1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

Giải:
Xét các biểu thức sau
a b c
S
b c c a a b

  

b c a
A
b c c a a b

  

c a b
B
c b c a a b

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có:
2
a b c d
b c c d d a a b
   
   

Giải : Đặt
a b c d
S
b c c d d a a b
   
   

b c a a
A
b c c d d a a b
   
   

c d a b
B
b c c d d a a b
   
   

Theo bất đẳng thức Cauchy thì:

2
4



  

Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng
minh) Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng:
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
xyz
y z z x x y
  
     

Ta có:
3
11
3
(1 )(1 ) 8 8 4
x y z x
yz

  


Tương tự ta có:
3

2 2 2
xyz
x y z


vậy
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
xyz
y z z x x y
  
     3 Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng:
3 3 3 3
1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
   
       

Ta có (a + b + c + d)
2
= [(a + c)+(b + d)]

   


3
12
8 6 12 3
d a b c d d
abc

   


Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có:
3 3 3 3
1 2 1 1
3 3 3 3 3
a b c d a b c d
b c d c d a a b d a b c
  
       
       

vậy
3 3 3 3
1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
   
       

2( )
*
33
a b c a b c
abc

   


Dấu ‘=’ xảy ra


abc
a b b c c a



    


a=b=c Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc a c abc abc
  
     


2

a
3
+b
3
≥ab(a+b)

33
()
abc abc c
a b abc ab a b abc a b c

     

Tương tự ta có
33
()
abc abc a
b c abc bc b c abc a b c

     

33
()
abc abc b
a c abc ac a c abc a b c

     


(1)

5
Giải : Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
x y y z z x x y y z x y z x y z z x
z x y z x z y x y
       
       
       
       

 
2 2 2
2 x y z   
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x
z x y


2 2 2
x y z

VT(1) bình phương ta được:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x

Giải:

x, y, z dương ta luôn có: (x-y)
2
(x+y)(x
2
+xy+y
2
)

0

(x
2
-y
2
)(x
3
-y
3
)

0

x
5
-y
5

x

,
 
22
xz y
zx z x z x x y z

   

cộng theo vế các bất đẳng thức ta có
5 5 5 5 5 5
1
xy yz xz x y z
x xy y y y z x xz z x y z

   
       

6
Bài 9: Cho các số thực dương x
1
, x
2
, , x
n
thoả mãn

12

x
n
x x x x
x x x



     

   
  


2
1
2 2 1
13
1 1 1 1
1
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
x
n
x x x x
x x x



  


Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:
    
 
 
12
1
1
12
1 2 3
1
.
1 1 1
(1 )(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
n
n
n
n
x x x
x x x
x x x x





22
22
. . ( )
1 1 2 2 4
2
a ab c ab c ab c b a a c b a ac
a a a a a
b c b c
bc

         

2
14
a ba abc
a
bc




Tương tự ta có:
2
14
b bc bcd
b
cd




a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab          

Mặt khác ta có:
4
2
= (a+b+c+d)
2

4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da)
hay ab+bc+cd+da

a+b+c+d
Tương tự abc+bcd+cda+dab

a+b+c+d
vậy
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
   
 
1
2
a b c d a b c d      

=
11
( ) .4 2

a b c a b b c c a

  
  
    

Do đó ta chỉ cần chứng minh
(a
2
+b
2
+c
2
)
2


a
3
+ b
3
+ c
3
+2(a
2
b
2
+ c
2
b

+ b
3
+ c
3
)(a+b+c)

(a
2
+b
2
+c
2
)
2


(a
2
+b
2
+c
2
)(1+1+1)

(a+b+c)
2
=9
Do đó a
2
+b

2
)

(a
3
+ b
3
+ c
3
)
2

a
4
+ b
4
+ c
4

a
3
+ b
3
+ c
3

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Bài 12: Giả sử x


2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y y z z x x y y z z x x z y x z y
z x y z x y y z x
    
       
    
    

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
 
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
x y y z z x x z y x z y
x y z
z x y y z x
  
      
  
  9
 
2
2 2 2
2
2 2 2

Ta có:
1 1 1
2
x y z
  
1 1 1
1
x y z
x y z
  
   Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
x+y+z=( x+y+z)
1 1 1x y z
x y z

  



 
2
1 1 1x y z     


1 1 1x y z x y z       

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2

2 / 2 / 2 /
1
2 2 2
x y y z z x
x y y z z x
x y z
x y y z z x
  
  
   
  theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
 
2
1
2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
x y z
x y z
x y y z z x x x y y y z z z x

   
       
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1 Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh
rằng:
3 3 3


(a +b +c)
2
= 1

S

1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3

Bài 16: Cho a
1
,

a
2
, ,

a
n
dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu
thức:
12
12

1 1 1
n
n
a
aa

(1 – a
n
)
Theo bất đẳng thức Holder ta có : A
2
B

(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
3
= 1
Dễ thấy B =1-(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)≤ 1-
 
2
1 2 n
a a a


1

1
x
a


Xét hàm số sau
 
2
2
1 1 1 1 2 2 1
1
x y z x
fx
x
x y y z z x y z
   
    

   

2
2
1 2 2 1
1
x a x
x
a

1
a
f x f a
aa
a

   


12
 
 
   
2
2
22
1
11
12
2
2 1 2 1
a
a
a
a a a

