127
Chương 4
Tín hiệu và phổ của tín hiệu

Tóm tắt lý thuyết
Tín hiệu điện nói chung là một dao động điện có chứa tin tức trong nó. Nó
thường được ký hiệu là s(t)-signal-đó là điện áp hay dòng điện, được biểu diễn
như một hàm của biến thời gian. Để tìm hiểu cấu trúc tần số trong tín hiệu người
ta thường dùng công cụ chuỗi Fourrie và tích phân Fourrie.
Một tín hiệu s(t) tuần hoàn (vô hạn ) với chu kỳ T thì nó sẽ được phân tích
thành chuỗi Fourrie dạng sau:
)tkcos(A
)tkcos(AA)tksinbtkcosa(
a
)t(s
k
k
k
k
k
k
k
kkk
ϕ+ω=
ϕ+ω+=ω+ω+=
∑
∑∑
∞
=
∞

⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
−=ϕ+=
=ω=ω=
==
∫∫
∫
−−
−
k
k
kkkk
T
T
k
T
T
k

T
eC
.
C
).()tkcos(CCe
.
C)t(s
T
T
tjkj
k
k
k
kk
tjk
k
k
54
1
442
2
2
1
10
1
1
∫
∑∑
−
ω−ϕ

Công thức (4.2) hoặc (4.5) gọi là công thức biến đổi Fourrie thuận, cho
phép tìm phổ của tín hiệu khi biết tín hiệu. Công thức (4.1) hoặc (4.4) gọi là
công thức biến đổi Fourrie ngược, cho phép tìm tín hiệu (biểu diễn dưới dạng
tổng của các dao động hình sin) khi biết phổ của nó.
Nếu s(t) là hàm chẵn thì b
k
=0⇒
∑
=
+=
n
k
k
;tkcosa
a
)t(s
1
1
0
ω
2
(4.6)
Nếu s(t) là hàm lẻ thì a
k
=0⇒
∑
=
ω=
n
k

Một tín hiệu s(t) không tuần hoàn thì dùng cặp công thức tích phân
Fourrie :

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=ω=ω
ωω
π
=
∫
∫
−
ω−
∞
∞−
ω
2
1
1
94
84
2
1
t
t

jϕ(ω)
=S(jω) e
jϕ(ω)
.
Công thức (4.9) gọi là công thức tích phân Fourrie thuận, cho phép tìm
phổ của tín hiệu khi biết tín hiệu. Công thức (4.8) gọi là công thức tích phân
Fourrie ngược, cho phép tìm tín hiệu khi biết hàm phổ của nó. Với công thức
(4.8)ta cũng biểu diễn tín hiệu không dưới dạng tổng của các dao động hình sin
gồm mọi tần số có biên độ phức vô cùng nhỏ là
ωω
π
= d)j(
.
S
.
Sd
m
2
1
.
Tín hiệu nhận được bằng cách biến đổi các đại lượng vật lý (cần truyền
đi) thành các dao động điện gọi là tín hiệu sơ cấp (tín hiệu tương tự – analog).Để
truyền nó đi cần một sóng mang (hoặc tải tin carrier)-đó là một dao động hình sin
cao tần.
Tín hiệu sơ cấp ký hiệu là u
Ω
(t), sóng mang ký hiệu
u
0
(t)=U

0m
[1+mcos(Ωt+ϕ
Ω
)]cos(ω
0
t+ϕ
0
) (4.10)
Trong đó m là độ sâu điều biên :
m=
m
m
U
aU
0
Ω

≤
1 (4.11)
Khi tính trong các bài tập hằng số a thường coi bằng 1.
m có thể xác định trên đồ thị theo hình 4.1 giá trị max và min của tín
hiệu điều biên đơn âm.
m
minmax
minmax
minmax
U
UU
UU
UU

Công thức (4.13) cho thấy tín
hiệu điều biên đơn âm có ba vạch phổ
như ở hình 4.2a.
Với tín hiệu sơ cấp đa âm u
)tcos(U)t(
ii
N
i
mi
ϕ+Ω=
∑
=
ΩΩ
1
- được
coi là tổng của N dao động điều hoà,
tức i=1
÷N thì biểu thức của tín hiệu
điều biên đa âm sẽ là : ∑
∑
=
=
Ω
ΩΩ
ϕ−ϕ+Ω−ω
ϕ+ϕ+Ω+ω+ϕ+ω
=ϕ+ωϕ+Ω++ϕ+Ω+

22110
2
1
2
1
1
21
(4.14)
Ω
ω
0
ω
0
ω
0
ω
Ω
2
0m
mU
2
0m
mU
Ω
ω
0
ω
0
ω
0

1
2
≤=
∑
=
N
i
i
mm
(4.16)
Phổ của tín hiệu điều biên đa âm được biểu biểu diễn tượng trưng như ở đồ
thị hình 4.2b.Từ đó bề rộng phổ của tín hiệu điều biên là
Δω=2Ω
N
hay ΔF=2F
N
Với tín hiệu sơ cấp đơn âm u
Ω
(t)=U
Ωm
cosΩt và sóng mang
u
0
(t)=U
0m
cos(ω
0
t+ϕ
0
) thì biểu thức của tín hiệu điều tần và điều pha sẽ là các

dt
U
a
aU
m
1
(4.19)

Ω
=
=
=
Ω
Ω
m
mdf
U
a
aUm
1
(4.20)
Lấy đạo hàm pha tức thời sẽ cho tần số của tín hiệu.
Với tín hiệu điều tần:
)t(tcosaUtcosm)t(
mdtdt
ω
Δ
+
ω
=

Ω 000
(4.22)
Trong đó lượng biến thiên tần số
Δω(t) gọi là độ dịch tần hoặc độ di tần.
Δω
m
=aΩU
Ωm
gọi là độ di tần cực đại.
Tín hiệu điều tần và điều pha có góc pha tức thời biến thiên nên gọi chung
là tín hiệu điều góc,ví dụ biểu thức tín hiệu điều góc đơn âm
u
đg
(t)=U
0m
cos(ω
0
t+msinΩt). Muốn biết cấu trúc phổ của nó người ta dùng hàm
J
n
(m)- Hàm Besselle loại một bậc n của biến số m, để phân tích. Lúc đó sẽ có:
u
đg
(t)=U
0m
cos(ω
0
t+msinΩt)=U
0m
J

-3 Ω)t]
+ U
0m
J
4
(m)[cos(ω
0
+4Ω)t + cos(ω
0
- 4Ω)t]
+……………………………………… (4.23)
Công thức (4.23) cho thấy ngay cả khi điều góc đơn âm thì về mặt lý
thuyết phổ của tín hiệu đã rộng vô cùng. Thực tế khi n>m thì J
n
(m)≈0 nên phổ
lấy :
Δω=2(m+1)Ω. (4.24)

131
Nếu m >>1 thì
Δω≈2mΩ. (4.25)
Định lý Cochenhicop :
∑
∞
−∞=
Δ−ω
Δ
−
ω
Δ=

1
và mạch có đặc tính tần số là T(jω) thì
phản ứng là f
2
(t) sẽ được xác định:

).(de)j()j(T)t(f
tj
.
S
274
2
1
1
2
ωωω
π
=
ω
∞
∞−
∫)j()j()j(T
SS

ω=ωω
21
(4.28)

∞
∞−
ω
ω=ω
ωω
π
=ωωω
π
=
de).t(g)j(T
de)j(Tde)j(T).j(S)t(g
tj
tjtj
g
.
2
1
2
1
(4.30) Bài tập

4.1. Cho tín hiệu tuần hoàn trên hình 4.3 là dãy xung vuông (còn gọi là xung thị
tần – xung video) tuần hoàn vô hạn.
1. Tìm phổ của nó theo 2 cách:
a)
Tìm qua a
k

4.3. Cho tín hiệu là dãy xung tuần hoàn vô hạn hai cực tính hình 4.5.Tìm phổ của
nó và viết biểu thức chuỗi Fourrie ngược cho tín hiệu này.2
T
2
T

4.4. Cho tín hiệu là dãy tuyến tính tuần hoàn vô hạn hình 4.6. Tìm phổ của nó và
viết biểu thức chuỗi Fourrie ngược cho tín hiệu này.

133

4.5. Tìm phổ của dãy xung dòng điện tuyến tính tuần hoàn vô hạn hình 4.7. Tìm
phổ và vẽ 14 vạch phổ biên độ đầu tiên của dãy xung này.]S[μ4.6. Tìm phổ của tín hiệu xung s(t) tuần hoàn vô hạn trên hình 4.8.

S
μ

4.7. Trên hình 4.9. là dãy xung xạ tần được coi là dài vô hạn. Chu kỳ đầu tiên có
biểu thức giải tích:

⎪

b) Tính và vẽ phổ biên độ A
k
khi T
0
=10
-6
S; τ=5T
0
; T=2τ ; U
0m
=100V 134
τ
2
τ
2
τ

4.8. Tìm phổ của tín hiệu xung s(t)
tuần hoàn vô hạn trên hình 4.10,
có biểu thức giải tích
s(t)=AIcos
ω
0
tI

4.9. Cho dãy xung tuần hoàn vô
hạn hàm mũ hình 4.11, biểu thức

T
2
T

4.12. Xác định phổ A
K
và vẽ đồ thị của 25 vạch phổ đầu tiên (k=0÷24) của tín
hiệu tuần hoàn vô hạn hình 4.14. với T=2 mS, U
0
=50 V.

Sμ
2
T
2
T

4.13.Với tín hiệu điều hoà s(t), công suất trung bình của nó được xác định theo
biểu thức:

dt)t(
*
S)t(
.
S
T
p
T
T
TB

τ
H×nh 4.15.
a)
b)
c)

4.15.Tìm phổ của tín hiệu có biểu thức giải tích là :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
<
=
α−
tkhiAe
tkhi
)t(s
t
0
00
; α >0
τ

136
4.16.Tìm phổ của tín hiệu cho bởi biểu thức :

⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
τ
τ
≤≤
τ
−ω
τ
−<
=
tkhi
tkhitcosU
tkhi
)t(u
m
2
0
22
2
0
00

b) Vẽ phổ biên độ với t
X

α−α−
tkhi)ee(
tkhi
tt
0
00
21
với α
1
≠α
2
và α
1
, α
2
>0
4.21. Tìm phổ của tín hiệu s(t) = cos
2
ω
0
t với -∞ <t < ∞.
137
2.22. Tìm tín hiệu s(t) khi biết phổ của chúng:

.vµ;;ýtuúsèng»hAVíi
)j)j(
A

ω+αω+α
=ω
−α
ω+α
=ω
−α
ωα+
=ω
−α
ωα+
=ω2.23.Cho tín hiệu như sau:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
<
=
−
tkhie
tkhi
)t(s
t
015
00
7

Hãy xác định các chỉ số
điều biên thành phần và chỉ
số điều biên toàn phần.

4.28. Cho biểu thức tín hiệu
điều biên:
u
đb
(t)=20[1+0,6cos2π.10
3
t+0,5cos6π.10
3
t+m
3
cosπ.10
5
t]cos2π.10
7
t[V]
1. Hãy chỉ ra tần số sóng mang, các tần số tín hiệu sơ cấp với đơn vị là
Khz.
2. Tìm chỉ số điều biên m
3
để tín hiệu không bị điều chế qua mức.
3. Với m
3
max vừa tìm được hãy vẽ phổ của tín hiệu với trục tần số f có
đơn vị Khz và điền trị số của các vạch phổ trên đồ thị, đơn vị [V].
4.29. Cho tín hiệu sơ cấp là :


6
t [mA].
Ngoài tín hiệu này còn có các tần số nhiễu nằm ngoài dải phổ của nó(hình
4.21a) nên cần lọc bỏ bằng khung cộng hưởng song song (hình 4.21b).Biết C=1
nF.
a) Chọn giá trị của điện cảm L và giá trị tối ưu của điện trở R để lọc bỏ được
nhiễu và nhận được phổ tín hiệu điều biên không bị méo.
b)Với R tối ưu vừa chọn, tính các chỉ số
điều biên thành phần, các thành phần
phổ và vẽ phổ của điện áp ra. ω
0
ω

4.32. Cho cấu trúc phổ của một dòng điện điều biên trên hình 4. 22.
a) Từ phổ hãy xác định (viết ra) tần số sóng mang
ω
0,
các tần số tín hiệu sơ cấp
Ω
k
và bề rộng phổ Δω với đơn vị là rad/s?
b) Xác định các chỉ số điều biên thành
phần và chỉ số điều biên toàn phần của
tín hiệu.
c) Dòng điện này kích thích vào một
khung cộng hưởng RLC song song để
lọc lấy điện áp điều biên để kích thích

8
t+3sin.10
6
t+1,4sin 10
5
t+
4
π
) [V]
a) Hãy xác định biểu thức tần số của dao động, độ di tần và độ di tần cực đại
b) Tần số của dao động tại thời điểm t = 1 s.

4.34. Hãy tìm
ω
max
và ω
min
trong tín hiệu điều tần sau:
u
đt
(t)=U
0m
cos (3.10
9
t+2sin.10
7
t+
6
π
) [V]