Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM VỀ
HÀM SỐ Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 1. KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC

Nguyên tắc:
+ Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc
chẵn.
+ Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong
bảng xét dấu.
+ Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó.

x x
f x
x
d)
4 2 2 1 5
( ) .
3 2 4
− +
= − −
x x
f x
e)
2
3 2
( ) .
1
− +
= −
−
x x
f x x
x
f)
2 2
( ) .
3 1 2 1
+ −
= −
+ −
x x

+ <
+ +
x x x
b)
2
2 1 4
.
2 2
2
−
+ ≤
+
+
x
x x

c)
2
2
2 3 4 15
.
1 1
1
− − + +
+ ≥
− +
−
x x x x
x x
x

>
−
x x x
x x

2. KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC

Nguyên t
ắ
c:
+ f(x) chia cho g(x)
đượ
c h(x) và d
ư
là k thì ta có th
ể
vi
ế
t
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
.= + ⇔ = +
f x
k
f x g x h x k h x
g x g x

ầ
n, s
ố
h
ạ
ng nào
khuy
ế
t ta cho h
ệ
s
ố
b
ằ
ng 0.
+ Th
ự
c hi
ệ
n chia theo quy t
ắ
c:
đầu rơi - nhân ngang - cộng chéo
.

Các ví d
ụ

đ
i

x mx m
x
………
d)
(
)
2 2
2 2 2
2 1
+ − +
=
+
x m x
x
………
3. KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
Xét ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
4 3 2
0, 1 .
= + + + + =f x ax bx cx dx e
Bài mở đầu:
CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:

−
1.
+ Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản
như 0; ±1; ±2…
+ Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m
bằng 0, được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại.

Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)
(
)
4 3 2
2 4 3 2 1
= + − − −
f x x x x x

b)
(
)
3 2
4 2 7 1
= − − −
f x x x x

c)
(
)
(
)

0 1 . 2 4 3 2 1
1
+ − − −
= ⇔ − = + − − − → =
−
x x x x
f x x g x x x x x g x
x

Dùng lược đồ Hoocner ta được
( )
( )
4 3 2
3 2 4 3 2 3 2
2 4 3 2 1
2 6 3 1 2 4 3 2 1 1 2 6 3 1
1
+ − − −
= + + + → + − − − = − + + +
−
x x x x
x x x x x x x x x x x
x

b)
(
)
3 2
4 2 7 1
= − − −

c l
ẻ
c
ủ
a ph
ươ
ng trình là 4 − 7 = −3
T
ừ

đ
ó ta th
ấ
y ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m x = −1.
Khi
đ
ó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
4 2 7 1
1 . 4 2 7 1 1 .
1
− − −

(
)
(
)
3 2
1 1 2 1
= − + − − + −
f x x m x m x m

T
ổ
ng các h
ệ
s
ố

đ
a th
ứ
c là
(
)
(
)
1 1 1 2 1 0
− + − − + − =
m m m nên f(x) = 0 có m
ộ
t nghi
ệ

(
)
3 2
4 6 1
= + − +
f x x x x
=
………………………………………………………………

c)
(
)
3 2
= + − −
f x x mx x m
=
……………………………………………………………….d)
(
)
(
)
3 2
2 1
= − + − +
f x x x m x m
=
……………………………………………………….

2
0, 1
= + + =f x ax bx c
a) Giải và biện luận phương trình (1):

N
ế
u a
=
0 thì
(
)
(
)
1 0, *
⇔ + =bx c
+ n
ế
u b = 0 và c = 0 thì (*) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i x.
+ n
ế
u b = 0 và c



b ac
b ac b b

+ n
ế
u
∆
> 0 thì (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2
1;2
4
.
2 2
− ± ∆ − ± −
= =
b b b ac
x
a a

+ n
ế
u
∆
= 0 thì (1) có nghi

c Vi-ét:
1 2
1 2

= + = −




= =


b
S x x
a
c
P x x
a

M
ộ
t s
ố
các k
ế
t qu
ả
c
ầ
n l

1 2 1 2 1 2
2 2 2
x x x x x x S P P
+ = + − = − −



( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2
4 4
− = + − = −
x x x x x x S P

c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:

Ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
dương
phân bi
ệ
t khi
2
1 2
1 2
1 2



Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi
2
1 2
1 2
1 2
4 0
0
0
; 0
0


− >

∆ >

−

⇔ = + = <
 
<



= = >


b ac

α α 0
α α 0



− > − >

∆ >


∆ >


− −
 
⇔ + > ⇔ = + = > ⇔ = + = >
   
>

  
− − >

 
− + + >

+ + >


b ac b ac
b b

α α 0
α α 0



− > − >

∆ >


∆ >


− −
 
⇔ + < ⇔ = + = < ⇔ = + = <
   
<

  
− − >

 
− + + >

+ + >


b ac b ac
b b


x x g
a b c


Ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m và nghi
ệ
m này l
ớ
n h
ơ
n α khi
( )( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
0
0





−


−
−
−

= = >




= = >
= = >
= = >










⇔ ⇔ ⇔







b
b
b
b
x x
x x
x x
x x
a
a
a
a
c b
x x x x
x x x x .
a a


Ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ

0
0
α α α 0
α α 0
α α 0

∆ =


∆ =

∆ =

 
∆ =








−


−
−
−


∆ >

  




   



< < − − <
− + + <
+ + <




 






b
b
b
b
x x

ẫ
n gi
ả
i :
a) Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n ph
ươ
ng trình.
 N
ế
u
m
+ 1 = 0 ⇔
m
= −1 thì
( )
5
1 4 5 0 .
4
x x
⇔ − − = ⇔ = −

 N
ế
u m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là ph

m m
m
=


′
∆ = ⇔ − − = ⇔

= −

thì (1) có nghiệm kép
2
.
1
b m
x
a m
′
−
= − =
+

+ Nếu
2
3
0 2 5 3 0
1
2
m
m m

m
m m
m
>


′
∆ > ⇔ − − > ⇔

< −


G
ọi hai nghiệm phân biệt là x
1
; x
2
với x
2
> x
1
.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Theo định lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
4
1

1 0
4
0
0
1
1
.
0 2 3
3
0
1
2
o
m
m
x x
m
m
vn
x x m
m
m
− < <


− >


+ >


4 4
2 2
2 2 0
1
1 1
m m m
m
x x x x x x
m m m
m
m
m m
x x x x
m
m m
+ − +
 
− < <

− + > >
 
 + + >  + + + >
    
+ + +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
>

    
+ < − + < −
 

; x
3
thỏa mãn
+ + <
2 2 2
1 2 3
7.
x x x

Hướng dẫn giải :
a) Ta có
( )
( )
2
2
1
( ) 2 1 0, 2
x
g x x mx m
= −

⇔

= + − + =



Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2.
Điều đó xảy ra khi
( )


− − >
+ − >
  
< − −


⇔ ⇔ ⇔
   
≠
− ≠
− − + ≠






≠



Vậy với
4 2 5
4 2 5
5
4
m
m
m

m trong
đ
ó 2 nghi
ệ
m âm thì (2) ph
ả
i có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u.
T
ừ

đ
ó ta có
1
0 1 2 0 .
2
P m m
< ⇔ − < ⇔ >

Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Không mất tính tổng quát, giả sử x
1
= −2. Khi đó x
2
; x
3
là hai nghiệm phân biệt của (2).

i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
4 2 5 1
m
− + < <
là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
2
1 2 1 0.
− − + + =
m x mx m
a)
Ch

ệ
m b
ằ
ng 5, t
ừ

đ
ó hãy tính t
ổ
ng hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng
trình.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
c) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức
1 2
2 1
5
0.
2

1
, x
2
của phương trình thoả mãn x
1
+ 4x
2
= 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Cho phương trình
2
1 0
− + − =
x mx m , (v
ớ
i m là tham s
ố
).

a)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ

b)

Đặ
t
2 2
1 2 1 2
6 .
= + −
A x x x x


Ch
ứ
ng minh A = m
2
– 8m + 8.

Tìm m
để
A = 8,

Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a A và giá tr

ớ
n h
ơ
n 1.
Bài 5:
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
2
1 2 3 0.
x x mx m
− + + − =

a)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
b)
Tìm m
để

1 2 3
15.
x x x+ + =

d)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó có hai nghi
ệ
m âm.

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
DẠNG 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA
Xét hàm số bậc ba :
3 3 2
3 3
′

1 1
3
y x m x mx
tùy theo giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
(
)
2
2 1 .
′
= + − +
y x m x m


Hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
khi y′ không
đổ
i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh (hay hàm s

m kép.
T
ừ

đ
ó ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
2
2
3 5 3 5
0 1 0 3 1 0 .
2 2
− +
′
∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m

Hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
khi y′
đổ

⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔

−
<


m
m m
m

Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
3 5 3 5
2 2
− +
≤ ≤m
- Hàm số có hai cực trị khi
3 5 3 5
; .
2 2
+ −
≥ ≤m m
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số
(
)
= + − + + −
3 2
2 2 3
y mx m x mx m
tùy theo giá tr

2 2 6
0
0
5
5
0
5 4 4 0
2 2 6
2 2 6
5
5
≠



− +

≥
− +


≠

≠

 
≥


⇔ ⇔ ⇔

Bài 1:
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
 Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
2 2 6 2 2 6
0
0
5 5
0
5 4 4 0
0

− − − +
≠

≠

< <
 
⇔ ⇔ ⇔
  
′
∆ >
+ − <



c tr
ị
khi
2 2 6 2 2 6
5 5
0

− − − +
< <



≠

m
m

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1.
Tìm m
để
các hàm s
ố
sau
đ
ây có c
ự
c
đạ
i và c

(
)
(
)
3 2
1 2 2 2
= + − + − + +
y x m x m x m không có c
ự
c tr
ị
.
Bài 3.
Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

( ) ( )
3 2

B
x x
A
C
x x
A

Phương pháp thực hiện :
+ Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆ > 0, (*)
+ Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn.
+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng.
Ta xét một số dạng tính chất điển hình.
Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x
o


Cách 1 (sử dụng bảng biến thiên) :
+ Hàm số đạt cực trị tại
(
)
0 .
′
= ⇔ = →
o o
x x y x m

+ V
ớ

ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m x
o
hay không.

Cách 2 (s
ử
d
ụ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n,
đ
i
ề
u ki


o
o
o
y x
x x m
y x

+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
(
)
( )
0
.
0
′

=

= ⇔ →


=

= ⇔

′′
≠


o
o
o
y x
x x
y x

Ví dụ mẫu: Cho hàm số
= − + − +
3 2
1
( 2) 1.
3
y x m x mx
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải :

)
0 0 0.
′
= ⇔ =
y m

+ Với m = 0 thì ta có
2
0
4 0
4
=

′
= − = ⇔

=

x
y x x
x

Ta có bảng biến thiên:
x
−∞ 0 4 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
CĐ +∞


m
x m
m
y

V
ậ
y m = 0 thì hàm s
ố

đ
ã cho
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 0.
c)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti

i
2 2
2
4 4 4 12 4
2 2 0
2
5 5 5 5 5
5
=

 

′ ′
= − → = − − + ⇔ = − + = ⇔
 

=
 


x
m y x x y x x
x

Ta có b
ả
ng bi
ế
n thiên:
x

4
2 0
5 4 0
4
2 .
5
2 0
5
2 0
0

′
 =
+ =
= −

 
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
  
− >
′′
>




<

y
m

(2 1) 2 3.
= − + − + −
y x m x mx

a)
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t

0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−

>

= + >


> > → ⇔
 
= >


>




Hai
đ
i
ể


< < → ⇔
 
= >


>




Hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
có hoành
độ
trái d
ấ
u.
Khi
đ
ó ta có
1 2 1 2
0 0 0
C

x x
A A
x x
B
x x
B
A
A

−
 

− + >
− + + >
 


− − >
  
 
> > ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ >
−
>


 
>

C B
x x x x
x x
A A
x x
B
x x
B
A
A

−
 

− + >
− + + >
 


− − >
  
 
< < ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ <
−
<



Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2

+ = −




=


B
x x
A
C
x x
A

Ví dụ 1: Cho hàm số

c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

+ =
1 2
1 2
1 1
2 .
x x
x x

c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có

2

− +
>


′
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔

− −
<


m
m m m m
m

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Vậy với
7 3 5
2
7 3 5
2

− +
>





= −

m
x x
x x m

Ta có
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2(1 ) 1 13
2 2 2 3 1 0 .
3 6
+
− − ±
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ =
x x
m
x x x x m m m m
x x x x

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
1 13
6
m
− +
= là giá tr

2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình y′ = 0.
Theo
đị
nh lí Vi-ét ta
đượ
c
1 2
1 2
2(1 )
3
−

+ =



= −

m
x x
x x m

Theo bài ta có



 
− >


x x x x
m
x x
m
x x
m
x x
m

8
8
0
8 5.
3
5
5
+

> −
>


⇔ ⇔ ⇔ − < < −
 

− < < là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
d)
Ta có
1
2
1 2
2
1
6
0 3 2( 1) 3 0
1
6

′
− − ∆
= =


′
= ⇔ + − − = ⇔ → <

′
− + ∆
= =




đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ

1
1
6
′
− − ∆
=
m
x
Theo bài ta có
( )
1
2
5 0
1
1 1 6 5

⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −
 
> −
+ + < + +



m
m
m
m
m m m m

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
7 3 5
8
2

ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

− ≤
1 2
2.
x x

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
3 6( 1) 9.
′
= − + +
y x m x



Theo
đị
nh lý Vi-et ta có
1 2
1 2
2( 1)
3
+ = +


=

x x m
x x

Khi
đ
ó:
( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2
2 4 4 4 1 12 4 ( 1) 4 3 1
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤
x x x x x x m m m
Đố
i chi
ế
u v

) 2
y x m x m x m

Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2

( )
2 2
5
(1 2 ) 3(2 ) 4 5 0
*
4


−

=


m
x x
m
x x

Khi
đ
ó
( ) ( )
2 2
2
1 21 2 2 1 21
1
4 4(1 2 ) 4(2 1
1
9
3
)
⇔−
= + − > ⇔ − − − >
> − x x x x mx mx x x
2
3 29
8

m
m
là các giá trị cần tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố

= − − + − +
3 2
1 1
( 1) 3( 2) .
3 3
y x m x m x

Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti

khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

2
5 7 0,
′
⇔ ∆ = − + > ∀
m m m


Khi
đ
ó ta có
( )( )
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 2 1 2
1 2
2( 1) 1 2 2( 1) 3 2
3( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3
2 1 2 1
3( 2) 3 2 4 3 3 6

+ = − − + = − = −
 
  
= − ⇔ = − ⇔ = − − = −
  

5: Cho hàm s
ố

= + + + +
3 2
(1– 2 ) (2 – ) 2.
y x m x m x m

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hoành
độ

đ

ầ
u bài toán tr
ở
thành y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
2
1 2
4 5 0
5 7
1 (1) 5 7 0
4 5
2 1
1
2 3

′
∆ = − − >


i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

= −
1 2
4 .
x x

Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
12 2 3 36 0.
′ ′
= + − ⇒ ∆ = + >
y x mx m
Khi
đ

3 2
( 2) ( 1) 2.
= + + − − +
y x m x m x

a)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3.
c)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
10.
+ <x x

d)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1.
Bài 2:
Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 3
2 3 3 6 5 1 4 1.

, x
2
là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm
số.
a)
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1.
b)
Tìm m sao cho biểu thức
(
)
1 2 1 2
2= − +
P x x x x

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 5:
Cho hàm s
ố

3 2
1
( 6) 1.
3

ị
n
ằ
m cùng phía, khác phía v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị
với y
CĐ
.y
CT
< 0.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với
y
CĐ
.y
CT
> 0.
Ví d
ụ
1: Cho hàm s

ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a tr
ụ
c hoành.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 6
′
= + +
y x x m
, hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Tức là
9 3 0 3.
′
∆ = − > ⇔ <
m m
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:


− = − ≠

m
m
g m

Vậy m < 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
= − + + − − + −
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
y x m x m m x
, v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
Tìm
m để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự


Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
(
)
2
2
0 2 1 3 3 2 0
′
⇔ ∆ > ⇔ + − − + >
m m m

2
13 3 21

p
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c 1 < m < 2 th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố

= − + − −
3 2
1
(2 1) 3
3
y x mx m x
, v
ớ
i
m
là tham s
ố

ề
cùng m
ộ
t phía c
ủ
a tr
ụ
c tung.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
2 2 1
′
= − + −
y x mx m

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự

cùng m
ộ
t phía c
ủ
a tr
ụ
c tung khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có hai nghi
ệ
m
cùng d
ấ
u
1
0 2 1 0 .
2
⇔ > ⇔ − > ⇔ >
ac m m
Kết hợp điều kiện ta được
1
1
2
< ≠
m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính ch
ấ
t 5: Các bài toán c
ự
c tr

2
0
x x
y
x x
=

′
= ⇒

=

và s
ử
d
ụ
ng yêu c
ầ
u c
ủ
a
đề
bài
để
gi
ả
i ra tham s
ố
.
Ví d

ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i
đế
n g
ố
c t
ọ
a
độ
b
ằ
ng
2
l
ần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi

đ
ó
(
)
( )
1 1;2 2
0
1 1; 2 2

= − ⇒ − −
′
= ⇔

= + ⇒ + − −


x m A m m
y
x m B m m

Do h
ệ
s
ố
a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là
đ
i
ể
m c
ự


V
ậ
y
3 2 2
= − ±m
là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Ví dụ 2: Cho hàm số
(
)
−
= − + − + −
2
3
3 1
1
(3 2) 1.
3 2
m x
y x m x m

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.

m có hoành
độ
x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
+ =
2 2
1 2
2 12
x x

Hướng dẫn giải :
Ta có
(
)
(
)
2 2
3 1 3 2 0 3 1 3 2 0.
y x m x m y x m x m
′ ′
= − − + − ⇒ = ⇔ − − + − =

a) Hàm s
ố
có c

ớ
i
(
)
( )
3 1 3 1
1
2
1 0
3 1 3 1
3 1
2
m m
x
m y
m m
x m

− − −
= =


′
≠ ⇒ = ⇔
 − + −
= = −



Hoành

ã cho có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và hoành
độ
c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ớ
n h
ơ
n 2.
c) Ta có
( )
3
3 3
1 2
4
28 1 3 1 28 3 1 3 .

x x m x x m m m
±
= = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − = ± → =
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i c
ự
c tr
ị
ta
đượ
c
1 10
.
3
m

n t
ạ
i c
ự
c tr
ị
ta
đượ
c
2 22
.
6
m
±
=
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố

+=
+
3 2
3y x x
m

Tìm m
để
hàm s
ố

Ta có
2
0
3 6 0
2 4
= ⇒ =

′ ′
= + ⇒ = ⇔

= − ⇒ = +

x y m
y x x y
x y m

V
ậ
y hàm s
ố
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4).
Ta có

3
3
− < <
+

⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔

+ + =

+ +
− < <

− +

⇔ ⇔ = = − +
− ±

=


m
m m
m m m m
m m
m m
m
m
m

V

c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này
đố
i x
ứ
ng nhau qua (d): x + 8y
−
−−
−
74 = 0.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )
2
0
3 6 3 2 0
2
=


3 3
(0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 )
− − − − ⇒
A m B m m m AB m m


Trung
đ
i
ể
m
I
c
ủ
a
AB
có to
ạ

độ

3
( ;2 3 1)
− −
I m m m
Đườ
ng th
ẳ
ng d:
(

. 0

+ − − − =
∈


⇔ ⇔ ⇔ =
 
⊥
=



 
m m m
I d
d m
AB d
AB u

V
ậ
y m = 2 là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số
( )
= − + − +

= − + − + ⇒ = − + − = − + −

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có điều kiện
( )
2
0 2 0 2.
m m
∆ > ⇔ − > ⇔ ≠

V
ậ
y v
ớ
i m ≠ 2 thì hàm s
ố

đ
ã cho có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b)
Hàm s
ố


Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó
4 2 1 0 3
( ) 3
12 3 0 4
m m m
I m
m m
− + − = =
 
⇔ ⇔ ⇒ =
 
− > <
 

Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm
(0) 0
, ( )
(0) 0
′
=


′′
>

y
I
y

2
3 2
2
1
2
2
2
2
3 5 4
1
2
2
m
m m
y
x m
m
m m
m m
x
y
−

+ −

=
= = −




đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó
2
3 8 6
2 ;
2
m m
AB m
 
− +
= −
 
 


Đườ
ng th
ẳ
ng qua các
đ
i
ể
m c
ự

ố

(
)
2
3
2 1
1
2(2 1) 3.
3 2
m x
y x m x
−
= − − + +

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành âm.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
4 4
1 2
17
x x

2 2
1 2
2 12
x x
+ =

Bài 2:
Cho hàm s
ố

(
)
2
3 2
3 1
1
(2 ) 2.
3 2
m x
y x m m x
+
= − − + −

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2

)
1 1 2 2
; , ;
+ +
M x ax b N x ax b
, trong đó x
1
; x
2
là hai
nghiệm của phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được.
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )= − + + − + −
3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti

m

Vậ
y hàm s
ố
luôn có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m.
Chia y cho y′ ta
đượ
c
2
1
2
3 3
 

1
2
2
1 1 1
2
2 2 2
1
2
3 3
1
2
3 3

 
′
= − + − +
 


 

 

′
= − + − +
 

 

x

V
ậ
y, ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho là
2
2
= − +

ng
đ
i qua các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
d
:
y
=
−
−−
−
4
x
+ 3.
H
ướ
ng d

⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m
Chia y cho y′ ta
đượ
c
1 1 2
2 2
3 3 3 3
     
′
= − − + + −
     
     
m
xy
m
x y
G
ọ
i
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các
đ
i
ể

/ / : 4 3

 
− + = −
 


 
⇔ ⇔ =
∆ = − +


− ≠

⇒

m
m
m
d y x
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= − − +
3 2
3 2
y x x mx



−
−−
−
1.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2
3 6
′
= − −
y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
(
)
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −
m m
Chia y cho y
′
ta
đượ
c
1 1 2
2 2
3 3 3 3
     
′

2 3
2 1 ,
3 2
 
− + = ⇔ = −
 
 
⇔
m
m (thỏa mãn)

TH2:
Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng
( )
1 2 1 2
1 1
2 2
+ +
⇔ = − ⇔ = −
I I
y y x x
d y x
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 3 .2 6 0
3 3 3 3
     
− + + + − = + − ⇔ + = − ⇔ =
     

đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này
đố
i x
ứ
ng nhau qua (
d
):
x

−
−−
−
2
y

−
−−
−
5 = 0.
Hướng dẫn giải :
Ta có

A x y B x y
là các điểm cực trị, khi đó
( )
2 1 2
2 2
3
:
3 3
 
− + ⇒ = −
 

=

AB
m x m kA mB y
Ta có
( )
1
: 2 5 0
2
− − = ⇒ =
d
d x y k
A, B đối xứng nhau qua (d) thì ta phải có
( ) ( )
1 2
. 1 2 1 0
2 3
 

ể
m c
ự
c ti
ể
u
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
1
: .
2
=
d y x

Đ
/s:
m
= 1
Bài 2:
Cho hàm s
ố

đ
i
ể
m
đ
ó t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
: 4 5 0
+ − =
d x y m
ộ
t góc 45
0
.
Đ
/s:
.
= −
1
2
m

.
2
= ±m

Bài 5: Cho hàm số
3 2
3( 1) 9 2
= − + + + −
y x m x x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1
:
2
=
d y x

Đ/s : m = 1
Bài 6: Cho hàm số
3 2
3= − +
y x x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
: 2 5 0
− − =
d x y

Đ/s : m = 0
Bài 7: Cho hàm số

3 15
.
2
±
=m

Bài 9: Cho hàm số
3 2
3 2
= − +
y x x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn
2 2
( ) : ( ) ( 1) 5
− + − − =
C x m y m
.
Đ/s :
4
2; .
5
= = −
m m

MỘT SỐ BÀI GIẢI MẪU VỀ CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CHỌN LỌC
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)

Để hàm số có cực đại cực tiểu tại x
1
; x
2
thì phương trình
' 0
y
=
có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
hay
( ) ( )
2
2
' 1 3 2 5 7 0
m m m m
∆ = − − − = − + >
luôn đúng với mọi m
Theo định lí Viète ta có:
(
)
( )
1 2
1 2
2 1
3 2
x x m
x x m



+ =


Từ
(
)
(
)
1 3
và
ta dễ dàng giải được
2
1
3 2
4 5
x m
x m
= −


= −


Thay vào
(
)
2
ta có:

1.
< <
x x

Giải :
TXĐ :
D
=
R

Ta có
(
)
2
' 2 2 1
y mx m x m
= + − + −

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại thì phương trình
(
)
(
)
2
' 2 2 1 0 *
y mx m x m= + − + − =
có hai nghiệm phân
biệt x
1
; x

thì PT
(
)
**
có hai nghiệm
1 2
0
t t
< <
hay
( )
5
4 5 0 0
4
m m m
− < ⇔ < <

Vậy
5
0
4
m
< <
là giá trị cần tìm.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
1
3 4
3
= − − +

y x mx m
= − −

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thì PT
2
' 2 3 0
y x mx m
= − − =
có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2

Hay
(
)
(
)
2
' 3 0 ; 3 0;m m m
∆ = + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

Theo định lí Viète ta có:
1 2
1 2
2

2 1 2 1
9
2
9
x x x x m
m
m x x x x m
+ + +
+ =
+ + +

( )
( )
2
2
2
1 2 1 2 2
2
2
9
1 2 3 9 4
x x x x x m
m m m m m
m
+ − + +
⇔ = ⇔ − + + = ⇔ = −
( vì
0
m
≠

R

Ta có
2 2
' 3
y x mx m
= − + −

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
dương thì PT
2 2
' 3 0
y x mx m
= − + − =
có 2 nghiệm dương phân biệt
x
1
; x
2

(
)
2 2
1 2
2
1 2
4 3 0

m =
là giá trị cần tìm.
Bài 5: Cho hàm số
3
3 2
= − +
y x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng
3 2
, với C(1 ; 1).
Ta có :
2 2
' 3 3 0
y x m x m
= − = ⇔ =
. Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B
0(*)
m
⇔ >

Khi đó :
2 2 ( ; 2 2)
2 2 ( ;2 2)
x m y m m A m m m
x m y m m B m m m

= ⇒ = − + ⇒ − +

= − ⇒ = + ⇒ − +


Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
3( 1) 12 3 4
= − + + − +
y x m x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với
9
1; .
2
 
− −
 
 
C

Ta có :
2 2 2
' 3 6( 1) 12 0 2( 1) 4 0 2 2 4 0
y x m x m x m x m x mx x m
= − + + = ⇔ − + + = ⇔ − − + =

2
( 2 ) 2( 2 ) 0 ( 2)( 2 ) 0
2
x
x x m x m x x m
x m

1
( *)
9
2
9 4 12 3 4 0
2
+ − =


⇔ = −

− + − + − =


m
m tm
m m m m

Vậy
1
2
= −
m
là giá trị cần tìm
Bài 7: Cho hàm số
3 2 3
2 3( 1) 6
= − + + +
y x m x mx m


x y m m A m m
AB m m
x m y m B m m

= ⇒ = + − ⇒ + −

⇒ = − −

= ⇒ = ⇒




2 6 2
0
2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 ( *)
2
m
AB m m m tm
m
=

= ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔

=


Vậy m = 0 ; m = 2. là giá trị cần tìm
Bài 8: Cho hàm số
3 2 2 3


= − + ⇒ = − − + − = + ⇒ − + +



Vì tam giác OAB vuông tại O nên ta có :
2
1
. 0 (1 )( 1 ) ( 3)( 1) 0 2 2 4 0
2
m
OAOB m m m m m m
m
= −

= ⇔ + − + + − + = ⇔ − − = ⇔

=

 

Vậy
1; 2.
= − =
m m

Bài 9: Cho hàm số
3 2 3 2
3( 1) 3 ( 2) 2
= + + + + + +

Đ/s :
2 5.
=AB

Bài 10: Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
= − + − +
y x mx m x

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và y
CĐ
+ y
CT
> 2.
2 2 2
1
' 2 1 0 ( ) 1
1
x m
y x mx m x m
x m
= +

= − + − = ⇔ − = ⇔

Ta có: y
CĐ
+ y
CT
> 2
3
3
3
2
2 2 2 2 6 0
3
3 0
m
m
m m m
m

>
⇔ − + > ⇔ − > ⇔

− < <



Kết luận:
3
3 0
m
m


1 6
( 1) 6 0
1 6
m
m
m

> − +
⇔ + − > ⇔

< − −


(*).
Khi đó gọi
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
A x y B x y
là tọa độ 2 điểm cực trị.
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
2
1 1 10 2 4 11 2
'
3 9 9 9
m m m m
y x y x
+ − − +
 
= + + −
 

Vậy với đk (*) đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số là :
2
10 2 4 11 2
9 9
m m m
y x
− − +
= −

b, Tương tự câu a ta có:
2
2
y x m m
= + −
với
m R
∈Bài 12: Cho hàm số
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
= − + + − − + −
y x m x m m x

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.

Ta có :
2 2

1 2
2
1 2
2(2 1)
3
3 2
3
m
x x
m m
x x
+

+ =



− +

=



Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Theo đk A, B nằm khác phía với Oy
2
1 2
3 2

= − +
. Để hàm số có 2 cức trị
' 0
y
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt
2
'
' 0 9 3 0 3 3
y
m m∆ > ⇔ − > ⇔ − < <
(*) .
Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
A x y B x y
.
+ Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
2 2
1 1 2 3
' 2
3 3 3 3
m m m
y x y x
 
+
 
= − + − +
 
 


= −


 
( với I là trung điểm của AB)
Giải
2
1 2
. 1 2 1 0
2 3
d AB
m
k k m
 
= − ⇔ − = − ⇔ =
 
 
 
( thõa mãn (*))
Với
0
m
=
ta có
(0;0), (2; 4) (1; 2)
A B I d
−
⇒
− ∈

. 1
= −
 
d AB
k k và thử lại đk
kia)
Bài 14: Cho hàm số
3 2 3
3 4
= − +
y x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x.
Ta có :
2
0
' 3 6 0
2
=

= − = ⇔

=

x
y x mx
x m
. Để hàm số có cực đại cực tiểu tại A,B
0
m

i x
ứ
ng nhau qua
:
d y x
=
nên :
2
2
2
1
. 1 2
2 1 0

∈

=
 
⇔ ⇔ = ±
 
= −
− =




 
d AB
I d
m m

đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng
1
:
2
=
d y x

Đ
/s : m = 1
Bài 16:
Cho hàm s
ố

3 2
3= − +
y x x mx