86
Bài 3:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Dạng:
f(x,y) 0
f(y,x) 0
=
⎧
⎨
=
⎩

2. Cách giải: Ta thường biến đổi về hệ tương đương:
f(x,y) f(y,x) 0 f(x,y) f(y,x) 0
f(x,y) 0 f(x,y) f(y,x) 0
−= −=
⎧⎧
∨
⎨⎨
=+=
⎩⎩

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Hãy xác đònh a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:
23 2
23 2
yx4xax (1)
xy4yay (2)

⎨
=
⎩

0
f(0) 0VN
∆=
⎧
⎨
=
⎩

25
0254a0a
4
∆< ⇔ − < ⇔ >

*
22 2 2
xyxy3(xy)a0y(x3)y(x3xa)0++− ++=⇔+− + −+=
22 2
2
(x3) 4(x 3xa) 3x 6x94a
3(x 1) (12 4a) 0
∆= − − − + =− + + −
=−−+− <87
Khi

⎪
=+
⎪
⎩

Giải
Điều kiện x > 0, y > 0
Hệ
222
222
222
2x y y a
2x y y a
(I)
(x y)(2xy x y) 0
2y x x a
⎧
⎧
=+
=+
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−
++ =
⎪
=+
⎪
⎩
⎩

32 2
32 2
xy7xmx
yx7ymy
⎧
=+ −
⎪
⎨
=+ −
⎪
⎩

Có nghiệm duy nhất:
Giải
Ta nhận thấy x = 0, y = 0 là nghiệm của hệ.
Và nếu (x, y) là nghiệm của hệ thì (y, x) cũng là nghiệm của hệ. Vậy
để hệ có nghiệm duy nhất là x = y.
⇒
phương trình :
32 2 3 2
xx7xmx0x8xmx0−− +=⇔− +=
có
nghiệm duy nhất.
32 2
x8xmx0x(x8xm)0−+=⇔ −+= (*)
2
x0
x 8x m 0 (**)
=
⎡

⎧
++ =
⎪
⎨
⎪
++ =
⎩3.3. Giải và biện luận hệ :
22
22
x(34y)m(34m)
y(34x)m(34m)
⎧
−=−
⎪
⎨
−=−
⎪
⎩89
Hướng dẫn và giải tóm tắt

3.1.
3
3
x2xy (1)

x2xy
xy3(xy)
⎧
=
⎧
+
+−=
⎪⎪
∨
⎨⎨
=+
⎪
+= +
⎪
⎩
⎩

Giải
x0 x 3 x 3
(I):
y0
y3 y 3
⎧⎧
== =−
⎧
⎪⎪
∨∨
⎨⎨ ⎨
=
==−

s(s 3p) 3s s 3p 3
⎧⎧
=
⎧
−
−= = + = +
⎛⎞
⎪⎪⎪
⇔⇔∨
⎨⎨⎨
⎜⎟
=
−=
⎪
⎝⎠
−= =+
⎪⎪
⎩
⎩⎩

s0 x1 x 1

p1 y1 y1
=
==−
⎧⎧ ⎧
⇔⇔ ∨
⎨⎨ ⎨
=
−=− =

2
2
x2y 2
x2x 2
⎧
++ =
⎪
⎨
⎪
++ =
⎩90
. Nếu
2
x2 2
x0: VN
y0
⎧
+>
⎪
≠
⎨
≥
⎪
⎩

. Nếu
2

23
(1) 4x 3x 3m 4m 0⇔−+− =
2
22
(x m)(4x 4mx 3 4m) 0
xm
4x 4m 3 4m 0 (3)
⇔− + −+ =
=
⎡
⇔
⎢
+−+=
⎣

2
'4(m 4m3)∆= − +
. m 1 m 3:≤∨ ≥ phương trình (3) có 2 nghiệm
12
x,x ⇒ hệ có 3 nghiệm.
. m 1 m 3 :=∨ = Phương trình (3) có nghiệm kép:
12
m
xx
2
=
=− ⇒hệ
có 2 nghiệm.
TH 2:
3