Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN

§ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM
MŨ – LOGA

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 2
I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA
1) Khái niệm về Lũy thừa
 Lũy thừa với số mũ tự nhiên:
. . ,
=
n
a a a a a

2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa


 Tính chất 1:
0
1
1,
,

= ∀


= ∀


a a
a a a



 Tính chất 2
(tính
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n):

> ⇔ >

< ⇔ <


m m
m m
a b m
a b m

Chú ý:
+ Khi xét lu
ỹ
th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
0 và s
ố
m
ũ
nguyên âm thì c
ơ
s
ố
a ph

=
=
= =
m n m n
m
m n
n
n m
m mn n
a a a
a
a
a
a a a

 Nhóm công thức 2:

( )
1 1
1
3
3
2
; ;
. , , 0
, , 0
= = → = = =

ng l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
h
ữ
u t
ỉ
, (coi các bi
ể
u th
ứ
c
đ
ã t
ồ
n t
ạ
i)
a)
2
4
3
.

f)
2
5
3
.
=
b b
F
b b

Ví dụ 2:
Có th
ể
k
ế
t lu
ậ
n gì v
ề
s
ố
a trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau?
a)
( ) ( )
2 1
3 3

( ) ( )
3
2
4
2 2 .
− > −
a a
f)
1 1
2 2
1 1
.
−
   
>
   
   
a a

Ví dụ 3:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:

a)
( ) ( )

f x
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.
b) Tính tổng
1 2 2010
.
2011 2011 2011
     
= + + +
     
     
S f f f
Ví dụ 5: So sánh các cặp số sau
a)
5
2
π
2
 
 
 
và
10
3
π
2
 
 
 

b)

 
 

d)

3
7
6






và
2
8
7







e)

5
π
6

8
32
−
=
x

4)
( )
2
2
1
3 3
9
−
 
=
 
 
x
x
5)
2 8 27
.
9 27 64
−
   
=
   
   
x x

x
9)
3 7 7 3
9 7
49 3
− −
   
=
   
   
x x

10)
( )
( )
1
12 . 3
6
=
x
x
11)
1 1
1
7 .4
28
− −
=
x x


y x x a

Ví dụ:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c logarith sau
(
)
2 3
2 2
log 4; log 81; log 32; log 8 2

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
•

2 2
log 4 2 4 2 log 4 2
= ⇔ = ⇔ = → =
y
y y

2 2
log 8 2 2 8 2 2 . 2 2 7 log 8 2 7
= ⇔ = = = ⇔ = → =
y
y y
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta g
ọ
i là logarith c
ơ
s
ố
th
ậ
p phân, ký hi
ệ
u là lgx ho
ặ
c logx
Khi a = e, (v
ớ
i e ≈ 2,712818…)
đượ
c g
ọ
i là logarith c
ơ
s
ố
t


log 1 0;log 1,
= = ∀
a a
a a

• Tính
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n c
ủ
a hàm logarith:
1
log log
0 1
> ⇔ >

> ⇔

< ⇔ < <

a a
b c a
b c
b c a

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 4

Ví dụ 1:
(
)
8
5 4
2 2
2 2 2
log 32 log 2 5;log 16 log 2 log 2 8
= = = = =
Ví dụ 2:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:

a)
3
2
5
1
4
log .
a
a a a

a a P a
a
a a
a a a a
+ +
−
−
+
 


= = = = = → = = =−




 

b)
Ta có
( )
15
7 15 15
1 3
8
8 16 16
2 4
15
. . . log log .
8

0,125
log 2 2

=5)
3
3
3
log 3 3

=
6)
7
8
7
7
log 7 343

=

Ví dụ 4:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:

(2)

Ch
ứ
ng minh:
Đặ
t
(
)
log , 2
= ⇒ = ⇔ =
t t t
a
x t x a a a

Ví dụ 1:
( )
( ) ( ) ( )
3
3
3
5
2
log 4 1
1 1
log 4
log 4
log 6
log 3
2

3)
81
log 5
13
 


=




 
4)
(
)
3
log 4
3
9

=
Công thức 3:
(
)
log . log log
= +

Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(1)
ta
đượ
c :
(
)
log log
log . log log log
+
= = + ⇒
a a
x y
a a a a
x y a x y dpcm

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

(
)
3
2 2 2 2 2 2 2
log 24 log 8.3 log 8 log 3 log 2 log 3 3 log 3
= = + = + = +


3
3 3
3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 10
log 27 3 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 3 .
3 3 3 3
− −
   
 
 
= + = + = + = − − =−
 
 
 
 
   c)
(
)
(
)
6 2
3
5 5
2 2 2 2 2 2 2
log 8 32 log 8 log 32 log 2 log 2 log 2 log 2 6 2 8.

=

→ = =

=


a
a
a a
a
a
x
x
x y
y
y
x a
x a
a
y
a
y a

Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(1)

Công thức 5:
log .log
=
m
a a
b m b
,
(5)

Ch
ứ
ng minh:
Theo công th
ứ
c
(2)
ta có
(
)
log log .log
= ⇒ = =
a a a
m
b b m b
m
b a b a a

Khi
đ
ó

1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 6 .45 1
2log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81
log 4.
2 20 3
−
 
− + = − + = = = = −
 
 

Ví dụ 3:
5 5 5 5 5 5 5 5
1 50 3
log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2.
2
2 3
− + = − + = = =

Công thức 6:

1
log log
=
n
a
a
b b
n


Ví dụ 1 :
1
2
5 1
5
2
2
2
2
2
2
1
log 16 log 16 log 16 2.4 8.
1
2
1
log 64 log 64 log 64 5.6 30.
1
5
= = = =
= = = =

Hệ quả:
T
ừ
các công th
ứ
c
(5)

3
9 11 11
4
log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .
1
4 3 3
3
= = = = = =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 6

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
1
3 3
5
3
4
1
3
3
27
log 27 log
9
.
1 1
log log
81 3
 
+

27 3 1 13 26
log log log 3 2. .
1
5 5
9
3
2
−
 
 
 
= = = − = −
 
 
 
−
 


1
2
1
3 3
5
4
3
3
4
3
3

log
log
=
c
a
c
b
b
a
, (7)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có
( )
log log
log
log log log .log log
log
= ⇒ = = ⇒ = ⇒
a a
b b
c
c c a c a
c
b
b a b a b a b dpcm
a

Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log log .log

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
(
)
2 2 2 2
log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1.
= ⇔ = = + ⇒ = −
a a a
Khi
đ
ó
(
)
2 2
log 49 2log 7 2 1 .
= = = −
A a
b)
Ta có
3
15
3 3
5
1 1

log 15
1 1
log 15 .
1
log 25 2log 5 2 1 2 1
2
= = = = = → =
−
− −
a a
B B
a
a a
a

Ví dụ 2:
Cho
log 3.
a
b
=
Tính
a)
log .
=
b
a
b
A
a


1 1 1 1
log log log
log log log log
log log
= = − = − = − =
   
− −
   
   
   
b b b
b b a a
a a a
b a
b
A b a
a b a b a
b b
a a

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 7

1 1 1 1 3 1 3 1
.
2
1 2log log 2
3 2 3 2 3 2

a
a
a
b
b
b b b
a
A
b
a b
a a
a
 
 
 
 
 
−
−
= = = = = =
 
 
−
−
 

b)

1 1 1 1
log . log log

Ta có
( )
2
2
2
2
log
2log 1
2 3 1
log log log .
log 1 log
1 3
a
a
ab
ab
ab
a a
b
b
b b b
a
B
a ab b
a a
−
 
−
= = = = = =
 

b
=
Tính
a)
3
log .
=
a b
a
A
b
b)
3
2
log .
=
b
a
B ab

Ví dụ 5: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho
3
25 2
5
49
log 7 ; log 5 log ?
8
= = → = =
a b P

a
c a c c c a
b b a
c a c a a a a c dpcm

Ví dụ 1:
( )
2
7 7 2
1
log 27
log 2 log 49
log 2
2
2
49 2 2 4; 2 27 27 3 3
= = = = = =

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3
6 9
log 4
log 5 log 36
36 3 3

= + − =A

b)
2

1)
1
4
25
log 5 5
−
2)
3 3
log 729
3)
9
3
log 27

4)
9 3
log 3
5)
(
)
3
3
log 3 3
6)
4log
2
1
3
9
1


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 8

10)
3 27
1
log 2 2log 3
2
9
−
11)
2
2 log 3
4
+
12)
9 1
3
log 2 log 5
3
−

13)
5 7
log 6 log 8
25 49
+
14)

2
3 = a ; log
2
5 = b. Tính
3
2 2 2
log 3; log 135; log 180
theo
a
,
b
.
b)
Cho log
5
3 =
a
, tính log
25
15.
c)
Cho log
9
6 =
a
, tính log
18
32.
d)
Cho lg5 =

b)
( ) ( )
1
lg 2 2lg2 lg lg
2
+ − = +
a b a b
, với a
2
+ 4b
2
= 12ab
c)
log log
2 3
log
4 2
+
+
=
c c
c
a b
a b
, với 4a
2
+ 9b
2
= 4ab
d) Cho log

log log log
log log log
−
=
−
a b a
b c c
N N N
N N N
, với b
2
= ac. h)
2
1 1 1 ( 1)

log log log 2log
+
+ + + =
k
a a
a a
k k
x x x xKhóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 9
•
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
3. Gi
ớ
i h
ạ
n
đặ
c bi
ệ
t•

1
0
1
lim(1 ) lim 1
x
x
x x
x e
x
→ →±∞
 
+ = + =
 
 
•

= → =

Ví d
ụ
1.
Tính các giới hạn sau:
1)
2
0
1
lim
→
−
x
x
e
x
2)
3
0
1
lim
−
→
−
x
x
e
x
3)

4
0
1
lim
3
−
→
−
x
x
e
xH
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)

2 2
0 0
1 1
lim lim .2 2
2
→ →
 

x x
e e
x
x

3)
(
)
(
)
3 2
3 2 3 2
0 0 0 0
1 1
1 1
lim lim lim lim 3 2 1.
→ → → →
− − −
− − −
= = − = − =
x x
x x x x
x x x x
e e
e e e e
x x x x

4)
0 0
ln(1 3 ) ln(1 3 )

1 1 4 4
lim lim .
3 4 3 3
− −
→ →
 
− − −
 
= = −
  
−
 
 
x x
x x
e e
x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Tính các giới hạn sau:
1)
(
)
0
ln 1 4
lim
sin
2
x
x

Trang 10

4)
sin2 sin
0
lim
x x
x
e e
x
→
−
5) lim
1
x
x
x
x
→+∞
 
 
+
 
6)
1
1
lim 1
x
x
x

x
x
x
x
+
→+∞
−
 
 
+
 
9)
2 1
lim
1
x
x
x
x
→+∞
+
 
 
−
 

4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith
 Hàm mũ:
.ln
. .ln



Hàm logarith:
1
log
.ln
log
.ln
a
a
y x y
x a
u
y u y
u a

′
= → =


′

′
= → =



Đặ
c bi
ệ

ố
hàm c
ơ
b
ả
n th
ườ
ng g
ặ
p:
Hàm sơ cấp Hàm hợp


0
′
= → =
y k y


2
1
1 1
.
1
2
−
′
= → = −
′
= → = ⇒

tan
cos
1
cot
sin

′
= → =



−

′
= → =


y x y
x
y x y
x



.
′ ′
= → =
y ku y k u



= → =


′ ′
= → = −


y u y u u
y u y u u



2
2
tan
cos
cot
sin
′

′
= → =



′
−

′
= → =

Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
4
3
3 2
= − +
y x x
2)
2
3
1
3
− +
=
+
x x
y
x
4
3
3 2
= − +
y x x
3)

     
− + − + − + − +
′
= = → = =
     
+ + + +
     
x x x x x x x x
y y
x x x x

3 3
2 2 2 2
3 3
2 2
1 1 (2 1)( 3) 1 1 1 5 4
. . . .
3 3 3 3
( 3) ( 3)
− −
′
     
− + − + − + − − + + −
= =
     
+ +
+ +
     
x x x x x x x x x x
x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
3
1 1 5
1 2
x
y
x
+ +
=
+
2)
11
5
9
9 6
y x
= +
3)
4
4
sin
3
x
y
+
=
4)
(

x x
x x
e e
y
e e
+
=
−
9)
sin3 4
x x
y e
−
=

10)
cot
cos .
x
y x e
=
11)
cos
2 .
x x
y e
=
12)
(
)


16)
(
)
4 2
1
2
log cos
y x x
= − 17)
(
)
ln cot
3 4
x x
y
x
−
=
−
18)
2
(2 1)ln(3 )
y x x x
= − +

Bài 2:
Ch
ứ
ng minh r

x x
y x e y y e
= + → − =

3)
4
2 ''' 13 ' 12 0
x x
y e e y y y
−
= + → − − =

5)
.sin '' 2 ' 2 0
x
y e x y y y
−
= → + + =
6)
sin
'.cos .sin '' 0
x
y e y x y x y
= → − − =

7)
2
1
. '' 2 '
2

' .ln 1
1 ln
y xy y y x
x x
= → = −
+ +
11)
( )
( )
2 2 2
1 ln
2 ' 1
1 ln
x
y x y x y
x x
+
= → = +
−

Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình và b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau, v

− −
= = + + −

4)
'( ) '( ); ( ) ln( 5); ( ) ln( 1)
f x g x f x x x g x x
> = + − = −

5)
2 1
1
'( ) '( ); ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln5
2
x x
f x g x f x g x x
+
< = = +
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 12
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Khái niệm: Là phương trình có dạng
x
a b
=
, trong đó 0 <

x x x x x
+ + −
+ + = + .
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
1 2 1 2
1
2 2 2 5 2.5 2 2 .2 2 .2 5 2.5 .
5
x x x x x x x x x x+ + −
+ + = + ⇔ + + = +
( )
5
2
2 7 5
1 2 4 .2 1 .5 7.2 .5 5 log 5
5 5 2
x
x x x x
x
   
⇔ + + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ =
   
   

x x x x x
+ + + − −
+ + = +
4)
1 2
3 3 3 351
x x x
+ +
+ + = 5)
1 2 2 3
2 2 3 3
x x x x
+ + − −
+ = + 6)
1
7.5 2.5 11
x x
−
− =

7)
2 2
14.7 4.3 19.3 7
x x x x
+ = −
8)
1 1 2
4 4 2.6 4.6
x x x x
+ − −

( ) ( )
. .
.
1
m n m n
m
m n
n
n m
m m n n m n
m
n
m n
n
n
a a a
a
a
a
a a a a
a a a
a
+
−
−
=
=
= = =
= → =


Hướng dẫn giải:
1)
2 2
3 2 1 3 2 4 4 2 2
2
2 16 2 2 3 2 4 4 6 0
3
x x x x x x
x
x x x x x
x
+ − + + − +
=

= ⇔ = ⇔ + − = + ⇔ − − = →

= −


Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2)
2 2
4 4 5 2
1
1
3 3 3 4 5
5
243
x x x x
x

15 0 15
x x
x x
− ≠ ≠
 
⇔
 
− ≠ ≠
 

Do
4 3 3
1
16 2 ; 0,125 2 ; 8 2
8
−
= = = =
nên ta có
( )
10 5
4. 3.
3
10 15
10 5
1 2 2 .2 4. 3 3.
10 15
x x
x x
x x
x x

1)
2 9 27
.
3 8 64
x x
   
=
   
   

2)
1 2 1
4.9 3 2
x x
− +
=

3)
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −

−
+
−
−
−
− + − −
+
   
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
   
   

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
3
.
2
x
=

Cách khác:
2 3
1 2 1 1 2 1

ề
u ki
ệ
n:
1 0 1.
x x
+ ≠ ⇔ ≠ −

Do
( )( ) ( )
1
1
5 2 5 2 1 5 2 5 2
5 2
−
+ − = → − = = +
+

( ) ( )
1 1
1
1 1 1 1 0
2
1 1
x
x
x x
x
x x
−

3
2
2 2 4
x
x
x
−
+
 
  =
 
 
2)
( ) ( )
2
5 6
3 2 3 2
x x−
+ = −
3)
(
)
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+ − −
− = −

H
ướ

0
1
x
x
>


≠


( )
(
)
( )
( )
( )
3 1
1
2
3 1
1 2 2 2 2 5 3 0 3 9.
1
x
x x
x
x x x x
x x
+
−
+

−
+ − = → − = = +
+

( )
( ) ( )
2
5 6
2
2
2 3 2 3 2 5 6 0
3
x x
x
x x
x
− −
=

⇔ + = + ⇔ − + = ⇔

=


V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ

x
     
⇔ = ⇔ = ⇔ = → = ±
     
     

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
3.
x = ±

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
( )
2
6 10
0,2 5
x x
x
−
−
=
2)

2
5 4 1
10 1
x x− −
=
6)
2
2
3
1
1
x
x
e
e
−
−
 
=
 
 

7)
( )
1
3
1
16. 4
8
x

− +
=

10)
1 1
3 .
3 27
x x
x
   
=
   
   
11)
( ) ( )
3 2
5 3 2 1
10 3 19 6 10
x x x
− −
− = +
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ MŨ

C
ơ
s
ở
ph
ươ
ng pháp:

a a a
a
−
= =


Ví dụ mẫu:
Ví dụ 1.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình:
25 30.5 125 0
x x
− + =

Hướng dẫn giải:
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng:
(
)
2

t
t t
t
=

− + = ⇔

=


+ V
ớ
i
5 5 5 1
x
t x
= ⇔ = ⇔ =
.
+ V
ớ
i
2
25 5 25 5 5 2
x x
t x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
.
V
ậ
y ph

0
1
3 3 10 9.3 10 9. 3 10.3 1 0
1
2
3
3 3
9
x
x x x x x
x
x
x
x
+ −
−

= =
=


+ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⇔


= −
= =





3)
2 8 5
3 4.3 27 0
x x
+ +
− + =

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
( )
1
5 5 4 0, 1 .
x x−
− + =

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
≥
0.
( )




Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 15

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
2)
( ) ( )
(
)
( )
2
2
3
3
3 3
2
3 8.3 15 0 3 8. 3 15 0
log 5 log 25
3 5
x
x
x x
x
x
x
x


3 9 3 2
x
x x x x x x
x
x
x
+
+ + + + + +
+

= ⇒ = −
− + = ⇔ − + = ⇔ − + = →

= = ⇒ = −



V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m là x = –2 và x = –3.

BÀI T
Ậ
P LUY

3 2.3 9
x x−
+ =

DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Loại 1:
Ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
a ,b ,c ,d

trong
đ
ó
.
m n
a c d
b b b
   
= =
   
   
Để giải phương trình dạng này ta chia cả hai vế cho
( )
f x
b


ố
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví dụ 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3.9 7.6 6.4 0
x x x
+ − =
.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng

= − <
 

 

.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 1 nghi
ệ
m là x =
−
1.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:

1)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =

2)

ủ
a (1) cho 9
x
ta
đượ
c
( )
2
2
4 4
12 16 4 4
1
3 3
1 64 84. 27. 0 27. 84. 64 0
2
9 9 3 3
4 16 4
3 9 3
x
x x x x
x
x
x

 
=

 
=
       

ệ
n: x
≠
0.
Đặ
t
( )
2
3 1 5
1 9 6 3 3
2 2
, 2 4 6 9 1 0 1 0
4 4 2 2
3 1 5
0
2 2
t
t t t t
t t t
t
t
x

+
 
=

 
       
 

+
 
+ +
   
= ⇔ = → = − = −
 
   
 
   
 

3)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0 81.9 45.6 36.4 0
x x x x x x+ +
+ − = ⇔ + − =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 16

2
2
3 4 3
2 9 2
9 6 3 3
81. 45. 36 0 81. 45. 36 0 2.
4 4 2 2
3
1 0

+ − − =

3 2
3 3
.
2 2
12 18 27 3 3 3
3 4. 2. 0 2. 4. 3 0 1.
8 8 8 2 2 2
3
. 2 0
2
x
x x x x x x
x
x

 
=

 
 
           

⇔ + − − = ⇔ + − − = ⇔ → =
           

           
 


− =
6)
25 4.9 5.15
x x x
+ =

Loại 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Cách giải:
Do
( )
( )
( )
( )
1
1 1
f x
f x
f x
ab ab b
a
= ⇔ = → =
T
ừ

đ
ó ta
đặ
t
( ) ( )
1

( )
2
2
3 2 2 2 1
7 4 3 2 3

± = ±
± = ±

Ví dụ mẫu.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =2)
(
)
(
)

n gi
ả
i:
1)
(
)
(
)
( )
2 3 2 3 4, 1 .
x x
+ + − =
Do
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
1
2 3 2 3 1 2 3 . 2 3 1 2 3
2 3
x x x
x
+ − = ⇔ + − = → − =

⇔ + − = ⇔ − + = →

= −



V
ớ
i
(
)
(
)
2
2 3 2 3 2 3 2 3 2.
x
t x
= + ⇔ + = + = + → =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 17

 Với
(
)
( )
(
)
2

(
)
(
)
( )( )
(
)
(
)
(
)
( )
3 3 3 3 3
3
3
1
3 8 3 8 3 8 3 8 1 3 8 . 3 8 1 3 8
3 8
x x x
x
+ − = + + = ⇔ + − = → − =
+

Đặ
t
(
)
(
)
3 3

i
(
)
( )
3
3
3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3.
x
x
t x
= + ⇔ + = + ⇔ + = + → =

 Với
(
)
( ) ( ) ( )
1 1
3
3
3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3.
x
x
t x
− −
= − ⇔ + = − = − ⇔ + = − → = −

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.
3)
( ) ( )
( )

 
 

Đặ
t
5 21 5 21 1
,( 0)
2 2
x x
t t
t
   
+ −
= > → =
   
   
.
Khi
đ
ó
( )
2
1
1
3 7 8 0 7 8 1 0
1
7
t
t t t
t

 
+
 
= ⇔ = → =
 
 
 
 

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
5 21
2
0
1
log
7
x
x
+
=


 
=


Đặ
t
( ) ( )
2 2
2 2
1
2 3 , ( 0) 2 3 .
x x x x
t t
t
− −
= + > → − =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 18

Khi đó
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2 3 2 3



+ = −



V
ớ
i ph
ươ
ng trình
2 2
2 1 2 1 0 2 2
x x x x x− = ⇔ − − = ⇔ = ±


V
ớ
i ph
ươ
ng trình
2 2
2 1 2 1 0 1.
x x x x x
− = − ⇔ − + = ⇔ =V
ậ
y ph

   
   

3)
(
)
( )
5 2 6 5 2 6 10
x
x
− + + =
4)
(
)
( )
4 15 4 15 8
x
x
− + + =

5)
(
)
(
)
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
6)
( ) ( )


Khái niệm:
Là phương trình có dạng
(
)
log ( ) log ( ), 1 .
a a
f x g x=
trong
đ
ó f(x) và g(x) là các hàm s
ố
ch
ứ
a
ẩ
n x c
ầ
n gi
ả
i.

Cách gi
ả
i:
-
Đặ
t
đ
i

ạ
ng sau:
( )
( ) ( )
1
1
f x g x
a
=
⇔
=


Chú ý:
- Với dạng phương trình
log ( ) ( )
b
a
f x b f x a
= ⇔ =

- Đẩy lũy thừa bậc chẵn:
2
log 2 log
n
a a
x n x
=
, nếu x > 0 thì
log log

= ⇔

=



- Các công th
ứ
c Logarith th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng:
( )
log
log ;
log log log ; log log log
1
log log ; log
log
a
n
x
x
a
a a a a a a
m
a a

log 3 4 log 2 2
x x x
+ − = +

2)
( )
1
lg lg 1
2
x x
= +

3)
2 1
2
8 1
log log
4 2
x
x
−
=

4)
(
)
2
5
log 2 65 2
x





< −
>
+ − >




 
+ − = + ⇔ + > ⇔ > − ⇔ → =
=

  

  
= −
+ − = + + − =







V
ậ
y ph

x x x x
x x
x x
x x
x
>



>

+
>


>

+

  
=

= + ⇔ + > ⇔ ⇔ ⇔ → =
   

= +
= +


  

8 1
log log , 3 .
4 2
x
x
−
=

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
8 0
0 8.
0
x
x
x
− >

⇔ < <

>


Khi đó
( ) ( )
1

ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
x
= 4.
4)
(
)
( )
2
5
log 2 65 2, 4
x
x x
−
− + =
Điều kiện:
( )
2 2
5 0 5
5
5 1 4
4
2 65 0
1 64 0,

2
2
4 2 65 5 8 40 0 5.
x x x x x
⇔ − + = − ⇔ + = → = −

Nghi
ệ
m x = –5 th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = –5.
Bình lu
ậ
n:
Trong các ví d
ụ
3 và 4 chúng ta c
ầ

ươ
ng
đố
i
đơ
n gi
ả
n nên ta m
ớ
i g
ộ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n vào vi
ệ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình ngay.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)

)
(
)
(
)
lg 3 2lg 2 lg0,4, 1 .
x x+ − − =

Điều kiện:
3 0 3
2.
2 0 2
x x
x
x x
+ > > −
 
⇔ ⇔ >
 
− > >
 

Khi đó,
( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )


Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là x = 7.
2)
( ) ( ) ( )
5 5 5
1 1
log 5 log 3 log 2 1 , 2 .
2 2
x x x+ + − = +

Đ

Trang 21

Khi đó,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
5 5 5 5 5
1 1 1
2 log 5 log 3 log 2 1 log 5 3 log 2 1
2 2 2
x x x x x x
⇔ + + − = + ⇔  + −  = +
 

(
)
(
)
2 2
5 3 2 1 2 15 2 1 16 4.
x x x x x x x x
⇔ + − = + ⇔ + − = + ⇔ = → = ±

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề

4 15.2 27 0,
4.2 3 0
x x
x
x R

+ + > ∀ ∈


− >



Khi
đ
ó
( )
( ) ( )
2
2 2 2
1 1
3 log 4 15.2 27 2log 0 log 4 15.2 27 0
4.2 3 4.2 3
x x x x
x x
 
   
⇔ + + + = ⇔ + + =
 
   

− − +
= − <
 



Giá tr
ị

2 3
x
=
thỏa mãn điều kiện, từ đó ta được
2
2 3 log 3
x
x= ⇔ =
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
BÀI T
Ậ
P LUY
Ệ
N T
Ậ

x x
− + =
6)
1 1
5 5
2 2
log log
10 1
x
x
+
=
+

7)
1
log 4 2
x−
=
8)
2
log 10 log 10 6 0
x x
− − =
9)
(
)
2
log 3 5 3 2
x

13)
(
)
2
1
log 3 7 2 2
x
x x
−
− − =
14)
(
)
3 3 3
log 2 log log 8
x x
− + = 15)
(
)
lg 9 2lg 2 1 2
x x
− + − =

16)
(
)
(
)
4 4 4
log 3 log 1 2 log 8

ụ
khi ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a bi
ể
u th
ứ
c ph
ứ
c t
ạ
p khi th
ự
c hi
ệ
n các phép bi
ế
n
đổ
i.
Đặ
t
log
a
t x
=
thì ta không c
ầ

[ ]
2
2
2
log ( ) 2 log ( )
log ( ) log ( )
n
a a
a a
f x n f x
f x f x
=
=

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1)
( ) ( )
2
2
2 2
log 1 5 log 1
x x
− = + −

2)
(
)
(
)
2

2
2
2 2
log 1 5 log 1 , 1 .
x x− = + −
Điều kiện: x > 1.
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
log 1 log 1 log 1 2log 1 4
t x x x x t
 
= − → − = − =  −  =
 
 

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 22

Khi đó
( )
( )
( )
2
2

⇔ − − = ⇔ → ⇔ ⇔
 


=
− =
 



− = = +
 

C
ả
hai nghi
ệ
m
đề
u th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph

2 2
2
2 2 2 2
2
log 2 1
8
2 log 2 log 2 5 log 2 4log 2 5 0
log 2 5
2
x
x x x x
x
 − =
⇔ − − − = ⇔ − + − − = ⇔

− = −
−



V
ớ
i
(
)
2
log 2 1 2 2 0.
x x x
− = ⇔ − = ⇔ =


đ
ã cho có hai nghi
ệ
m là
63
0; .
32
x x= =

3)
(
)
1 1
3 3
log 3. log 2 0, 3 .
x x− + =
Điều kiện:
1
3
0
0 1.
log 0
x
x
x
>


⇔ < ≤


x


=
=

=

 


 
⇔ − + = ⇔ ⇔ →



 
=

=

  
=

 



C
ả

1 2
2
log (4 ) log 8, 4 .
8
x
x
 
+ =
 
 
 

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x > 0.
Ta có
[ ]
( ) ( )
2
2
2
2
1 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2 2

x
x
x x x x
x
x
−
=

=


⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔


= −
= =




V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
1

3 2 3 2
3 1
log .log log log
2
3
x
x x
x
 
 
− = +
 
 
 
 

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
1)
( )
5
1
2log 2 log , 1 .
5
x

Ta có
( )
( )
2 2
1 5
log 5
1 9 1 1 1 5
2 2
2 log 5 1 log 5 log 5 log 5 3. log 5 0
1 1
2 4 2 2 2 4
log 5
2 2
x
x x x x x
x

=

     
⇔ + + = + ⇔ − + = →

     
     

=


T
ừ

=




Các nghi
ệ
m này
đề
u th
ỏ
a mãn, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
5
5; 5.
x x= =

3)
(
)
2 3
2 16 4
log 14log 40log 0, 3 .
x x x
x x x− + =



≠


≠
 
⇔
 
≠
≠
 
 
≠


≠



Khi
đ
ó
( )
( ) ( ) ( )
2 16 4
2 42 20
3 2log 42log 20log 0 0
log 2 log 16 log 4
x x x

5
6
t
t t t t t t t t
t
=


⇔ + + − + + + + + = ⇔ − − = →

= −




V
ớ
i
2
2 log 2 2 2 2.
x
t x x= ⇔ = ⇔ = → = ±


V
ớ
i
6
5 5 6 6
5

m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
5
1
2; .
64
x x= =
4)
( )
3
3 2 3 2
3 1
log .log log log , 4 .
2
3
x
x x
x
 
 
− = +
 
 
 
 

Đ

x x x⇔ − − =
Do
3 3 2
log log 2.log
x x
=
nên
(
)
(
)
(
)
2 3 3 2 2 3 3
* log 1 2log 6log 2.log 0 log 1 2log 6log 2 0
x x x x x
⇔ − − = ⇔ − − =

2
3
3 3
3 3
1
1
log 0
1 6log 2
1 3
3
log log
1 2log 6log 2 0



Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 24

Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm
3
1; .
8
x x= =
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
a)
3 27
9 243
log log
log (3 ) log (27 )
=
x x
x x

Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n

x
x
x
x x x
x
−
= ⇔ =
=
=

=


⇔ ⇔ ⇔



+ = + = −
=




K
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m

ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
(
)
( )
(
)
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
4log 4 4 2 log
2log 2log
log 2 3log 8 1 log 3 3 log
x x
x x
x x x x
+
⇔ = ⇔ =
+ +

Đặt


Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1
;2
16
S
 
=
 
 
.
c)
(
)
(
)
1
2 2
log 2 1 .log 2 2 6
+
+ + =
x x

Giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n

Đặ
t
(
)
2
log 2 1
x
t
+ =
ta thu
đượ
c
2
2
2 1 4 2 3
2
6 0 log 3
1 7
3
2 1 2
8 8
x x
x x
t
t t x
t
 
+ = =
=


Gi
ải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
3
x
≥
.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 25

Phương trình đã cho tương đương với
3 3 3 3
1
4 log 1 log 4 8 log 1 log 8
2
x x x x
− − = ⇔ − − =

Đặ
t
(
)
3
log 1

x
x
x x

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
3
0;3 1;9 1; 3 1
x x x x
> ≠ ≠ ≠

Phương trình đã cho tương đương với
3 3
3 3
3
9 9
3 3
3
3 3
3 3 3
49
2log 3 4log 6log 3 8log 6log 3
5
2 4 6 8 6 49
1
1 log 1 log 3 2 3log 2log 3 3 5

+ +
=
⇒
+ + =
+ + +

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
3 2 3 2
3 2 2
171 3 2497
188
171 3 24
49
4 2 6 7 2 8 6 2 3 1 12 3 5 2 2 1 3 5 2
5
5 40 112 108 34 49 6 13 9 2
94 77 99 72 0 1 94 171 72 0
3
1
171 3 2497
3

=


97
188








b)
2
3
3
2
2
58
log (4 ) 2log
8 15
+ =
x
x
x
x
Giải.
Điều kiện
2
Đặ
t
2
log
x t
=
thu
đượ
c