18
Chơng 3.
Trạng thái ứng suất

I. Khái niệm về trạng thái ứng suất
Trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể đn hồi chịu
lực l tập hợp tất cả các ứng
suất tác dụng trên tất cả các
mặt vô cùng bé đi qua điểm
đó, đặc trng bởi tenxơ đối
xứng cấp 2 có 6 thnh phần
ứng suất độc lập (hình 3.1):








xxyxz
yx y yz
zx zy z
(3.1)
nh biểu thị trên các mặt của
phân tố toạ độ Cdxdydz.
Qua 1 điểm ta luôn tìm
ba mặt vuông góc với nhau có
ứng suất tiếp bằng 0, các mặt đó l
mặt chính

Hình 3.2
Hình 3.1

19
II. Trạng thái ứng suất phẳng
1.
ứ
ng suất trên mặt nghiêng bất kì

Tách một phân tố khỏi vật thể đn hồi chịu lực. Giả thiết
mặt vuông góc với trục z l mặt chính (
z
=
zx
=
zy
= 0), những
mặt còn lại có cả ứng suất pháp v ứng suất tiếp (hình 3.3).

Hình 3.3
Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ đáy l tam giác,
mặt bên nghiêng. Phơng trình tổng mômen các lực với O:

= =

Oxy yx
dx dy
Mdydz dzdx0
22



Sau khi rút gọn, sử dụng định luật đối ứng ứng suất tiếp ta
đợc giá trị của
u
v
uv
:

+
= +
xy xy
uxy
cos2 sin 2
22
(3.4)


= +
xy
uv xy
sin2 cos2
2
(3.5)
Rõ rng l khi = 0 (hoặc /2) thì
u
v
uv
có giá trị bằng
x
,


xy
0
xy
tg tg2 tg
= +
0
k.
22
(3.6)
Ta thấy
0
có hai nghiệm l
1
v
2
(ứng với k = 0 v k = 1)
lệch nhau 90
0
ta luôn có hai phơng chính vuông góc với nhau.
Thay
1
v
2
vo (3.4) ta sẽ đợc các ứng suất chính cần tìm, đó l
những ứng suất pháp cực trị, vì d
u



=

xy
xy
tg2
2

So sánh với (3.7), ta đợc:

= =

0
0
1
tg2 cotg2
tg2

= +
0
k.
4
(3.8)
Kết luận
: những mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt chính
một góc 45
0
. Thay (3.8) vo (3.5) với
2

1. Cơ sở của phơng pháp v cách vẽ vòng tròn MO ứng suất
Xét một phân tố với các ứng suất
x
,
y
,
xy
đã cho nh hình
3.4a. Lập hệ toạ độ O (hình 3.4b) theo tỷ lệ nhất định. Trên trục
honh đặt các đoạn OE =
y
v OF =
z
. Từ E dựng đoạn ED =
xy

vuông góc với OE. Vẽ vòng tròn có tâm C l trung điểm của đoạn
yz
EF OC
2
+

=


v bán kính CD (CD = R =
2
yz
2
yz



x


xy


yx


xy

uv

x

y

xy


yx22
tung độ
xy
(hình 3.4b), rồi từ P vẽ tia song song với phơng u cho
cắt vòng tròn tại điểm M. Toạ độ của M chính l các ứng suất

+
z
= hằng (3.12)

Tổng ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau l hằng số
.
Gọi
1
v
2
l góc của phơng chính thứ nhất v phơng
chính thứ hai đối với trục x. Theo hình 3.4b, có:
tg
1
=

=

xy
ymax
FP
FA
; tg
2
=

=

xy
ymin

3.6a).
Lúc ny vòng
tròn Mo có tâm trùng
y




x

H
ình 3.5
H
ình 3.6

xy

23
với gốc toạ độ (hình 3.6b). Các ứng suất chính khác dấu nhau v
có giá trị bằng giá trị của ứng suất tiếp:
1
=
3
=
xy
(3.15)
IV. Liên hệ giữa ứng suất - biến dạng
1. Biến dạng di (định luật Húc tổng quát)
Trớc hết hãy tìm biến dạng di tơng đối
1


Biến dạng di (tơng đối) theo
phơng I do các ba ứng suất
1
,
2

v
3
sinh ra:
1
=
11
+


12
+
13
.
Lm tơng tự ta đợc biến dạng
(tơng đối) theo phơng II v
phơng III của phân tố:
()
()
()

= +




= +


xxyz
yyzx
zzxy
1
E
1
E
1
E
(3.16)
Các hệ thức bậc nhất (3.16) trên đây giữa biến dạng di v
ứng suất pháp l nội dung của
định
luật Húc tổng quát
đối với vật rắn đn
hồi tuyến tính.
2. Biến dạng góc (Định luật Húc về
trợt)
Xét biến dạng của phân tố. Dới
tác dụng của ứng suất tiếp phân tố bị
biến đổi hình dáng v trở thnh hình

ij


ij

2(1 )
=
+
(3.19)
3. Biến dạng thể tích tỷ đối (định luật Húc khối)
Gọi dx, dy v dz l các cạnh của phân tố v V
0
l thể tích
ban đầu của phân tố, ta có: V
0
= dxdydz
Sau khi biến dạng, chiều di các cạnh thay đổi sẽ l (dx +
dx), (dy + dy) v (dz + dz). Thể tích sau khi biến dạng:
V
1
= V
0
+ V = (dx + dx).(dy + dy).(dz + dz)=
= dxdydz
dx d
y
dz
111
dx d
y
dz



+++

VV
V

=
=
x
+
Y
+
z

Thay
x
,
Y
v
z
từ (3.16) vo công thức trên ta đợc:
=
x
+
Y
+
z
=
()
xyz
12
E


với mặt cắt. Trên mặt
vuông góc với mặt cắt ny chỉ có ứng suất tiếp (hình 3.9).
Tính ứng suất pháp v ứng suất tiếp trên mặt cắt tạo thnh
góc 45
0
với mặt cắt m-n. Tính
ứng suất pháp lớn nhất tại
điểm đó.
Giải
Ta thiết lập hệ trục xy trên
mặt cắt m-n v hệ trục uv
trên mặt cắt nghiêng nh
hình 3.9. Khi đó các thnh
phần ứng suất trên các mặt
của phân tố ở trạng thái ứng
suất phẳng:

= = =
= = =
=
02
x
02
xy
y
p sin 60 3.0,86 2,6kN / cm
p
cos60 5.0,5 1,5kN / cm
0



p
x
y
60
0

n
m
H
ình 3.9

26

max
=
+

++


2
xy xy
2
xy
22
3,28 kN/cm
2

Ví dụ 3.2


= = =
= = =
4
mmn mn
4
4
nnm nm
4
11
0,3 2,81.10
E
2.10
11
0,3 2,81.10
E2.10m
4,32=
kN/cm
2
;
n
4,32

=
kN/cm
2



+
= +
mn mn
umn
cos2 sin 2
22+
=+
00
mn
4,32 4,32 4,32 4,32
2,5 cos 2.45 sin 2.45
22mn
2,5=
kN/cm
2

Giá trị ứng suất chính tại điểm cho trớc:
()
()
+
= +=

+

O
45
0
Hình 3.10
45
0

27
Ph−¬ng chÝnh:
τ
α=− =
σ−σ +

mn
mn
2
2.2,5 1
tg2
4,32 4,32
3
⇒
0
1
0
2
15
105
⎧
α=
⎪