i
1
(t), i
2
(t), i
K
(t) và vẽ đồ thị của chúng.

3.8. Mạch điện hình 3.10 có các nguồn một chiều một chiều E
1
=30V, E

). Tại
thời điểm điện áp nguồn chuyển qua giá trị cực đại dương thì khoá K được đóng
lại. Tìm biểu thức dòng điện sau khi đóng khoá K biết R
0
=R=10Ω, L=0,1H và
trước khi đóng khoá K thì Ampe kế chỉ 2
5 A.

89
3.10. Người ta đóng mạch RL mắc nối tiếp vào nguồn hình sin e(t)=E
m
sin(ωt+α
e
)
tại thời điểm t=0. Biết rằng khi xác lập thì điện áp trên điện cảm là:
u
L
(t)=120 sin314t [V] và R=X
L
=10Ω. Hãy xác định i(t) và u
R
(t).

3.11. Mạch điện hình 3.12. có nguồn hình sin biên độ E
m
=100V, tần số góc
ω=314rad/s, biết R
1
=4Ω; R
2

a) Năng lượng nạp trong tụ khi tụ đã nạp đầy.
b) Nhiệt năng tiêu hao trong quá trình nạp.

3.15. Mạch điện hình 3.14. có R
1
=R
2
=R
3
=1Ω, C=1F. Hãy xác định hằng số thời
gian τ của mạch trong 2 trường hợp:
a) Nguồn tác động là nguồn điện áp.
b) Nguồn tác động là nguồn dòng.
90
3.16. Mạch điện hình 3.15. có nguồn một chiều E=150V, R
1
=75Ω; R
2
=25Ω;
C=80μF. Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại, sau đó 1s khoá K được hở ra.
Tìm biểu thức u
C
(t), i
C
(t) và i
1
(t) và vẽ đồ thị thời gian của chúng.

C
(t).
3.20. Mạch điện hình 3.19. có e(t)=200sin(1000t+α
e
)[V], R=50Ω, L=50mH,
C=20μF. Tại thời điểm nguồn đạt giá trị dương bằng giá trị hiệu dụng thì khoá K
hở ra. Hãy xác định i
L
(t) và u
C
(t).

3.21. Cho mạch điện hình 2.20 với nguồn một chiều E=150V, R=R
1
=R
2
=10Ω,
C=40μF. Khoá K đóng tại thời điểm t = 0.
a) Lập phương trình vi phân đặc trưng cho mạch với các biến khác nhau: i(t),
i
1
(t), i
2
(t) và u
C
(t).
b) Tìm i(t), i
1
(t), i
2

3.25. Mạch điện đã được nạp với i(0)=2A, u
C
(0)=5V có chiều như trên hình 3.24.
Tìm biểu thức u
MN
(t) và u
C
(t), biết R
1
=1 Ω, R
2
=2 Ω, R
3
=1Ω, L
1
=2H, L
2
=1H,
C=1F.
13.26. Trong mạch điện hình 3.25, khoá K được đóng tại thời điểm t=0. Tìm i(t)
và u
C
(t), biết C=144μF, L=2,82mH, R=4Ω, e(t)=100sin(314t-34
0
).

3.27. Mạch điện hình 3.26 có E=100V, R=10Ω, R

⎧
≤
<
α
tkhieE
0tkhi0
t-
0
0
,
cho quan hệ L=4R
2
C. Tìm biểu
thức tức thời của i(t).
b) Cho E
0
=100V, α=100/s; L=0,25H, C=100μF, R=25Ω. Tìm u
C
(t) và vẽ đồ
thị của nó.

3.30. Khoá trong mạch điện hình 3.29 được đóng khi mạch ở trạng thái xác lâp.
Tìm các dòng điện trong mạch và điện áp trên C sau khi đóng khóa K, biết
E=100V, R=50Ω, L=58,75mH, C=100μF.

3.31. Mạch điện hình 3.30 có E=100V, R=40Ω, L
1
=L
2
=0,3H, M=0,1H,

H×nh 3.32
K
i
i
i
1
R
2
*
*
LL
M
e(t)
E
H×nh 3.29
L
CR
K
H×nh 3.30
K
E
i
i
i
C
R
1
R
i
i

(t)
và xác định các giá trị i
1
(t), i
2
(t), i
3
(t) tại thời điểm t=(+0)

3.37. Cho một xung vuông điện áp hình 3.36 tác động lên mạch mạch RC nối
tiếp có R=500Ω, C=10μF. Xác định i(t),u
C
(t), u
R
(t) và vẽ đồ thị của chúng.

3.38. Xung vuông hình 3.36. tác động lên mạch RL nối tiếp với R=50Ω;
L=0,25H. Xác định i(t),u
L
(t), u
R
(t)và vẽ đồ thị của chúng.

3.39. Một xung điện áp răng cưa hình 3.37 tác động lên cuộn dây có L=0,1H điện
trở tổn hao r =10Ω. Tìm biểu thức giải tích của dòng điện và tính giá trị của nó
tại các thời điểm t
1
=0,02s, t
2
=0,03s.

a) i(t), u
C
(t) và vẽ đồ thị của chúng.
b) Năng lượng tiêu tán trong khoảng thời gian tồn tại của xung.
c) Quy luật biến thiên của điện tích q(t) tích trong C.

3.42. Mạch điện có R=10Ω, L=100mH mắc nối tiếp, chịu tác động của dãy xung
vuông dài vô hạn có độ cao E=50V, độ rộng và độ rỗng của xung như nhau:
t
R
=t
X
=5mS (tức chu kỳ T=2t
X
) - Hình 3.40. Tìm quy luật biến thiên của dòng
điện i(t) và vẽ đồ thị của nó.

3.43. Mạch điện có R=100Ω, C=100μF mắc nối tiếp, chịu tác của dãy xung
răng cưa dài vô hạn tuần hoàn có độ cao E=200V, t
X
=0,01s -Hình 3.41. Tìm quy
luật biến thiên của điện áp u
C
(t) và vẽ đồ thị của nó.

3.44. Mạch
điện hình
3.42a có
R=1KΩ,
C=1μF; chịu

=<<
=≤≤
<
=
XX
X
tTttkhi
;mS,ttkhi]A[tcos.
tKhi
)t(i
30
283260102
00
6
0

Xác định i
L
(t) và u
C
(t), biết R=10KΩ, L=0,1mH, C=10nF, T=2t
X
.

3.47. Trong mạch điện hình 3.45 biết E=24V. Sau khi đóng khoá K dòng điện
nhánh chính là i(t)= 16 - 4e
-1,5
t
[A].
a) Hãy xác định biểu thức tổng trở toán tử của mạch.

thông số R, L, C của mạch.

3.50. Mạch điện có R=2KΩ, C=10μF mắc nối tiếp, được đóng vào nguồn sđđ:
e(t)=100e
-100t
. Hãy xác định điện áp u
C
(t) bằng 3 phương pháp:
a) Bằng phương pháp toán tử.
b) Bằng phương pháp tích phân Duhamel
c) Bằng phương pháp tích phân bọc Green.
d) Vẽ đồ thị của điện áp này.

3.51. Mạch điện hình 3.47 có R
1
=R
2
=20Ω; R
3
=30Ω, C≈83,33μF được đóng vào
nguồn e(t)=128te
-100t
[V] tại thời điểm t=0. Hãy tìm dòng điện i
2
(t) trong mạch
bằng:
a) Phương pháp tích phân Duhamel.
b) Phương pháp toán tử.