79
Bài 2:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Dạng :
f(x,y) 0
(I)
g(x,y) 0
=
⎧
⎨
=
⎩
với
f(x,y) f(y,x)= và g(x,y) g(y,x)
=

2. Cách giải: Đưa hệ (I) về hệ :
F(S,P) 0
(II)
G(S,P) 0
=
⎧
⎨
=
⎩
với S = x + y , P = xy
Giải hệ (II) S,P⇒ và x,y là nghiệm của phương trình :
2
tStP0−+=

−= +− =
⎪⎪
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
=
+= =−
⎪⎪
⎩
⎩⎩

(loại vì không thỏa
2
s4p0
−
≥
)
s3 x1 x2
p2 y2 y1
===
⎧⎧⎧
∨⇔∨
⎨⎨⎨
===
⎩⎩⎩
vậy nghiệm (1, 2), (2, 1).

80
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình :
22

11
vy y v 2
y
y
⎧
⎧
+
=−
=+
⎪
⎪
⎪⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
=
++=−
⎪⎪
⎩
⎩

Hệ
22 2
uv5 uv5
uv5
uv 6
uv13 (uv)2uv13
+= +=
⎧⎧
+

x1 x1
x2
x
35 35
1
yy
y3
22
y
⎧
==
+=
⎧⎧
⎪
⎪⎪⎪
⇔⇔ ∨
⎨⎨⎨
+−
==
⎪⎪⎪
+=
⎩⎩
⎪
⎩

* u = 3, v = 2:
1
x1
x3
35

35 35
1, ; 1,
22
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

35 35
,1 ; ,1
22
⎛⎞⎛⎞
+−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠81
Ví dụ 3:
Tìm các giá trò của a để hệ sau đây có đúng 2 nghiệm.
22
2
xy2(1a)
(x y) 4
⎧
+= +
⎪
⎨

Điều kiện hệ có nghiệm là:
(x y)h2 4xy 0 4 4(1 a) 0 a 0+−≥⇔−−≥⇔≥
x,y⇒ là nghiệm của phương trình :
2
21a0α−α+− = hoặc
2
21a0α+α+− =

Có cùng biệt số: ' 1 (1 a) a∆= − − =
Và có 4 nghiệm khác nhau:
1a,'1aα= ± α =− ± khi a > 0
Nên chỉ đúng 2 nghiệm khi a = 0.
xy1,⇒α=== 'xy 1α===−.
Tóm lại hệ có đúng hai nghiệm: (1, 1); (-1, -1) khi a = 0.
Ví dụ 4:

Giải hệ phương trình :
22
22
1
(x y) 1 5
xy
1
(x y ) 1 49
xy
⎧
⎛⎞
++=
⎪
⎜⎟

⎝⎠
⎝⎠
⎪
⇔
⎨
⎛⎞
⎪
⎛⎞
+++=
⎜⎟
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎝⎠
⎩
Đặt
1
xu
x
1
yv
y
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
+=
⎪

=−
⎧⎧
−−=⇔ ∨
⎨⎨
=
−=
⎩⎩

Với
1
x7
745 745
x
xx
;
22
1
y2
y1 y1
y
⎧
+=
⎧⎧
+−
⎪
⎪⎪=⎪=
⇒
⎨⎨⎨
⎪⎪⎪
+=−

⎪
⎩

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
2.1. Cho hệ phương trình:
222
xy2a1
xya2a3
+= −
⎧
⎪
⎨
+
=+−
⎪
⎩

Đònh a để hệ có nghiệm (x, y) và xy nhỏ nhất.

2.2. Cho hệ phương trình:
(x 1)(y 1) m 4
xy(x y) 3m
+
+=+
⎧
⎨
+=
⎩

1. Đònh m để hệ có nghiệm

7
a
2
=
b. Với giá trò nào của a thì hệ có nghiệm.

83
Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt.

2.1. Đặt
sxy
pxy
=+
⎧
⎨
=
⎩
Hệ
22 2
22
s2a1 s2a1
s2pa2a3 2p3a6a4
s4p s4p
=− =−
⎧⎧
⎪⎪
⇔−=+−⇔ =−+
⎨⎨
⎪⎪
≥≥

Từ Bảng biến thiên
Min
2
f(a) a 2
2
⇒⇔=−

2.2.
1. Hệ
xyxym3
xy(x y) 3m
++ = +
⎧
⇔
⎨
+=
⎩
Đặt S = x + y, P = xy
SPm3
PS 3m
+
=+
⎧
⇔
⎨
=
⎩

s⇒
và p là nghiệm của phương trình:
84
*
S3
Pm
=
⎧
⎨
=
⎩
thì x và y là nghiệm phương trình:
2
t3tm0
−
+=

Phương trình có nghiệm
2
9
94m0 m .
4
⇔
∆=− ≥ ⇔ ≤
Tóm lại hệ có nghiệm
9
m23m23m
4
⇔
≤− ∨≥ ∨≤

⎧
⎨
=
⎩
Điều kiện x > 0, y > 0 là:
2
S0
P0 a2
S40
⎧
>
⎪
>⇔≥
⎨
⎪
−≥
⎩

* Với
S1
Pa
=
⎧
⎨
=
⎩
Điều kiện x > 0, y > 0 là:
2
S0
1

⎨⎨
=
−
+=−
⎪
⎩
⎩
với
Sxy
Pxy
=
+
⎧
⎨
=
⎩

a.
S1
(loại)
5
7
P
SP
7
2
2
a:
5
2

⎪
⎢
⎩
⎨
⎢
⎪
=
⎢
⎩
⎣

x, y là nghiệm phương trình:
2
51
10 2x
22
α
−α+=⇔α=∨=

85
x2 1
x

2
1
y
y2
2
=
⎧⎧

α=

2
2
a a 12a 32
2
+−+
α=

. Chọn
2
aa12a32
S,
2
−−+
=

2
a a 12a 32
P
2
+−+
=

thì hệ sẽ có nghiệm
2
s 4p 0 (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (2)⇔− ≥⇔− −≥+ − −

. Chọn
2

thì (4) thỏa.
Khi
(
]
a2,4∈ thì (a 2)(a 8) 0−−<
22 2
(4) (a2)(a8) (a4)(a4)(a8)⇔− − ≤+ − −
2
13 3 33 13 3 33
4a 13a 8 0 a
88
−+
⇔−−≤⇔ ≤≤

Kết hợp với các điều kiện trên, ta thấy hệ có nghiệm khi
13 3 33
a
8
+
≤ hay a 8≥ .