BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
NGUYỄN TRUNG KIÊN
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
COMPACT TRONG KHÔNG GIAN
TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HỆ CỬ NHÂN SƯ PHẠM
Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG
Năm 2011
Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1 Các không gian cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Ánh xạ liên tục giữa các không gian mêtric . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Ánh xạ liên tục giữa các không gian định chuẩn . . . . . . . . . 10
1.2.4 Phép đồng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5 Toán tử compact - Toán tử hoàn toàn liên tục . . . . . . . . . . 10
2 BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 12
2.1 Một số toán tử tích phân và bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Toán tử tích phân Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Toán tử Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Ứng dụng vào bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 3 trình bày tính chất cắt ngang tôpô và một số ứng dụng trong các bài
toán điểm bất động.
Tác giả đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo, nghiêm khắc và đầy khoa
học của PGS.TS Thái Thuần Quang trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn
thành đề tài. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với
Thầy.
Nhân dịp này tác giả cũng xin chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy, cô trong
và ngoài Khoa Toán, Đại học Quy Nhơn đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học
4
và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp Sư phạm Toán A khóa 30 đã đùm
bọc giúp đỡ nhau trong học tập và sinh hoạt.
Mặc dù luận văn đã được thực hiện với sự nổ lực cố gắng hết sức của bản thân
song do hạn chế về trình độ và sự hiểu biết nên khó tránh khỏi những sai lầm thiếu
sót. Đồng thời, tác giả cũng nhận thức được rằng còn rất nhiều vấn đề mở đặt ra chưa
giải quyết được. Tác giả rất mong nhận được những góp ý, phê bình quý báu của quý
thầy cô và các bạn đọc quan tâm.
Quy Nhơn, tháng 03 năm 2011
Tác giả
Nguyễn Trung Kiên
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Các không gian cơ bản
1.1.1 Không gian mêtric
Định nghĩa 1.1.1.1. [2] Cho X là tập hợp khác rỗng. Một mêtric trên X là một ánh
xạ d từ tập tích X × X vào tập R các số thực, thoả mãn các điều kiện sau:
(i) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X;
(ii) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(iii) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X;
(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z ∈ X.

1
, B
2
, , B
n
bán
kính r trong X sao cho
A ⊂
n

i=1
B
i
.
Chú ý. Khi đó B = {B
1
, B
2
, , B
n
} được gọi là một r-phủ của A.
Định nghĩa 1.1.1.6. [2] Giả sử K là một tập hợp con của không gian mêtric X. Tập
hợp K được gọi là tập hợp compact nếu mỗi dãy trong K đều tồn tại một dãy con
hội tụ đến một điểm nào đó thuộc K. Đặc biệt, nếu K = X và K compact thì ta nói
không gian mêtric X là không gian compact.
Định lý 1.1.1.7. (Banach) [2] Giả sử K là một tập hợp con của không gian mêtric
X. Điều kiện cần và đủ để K compact là K đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.
1.1.2 Không gian tôpô
Định nghĩa 1.1.2.1. [2] Giả sử X là một tập hợp. Một họ τ gồm các tập hợp con
nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:

i
.
Định lý 1.1.2.4. [2] (Tychonoff) Tích của một họ tùy ý các không gian tôpô compact
là không gian tôpô compact.
Định nghĩa 1.1.2.5. (Khối lập phương Hilbert I
∞
) [1]
Ký hiệu
I = [0, 1];
I
n
= {x ∈ R
n
: 0 ≤ x
i
≤ 1, ∀i = 1, n};
I
∞
= {x = (x
1
, x
2
, ) : 0 ≤ x
n
≤ 1, n = 1, 2, }.
I
∞
được gọi là khối lập phương Hilbert, chính là tích đếm được của các khoảng đóng
đơn vị I.
Mệnh đề 1.1.2.6. [1]

2
|| < δ ⇒ |u(x
1
)−u(x
2
)| < ε với mọi x
1
, x
2
∈ Ω và u ∈ K.
Tập K được gọi là compact tương đối nếu K compact.
Định lý 1.1.3.6. [1] (Arzelà-Ascoli) Tập con của C(Ω) là compact tương đối khi
và chỉ khi nó bị chặn và đồng liên tục.
1.1.4 Không gian lồi địa phương
Định nghĩa 1.1.4.1. [3] Cho E là không gian vectơ trên trường K. Hàm thực p : E →
R được gọi là nửa chuẩn nếu
(i) p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E;
9
(ii) p(λx) = |λ|p(x) với mọi λ ∈ K, x ∈ E;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E.
Định nghĩa 1.1.4.2. [1] Không gian tôpô tuyến tính E được gọi là lồi địa phương
nếu mỗi lân cận của 0 trong E đều chứa một lân cận lồi của 0.
Mỗi tôpô lồi địa phương trên không gian vectơ được xác định bởi họ các nửa
chuẩn {p
α
|α ∈ A} thỏa tính chất p
α
= 0, ∀α ∈ A khi và chỉ khi x = 0, V là tập
mở khi và chỉ khi với mỗi v ∈ V tồn tại ε > 0 và hữu hạn α
1

Định nghĩa 1.2.2.1. [2] Giả sử f là một ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không
gian tôpô (Y, σ).
+ Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x của X nếu mỗi dãy (x
α
) trong X hội tụ
đến x thì dãy f(x
α
) hội tụ đến f(x).
+ Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập hợp con A của X nếu nó liên tục tại mọi
10
điểm x thuộc A. Đặc biệt, nếu A = X và f liên tục trên A thì ánh xạ f được gọi là
liên tục trên không gian tôpô X.
1.2.3 Ánh xạ liên tục giữa các không gian định chuẩn
Do không gian định chuẩn cũng là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn nên
khái niệm ánh xạ liên tục giữa các không gian định chuẩn được xây dựng dựa trên
định nghĩa 1.2.1.1.
Định lý 1.2.3.1. (Tietze - Urysohn) [1] Cho X là không gian định chuẩn, A ⊂ X
đóng, f : A → R là hàm liên tục. Khi đó tồn tại mở rộng liên tục f
∗
: X → R của f
lên X.
1.2.4 Phép đồng luân
Định nghĩa 1.2.4.1. [1] Hai ánh xạ liên tục f, g : X → Y giữa hai không gian
tôpô gọi là đồng luân với nhau nếu tồn tại ánh xạ liên tục H : X × [0, 1] → Y thỏa
H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x), ∀x ∈ X.
Ánh xạ H được gọi là phép đồng luân giữa X và Y . Ánh xạ f được gọi là đồng luân
không nếu nó đồng luân với một ánh xạ hằng.
1.2.5 Toán tử compact - Toán tử hoàn toàn liên tục
Định nghĩa 1.2.5.1. [1] Cho X, Y là hai không gian tôpô và F : X → Y là ánh xạ
liên tục.

x∈X
(F (x), F
k
(x)) ≤ ε/2.
Do F
k
(X) hoàn toàn bị chặn nên tồn tại N = {y
1
, y
2
, , y
n
} là ε/2-phủ của F
k
(X). Do
đó với mỗi x ∈ X, ta có
(F (x), y
i
) ≤ (F (x), F
k
(x)) + (F
k
(x), y
i
) ≤ ε, i = 1, . . . , n.
Vậy N là ε-phủ của F (X) hay F (X) hoàn toàn bị chặn. Hơn nữa, F (X) ⊂ Y nên đầy
đủ. Sử dụng định lý 1.1.1.7, ta có F (X) compact hay F ∈ K(X, Y ).
Vậy K(X, Y ) đóng trong không gian đầy đủ (B(X, Y ), d) nên K(X, Y ) đầy đủ. 
Chương 2
BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ

Với M = sup{|K(x, y, u)| : x, y ∈ Ω, u ∈ [−r, r]} < +∞, ta có
||v
n
|| = sup
x∈Ω
|v
n
(x)| ≤ sup
x∈Ω

Ω
|K(x, y, u
n
(y))|dy ≤ Mµ(Ω).
13
Bước 2: chứng minh {v
n
} đồng liên tục
Xét ε > 0 cho trước. Vì
K : Ω × Ω × [−r, r] → R
liên tục đều nên ∃δ > 0 sao cho
[||x
1
− x
2
|| < δ] ⇒ |K(x
1
, y, u) − K(x
2
, y, u)| < ε, ∀y ∈ Ω, u ∈ [−r, r].


Ω
K(x, y)f(y, u(y))dy
trong đó f : Ω × R → R. Ta có sơ đồ giao hoán sau
C(Ω)
F
//
ˆ
f
##
F
F
F
F
F
F
F
F
C(Ω)
C(Ω)
K
OO
Ánh xạ

f : C(Ω) → C(Ω) (gọi là toán tử Niemytzki) xác định bởi
[

fu](y) = f(y, u(y)), y ∈ Ω
và K là toán tử tích phân tuyến tính
[Ku](x) =

R là hàm L
p
-Carathéodory nếu:
(i) y → f(s, y) liên tục hầu khắp nơi đối với s trên [a, b];
(ii) s → f(s, y) đo được với mọi y ∈ R
k
;
(iii) Với mỗi r > 0, tồn tại hàm không âm ϕ
r
∈ L
p
[a, b] sao cho nếu ||y|| ≤ r thì
|f(s, y)| ≤ ϕ
r
(s) với hầu hết s ∈ [a, b].
Bằng cách đặt
[F v](t) =
t

a
f(s, v(s), , v
(k−1)
(s))ds
với mỗi v ∈ C
k−1
[a, b], ta nhận được ánh xạ phi tuyến F : C
k−1
[a, b] → C[a, b] và gọi
là toán tử L
p

||
0
} ≤ r nên theo (iii), tồn tại hàm ϕ
r
∈ L
p
[a, b]
sao cho
|f(s, u
n
(s), , u
(k−1)
n
(s))| ≤ ϕ
r
(s)
đối với hầu hết s ∈ [a, b], và do đó
||v
n
||
0
= ||F u
n
||
0
≤
b

a
ϕ

t


t
ϕ
r
(s)ds ≤ ε, ∀n, ∀|t − t

| < δ.
Vậy {v
n
} đồng liên tục. 
2.1.3 Ứng dụng vào bài toán biên
Cho Ω là miền bị chặn trong R
n
với biên ∂Ω trơn, f : Ω × R → R là ánh xạ H¨older
liên tục với toán tử Laplace ∆ =
n

i=1
∂
2
f/∂x
2
i
. Xét bài toán biên phi tuyến elliptic



−∆u = f(x, u),

tập con của X) vào X. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của F nếu x = F (x).
16
2.2.2 Định lý xấp xỉ và phép chiếu Schauder
Định nghĩa 2.2.2.1. [1] Cho N = {c
1
, c
2
, , c
n
} là tập hữu hạn trong không gian
định chuẩn. Với mỗi ε > 0, đặt
(N, ε) =

{B(c
i
, ε)|i ∈ [n]}.
([n] = {1, . . . , n})
Với mỗi i ∈ [n], đặt µ
i
: (N, ε) → R là ánh xạ x → max[0, ε − ||x − c
i
||]. Phép chiếu
Schauder p
ε
: (N, ε) → convN được cho bởi
p
ε
(x) =
1
n

, , c
n
nên p
ε
[(N, ε)] ⊂ convN.
Mệnh đề 2.2.2.2. [1] Cho c
1
, c
2
, , c
n
thuộc tập lồi C ⊂ E và p
ε
là phép chiếu
Schauder. Khi đó
(a) p
ε
là ánh xạ compact từ (N, ε) vào convN ⊂ C;
(b) ||x − p
ε
(x)|| < ε, ∀x ∈ (N, ε);
(c) Nếu N ⊂ C đối xứng qua tâm 0, chẳng hạn N = {c
1
, , c
k
, −c
1
, , −c
k
} thì







n

i=1
µ
i
(x)
n

i=1
µ
i
(x)
x −
n

i=1
µ
i
(x)c
i
n

i=1
µ







n

i=1
µ
i
(x)[x − c
i
]










≤
n

i=1
µ
i

ε
(−x) =
1

µ
i
(−x)

µ
i
(−x)c
i
=
1

µ
−i
(x)

µ
−i
(x)c
i
= −
1

µ
−i
(x)


2
, , c
n
} ⊂ F(X) sao cho
F (X) ⊂ (N, ε).
Xét F
ε
: X → C xác định bởi x → p
ε
F (x), trong đó p
ε
: (N, ε) → convN là phép chiếu
Schauder, theo mệnh đề 2.2.2.2, ta có F
ε
là ánh xạ cần tìm. Thật vậy,
(a) Với mỗi x ∈ X, ||F
ε
(x) − F (x)|| = ||p
ε
F (x) − F (x)|| < ε;
(b) F
ε
(X) = p
ε
F (X) ⊂ p
ε
(C) ⊂ convN ⊂ C. 
Bổ đề 2.2.2.4. [1] Cho X là không gian mêtric compact, A ⊂ X đóng và E là không
gian định chuẩn. Khi đó mỗi ánh xạ liên tục f : A → E đều có thể mở rộng thành ánh
xạ liên tục F : X → E.

(x) = f
∗
n+1
(x) − f
∗
n
(x), ta có
||g
n
(a)|| ≤ ||f
n+1
(a) − f(a)|| + ||f(a) − f
n
(a)|| ≤
2
n
2
, ∀a ∈ A.
Với mỗi n, đặt U
n
= g
−1
n
B(0, 3/n
2
)∩{x|d(x, A) < 1/n} là tập mở trong X chứa A. Bằng
cách thay thế mỗi tập U
n
bởi U
1

(x) = λ
n
(x)g
n
(x).
Rõ ràng ||h
n
(x)|| ≤ 3/n
2
.
Dễ kiểm tra chuỗi
∞

n=1
h
n
(x) hội tụ với mỗi x. Thật vậy, nếu x /∈ A thì x thuộc hữu
hạn các tập U
n
. Khi đó chuỗi trên là một tổng hữu hạn. Nếu x ∈ A thì tổng riêng thứ
n của chuỗi là f
n+1
(a) − f
1
(a) hội tụ về f(a) − f
1
(a).
Do tính duy nhất của điểm hội tụ trên X và hàm h(x) =
∞


H
H
H
H
H
H
E
Q ⊂ I
∞
h
OO
19
trong đó g là ánh xạ a → h
−1
F
0
(a).
Vì X định chuẩn, g mở rộng được thành ánh xạ G : X → I
∞
và theo bổ đề 2.2.2.4, h
mở rộng được thành ánh xạ H : I
∞
→ E. Ánh xạ H ◦ G : X → E hiển nhiên compact
và là mở rộng của F
0
. 
2.2.3 Các định lý điểm bất động của Brouwer và Borsuk
Cho E là không gian định chuẩn gồm các phần tử là các dãy số thực {x
1
, x

đều có ít nhất
một điểm bất động.
Định lý 2.2.3.2. (Borsuk 1) [1] Cho U là lân cận mở, lồi, đối xứng, bị chặn của 0
trong E
n
, F : U → E
n
là ánh xạ bảo toàn tính xuyên tâm trên ∂U, tức là −F(a) =
F (−a), ∀a ∈ ∂U. Khi đó F có điểm bất động.
2.2.4 Định lý điểm bất động Schauder
Cho A là tập con của không gian mêtric (X, d) và F : A → X. Với mỗi ε > 0, điểm
a ∈ A thỏa d(a, F (a)) < ε được gọi là điểm ε-bất động của F .
Mệnh đề 2.2.4.1. [1] Cho A là tập con đóng của không gian mêtric (X, d) và F :
A → X là ánh xạ compact. Khi đó F có điểm bất động khi và chỉ khi nó có điểm ε-bất
động với mỗi ε > 0.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện đủ. Với mỗi n =
1, 2, , xét a
n
là 1/n-bất động của F. Do F compact nên không mất tính tổng quát, ta
20
có thể giả sử F(a
n
) → x ∈ F(A). Điều này dẫn đến a
n
→ x (do d(a
n
, F (a
n
)) < 1/n, ∀n),
và vì A đóng nên x ∈ A. Do tính liên tục của F ta có F (a

o
) − F (x
o
)|| ≤ ε
nên x
0
là điểm ε-bất động của F .
Do đó, theo mệnh đề 2.2.4.1, F có ít nhất một điểm bất động. 
2.2.5 Mở rộng của định lý Borsuk 1
Định lý 2.2.5.1. (Borsuk 2) [1] Cho U là lân cận mở, lồi, đối xứng và bị chặn của 0
trong không gian định chuẩn E. Khi đó mỗi ánh xạ compact F : U → E bảo toàn tính
xuyên tâm trên biên, tức là −F (a) = F (−a) trên ∂U, có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.2.4.1, cho ε > 0 bất kỳ, ta cần chứng minh F có một
điểm ε-bất động.
Chọn N ⊂ E là tập con hữu hạn đối xứng qua 0 sao cho F (U) ⊂ (N, ε). Theo mệnh
đề 2.2.2.2, xấp xỉ ε hữu hạn chiều p
ε
◦ F của F vẫn bảo toàn tính đối xứng xuyên tâm
trên ∂U.
Xét E
k
là không gian tuyến tính hữu hạn chiều con của E sao cho p
ε
◦ F (U) ⊂
E
k
và F
∗
= p
ε

) − F (x
o
)|| = ||p
ε
F (x
o
) − F (x
o
)|| < ε
nên x
o
là điểm ε-bất động của F. 
Chương 3
TÍNH CHẤT CẮT NGANG TÔPÔ
VÀ ỨNG DỤNG
3.1 Tính chất cắt ngang tôpô và sự tồn tại ánh xạ
cốt yếu
3.1.1 Tính chất cắt ngang tôpô
Cho E là không gian định chuẩn, F : X → E là toán tử compact xác định trên
X ⊂ E và thỏa mãn điều kiện biên trên tập đóng A ⊂ X. Một kỹ thuật để xác định
phương trình x = F(x) có nghiệm hay không là làm biến dạng F, có thể là chỉ xét các
giá trị trên biên F
|A
, đưa về toán tử đơn giản hơn, chẳng hạn là G, ta đi giải bài toán
x = G(x).
Trong hình học, có thể làm biến dạng đồ thị của F thành G và đi đến kết luận. Từ
bản chất của sự biến dạng, nếu đồ thị của G cắt mặt chéo ∆ ⊂ X × E ⊂ E × E thì
đồ thị của F cũng vậy. Định lý tính cắt ngang tôpô cung cấp các điều kiện để kết luận
trên hợp lệ.
Để xây dựng định lý một cách tổng quát, ta làm việc trên tập lồi C ⊂ E. Ký hiệu cặp

A
(X, C). Giả sử một trong hai điều kiện sau thỏa
mãn:
(i) tG(a) + (1 − t)F (a) = a, ∀(a, t) ∈ A × [0, 1];
(ii) sup
a∈A
||F (a) − G(a)|| ≤ inf
a∈A
||a − F (a)||.
Khi đó F  G trong K
A
(X, C).
Chứng minh. Điều kiện (ii) suy ra rằng với mỗi a ∈ A, đoạn [F(a), G(a)] nối F(a) đến
G(a) không chứa điểm a. Đây chính là điều kiện (i). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (i)
suy ra F  G trong K
A
(X, C).
Ta viết
H
t
(x) = tG(x) + (1 − t)F (x), (x, t) ∈ X × [0, 1].
Rõ ràng {H
t
}
0≤t≤1
là đồng luân compact phi bất động trên A và H
o
= F, H
1
= G nên

= A ∩ L và X
L
= X ∩ L. Giả sử
F ∈ K
A
(X, E) là ánh xạ cốt yếu sao cho F (X) ⊂ L. Khi đó F
|X
L
∈ K
A
L
(X
L
, L) cũng
cốt yếu.
Chứng minh. Ta cần chứng minh mở rộng compact F
0
: X
L
→ L của F
|A
L
có điểm bất
động.
Xét G : A ∪ X
L
→ L cho bởi
G(x) =



G
|X
L
= F
0
nên F
0
(x) = x. 
Mệnh đề 3.1.2.3. [1] Cho B
r
= {x ∈ E : ||x − x
0
|| < r} và F ∈ K
∂B
r
(B
r
, E) là ánh
xạ cốt yếu. Khi đó với mỗi 0 < r
0
< r, phép hạn chế F
|B
r
0
là ánh xạ cốt yếu trên
K
∂B
r
0
(B

. Điều này mâu thuẫn với giả thiết F là ánh xạ
cốt yếu trên K
∂B
r
(B
r
, E). Vậy F
|B
r
0
là ánh xạ cốt yếu trên K
∂B
r
0
(B
r
0
, E). 
Bổ đề 3.1.2.4. [1] Cho cặp (X, A) trong tập lồi C ⊂ E. Các điều kiện sau đây là
tương đương đối với F ∈ K
A
(X, C):

Trích đoạn Trường compact

---