_______________________________________________ Chương6 Trạng thái thường
trực AC -

1

___________________________________________________________________________
Ö CHƯƠNG 6
TRẠNG THÁI THƯỜNG TRỰC AC

Ö PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN - DÙNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Ö PHƯƠNG PHÁP DÙNG SỐ PHỨC
Ù Sơ lược về số phức
Ù Dùng số phức để giải mạch
Ö VECTƠ PHA
Ö HỆ THỨC V-I CỦA CÁC PHẦN TỬ R, L, C.
Ö TỔNG TRỞ VÀ TỔNG DẪN PHỨC
Ö PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT GIẢI MẠCH CÓ KÍCH THÍCH HÌNH SIN
Ö MẠCH KÍCH THÍCH BỞI NHIỀU NGUỒN CÓ TẦN SỐ KHÁC NHAU Chương trước đã xét mạch RC và RL với nguồn kích thích trong đa số trường hợp là
tín hiệu DC.
Chương này đặc biệt quan tâm tới trường hợp tín hiệu vào có dạng hình sin, biên độ
không đổi. Đây là trường hợp đặc biệt quan trọng, gặp nhiều trong thực tế: Điện kỹ nghệ,
dòng điện đặc trưng cho âm thanh, hình ảnh. . . đều là những dòng điện hình sin. Hơn nữa,
một tín hi
ệu tuần hoàn không sin cũng có thể được phân tích thành tổng của những hàm sin.
Mặc dù những phương pháp nêu ở chương trước vẫn có thể dùng để giải mạch với
kích thích hình sin, nhưng cũng có những kỹ thuật giúp ta giải bài toán một cách đơn giản
hơn.
Chúng ta giả sử đáp ứng tự nhiên y


_______________________________________________ Chương6 Trạng thái thường
trực AC -

2

___________________________________________________________________________
Đáp ứng ép có dạng:
i(t)=Acosωt+Bsinωt (2)
Lấy đạo hàm (2), thay vào (1), suy ra được A và B
222
LR
RV
A
ω+
=
(3)
222
LR
LV
B
ω+
ω
=
(4)
Vậy i(t)=
222
LR
RV
ω+

V
I
ω+
=
và
R
L
tan
1
ω
−=Φ
−6.2 PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC
6.2.1 Sơ lược về số phức
Một số phức được viết dưới dạng chữ nhật
Z=x+jy (6.1)
x là phần thực của Z, ký hiệu x=Re[Z],
y là phần ảo của Z, ký hiệu y=Im[Z],
j: số ảo đơn vị, xác định bởi j
2
=-1
Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức (biểu diễn hình học)
(H 6.2 ) là các cách biểu diễn khác nhau của một số phức trên mặt phẳng phức:
- Điểm M với tọa độ x và y trên trục thực và trục ảo.
- Vectơ
OM , với suất |Z| và góc θ

ảo ảo

yxZ +=

x
y
tan
1−
=θ

x
y
tan
22
1
eyxZ
−
+=
(6.5)
(6.5) là cách viết số phức dưới dạng cực nhờ các thành phần trong dạng chữ nhật.

6.2.2 Các phép toán với số phức
- Công thức Euler
e
±jθ
=cosθ±j sinθ (6.6)
Với θ=π/2⇒ e
jθ
=e
jπ/2
=j
Từ công thức Euler, ta cũng suy ra được:

1
và Z
2
=x
2
+jy
2
Z= Z
1
± Z
2
= (x
1
±x
2
) + j(y
1
±y
2
) (6.10)
- Phép nhân và chia: Dùng dạng cực:
Cho Z
1
=⏐Z
1
⏐ và Z
1
j
e
θ

(6.12)
 Khi nhân số phức với j =1∠90
o
ta được một số phức có suất không đổi nhưng đối
số tăng 90
o
tương ứng với vectơ biểu diễn quay một góc +90
o
 Khi chia số phức với j=1∠90
o
ta được một số phức có suất không đổi nhưng đối số
giảm 90
o
tương ứng với vectơ biểu diễn quay một góc -90
o6.2.3 Dùng số phức để giải mạch
Ap dụng số phức vào thí dụ 6.1, giả sử nguồn kích thích là:
v
1
(t)=Ve
jωt
(1)
Đáp ứng ép i
1
(t) xác định bởi phương trình:
tj
11
1

_______________________________________________ Chương6 Trạng thái thường
trực AC -

4

___________________________________________________________________________
Hay
)
R
L
tantj(
222
1
1
e
LR
V
(t)
ω
−ω
−
ω+
=i

Phần thực:
[]
)
R
L
tantcos(

⎣
⎡
+

[]
[] [
(t)Re(t)R.Re
dt
(t)dRe
L
11
1
vi
i
=+
]

Thay Re[i
1
(t)]=i(t) và Re[v
1
(t)]= Vcosωt

⇒
tVcos(t)R
dt
(t)d
L ω=+ i
i


1
Φ+ωω=+ v
v

Tìm đáp ứng v
1
đối với kích thích ωIe
j(ωt+Φ)
=ωIe
jΦ
e
jωt
Hàm số mạch
LjR
LRIe
1/L/Rj
Ie
)H(j
jj
ω+
ω
=
+ω
ω
=ω
ΦΦtj
j

1
(t)]=
L/R)tantcos(
LR
LRI
1
222
ω−Φ+ω
ω+
ω
−Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH

_______________________________________________ Chương6 Trạng thái thường
trực AC -

5

___________________________________________________________________________
6.3 VECTƠ PHA
Một hàm sin v(t)=Vcos(ωt+θ) có thể được xác định hoàn toàn khi biết V, ω và θ. Nếu
xem ω là thông số thì chỉ cần V và θ. Như vậy ta chỉ cần thay v(t)=Vcos(ωt+θ) bằng một số
phức có suất là V và đối số là θ
v(t)=Vcos(ωt+θ) → V=Ve
jθ
= V∠θ
Số phức V dùng để thay cho hàm v(t) trong các phương trình mạch điện, gọi là vectơ

VV
(6.14)
Giải lại Thí dụ 6.1 bằng cách dùng vectơ pha
Phương trình mạch điện
tVcos(t)R
dt
(t)d
L ω=+ i
i
(1)
Viết lại phương trình (1) dưới dạng vectơ pha:
VI
I
=+ R
dt
d
L
(2)
Với V= V∠0
o

và I= I ∠θThay
I
I
ω= j
dt
d

Hàm i(t) tương ứng của vectơ pha I là:
L/R)](tan-tcos[
LR
V
(t)
1
222
ωω
ω+
=
−
i
(5)

Giải lại Thí dụ 6.2 bằng vectơ pha:
Viết lại phương trình mạch điện (H 6.3)
∫
Φ+ω==+ )tIsin((t)dt
L
1
R
iv
v
(1)

i(t)=Isin(ωt+Φ)=Icos(ωt+Φ-90
o
) → I = I∠Φ-90
o
Thay v và i bằng các vectơ pha tương ứng:

V

Số phức tương ứng:
o1o
222
90L/R)(tan90
LR
LRI
V +ω−−Φ∠
ω+
ω
=
−
(4)
Và đáp ứng của bài toán:
L/R)](tantcos
LR
LRI
1
222
ω−Φ+ω
ω+
ω
=
−
[)t(v
(5)

Thí dụ 6.3
Cho mạch (H 6.4) với v(t)=Vcos(ωt+θ), xác định dòng i(t)

++
= (2)
Thay s=jω ta được hàm số mạch ở trạng thái thường trực
C)1/Lj(R
1
)H(j
ω−ω+
=ω
(3)
Đổi sang dạng cực
R
C1/-L
tan
C)1/- LR
1
H
1
22
ω
ω
−∠
ωω+
=ω
−
(
)j(
(4)
Vectơ pha dòng điện I xác định bởi

I =H(jω). V (5)

R
C1/-L
tantcos[
C)1/- LR
V
1
22
ω
ω
−θ+ω
ωω+
=
−
i
(9)

6.4 HỆ THỨC V-I CỦA CÁC PHẦN TỬ R, L, C

Xét phần tử lưỡng cực, có hiệu thế hai đầu là v(t) và dòng điện qua nó là i(t)
* v(t)=Vcos(ωt+θ) là phần thực của Ve
(jωt+θ)
, vectơ pha tương ứng V =V∠θ
* i(t)=Icos(ωt+Φ) là phần thực của Ie
(jωt+Φ)
, vectơ pha tương ứng I =I∠Φ
Dùng vectơ pha các hệ thức V-I của các phần tử xác định như sau:

Ö Điện trở
Hệ thức v(t)=Ri(t) ⇒ V =R I
R là số thực nên V và I cùng pha θ=Φ

trực AC -

8

___________________________________________________________________________
6.5 TỔNG TRỞ VÀ TỔNG DẪN PHỨC
6.5.1 Tổng trở và tổng dẫn phức
Đối với mỗi phần tử thụ động trong mạch với nguồn kích thích hình sin, tỉ số V / I là
một hằng số. Vậy ta có thể định nghĩa tổng trở phức của một phần tử là
I
V
Z
=
trong đó V =V∠θ và I =I∠Φ
Z=⏐Z⏐∠θ
Z
=
I
V
∠θ-Φ
Điện trở Z
R
=R
Cuộn dây Z
L
= jωL=ωL∠90
o
,
Tụ


22
X
R
R
G
+
=
22
X
R
X
B
+
−=

22
BG
G
R
+
=

22
BG
B
X
+
−=

Viết dưới dạng cực


0
K
K
=
∑
I
0
K
K
=
∑
V

Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH

_______________________________________________ Chương6 Trạng thái thường
trực AC -

9

___________________________________________________________________________
Từ các kết quả có được ta có thể thay một mạch với nguồn kích thích hình sin bằng
một mạch với nguồn được viết dưới dạng vectơ pha cùng các thành phần là các tổng trở
phức tương ứng của chúng. Ta được mạch tương đương trong lãnh vực tần số.
6.5.3 Tổng trở nối tiếp và tổng trở song song (H 6.9) (H 6.10)

2
I, V
3
= Z
3
I
V = V
1
+ V
2
+ V
3
= (Z
1
+ Z
2
+ Z
3
) I
Suy ra tổng trở tương đương
I
V
Z
=
= Z
1
+ Z
2
+ Z
3

V
I
Y
=
= Y
1
+ Y
2
+ Y
3
Hay
3
21
1111
ZZZZ
++=Thí dụ 6.4
Giải lại mạch ở thí dụ 6.3 bằng cách dùng khái niệm tổng trở phức
Vectơ pha biểu diễn nguồn hiệu thế:
V=V∠θ (1)
Tổng trở mạch RLC mắc nối tiếp:
Z= R +jωL+1/jωC= R +j(ωL-1/ωC) (2)
Z=⎪Z⎪∠θ
Z
(3)
22
C)1/- LRZ ωω+= (
(4)

Z
V
I
ωω+
== (7)
Φ=θ-θ
Z
=
R
C1/-L
tan
1
ω
ω
−θ
−
(8)
Kết quả đáp ứng của mạch là:

i(t)=
22
C)1/- L(R
V
ωω+
cos(ωt+
R
C1/-L
tan
1
ω

Mạch tương đương trong lãnh vực tần số (H 6.12b)
Dùng qui tắc xác định tổng trở nối tiếp và song song
ω−ω+
ω−ω+
+=
j2/j21
)j2/)(j2(1
2Z)1
2
−ω+ω
−ω
+=
j2(
j24
2
(1)
Nhân số hạng thứ 2 của (1) với lượng liên hiệp của mẫu số
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH

_______________________________________________ Chương6 Trạng thái thường
trực AC -___________________________________________________________________________
LÝ THUYẾT
11

* ω <
2
3
, X >0 Mạch có tính điện cảm
* ω>
2
3
, X<0, Mạch có tính điện dung
* ω=
2
3
, X=0, Mạch là điện trở thuần Z = R = 6Ω

6.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MẠCH VỚI TÍN HIỆU VÀO
HÌNH SIN

Bằng cách dùng số phức hoặc vectơ pha thay cho các lượng hình sin, chúng ta đã thay
các phương trình vi tích phân bởi các phương trình đại số. Điều này cho phép ta giải các mạch
hình sin giống như các mạch chỉ gồm điện trở với nguồn DC.
Nói cách khác , các kết quả mà ta đã đạt được ở chương 2 và 3 có thể áp dụng vào
mạch hình sin sau khi thay các mạch này bởi mạch tương đương của chúng trong lãnh vực tần
số.
Như vậ
y, phương pháp tổng quát để giải mạch hình sin có thể tóm tắt như sau:
* Chuyển mạch ở lãnh vực thời gian sang mạch ở lãnh vực tần số.
* Dùng các Định luật Ohm, Kirchoff, các Định lý mạch điện ( Thevenin, Norton, ) và các
phương trình nút, vòng để viết phương trình ở lãnh vực tần số.
* Giải các phương trình, ta được đáp ứng ở lãnh vực tần số.
* Chuyển kết quả sang lãnh vực thời gian.


0,201,4081,414
j2)1j)(1
j2)j)(1(1
2
−=°−∠=
++−
+−
=
(
Z
Z=j+(1,40-j0,20)=1,40+j0,80= °
∠
29,71,61
°−∠=
°∠
°∠
== 9,76,21
29,71,61
2010
i
1
Z
V
I
)9,7)(6,218(1,14.
12a
°
−
∠°−
∠

+
−
+
°
∠
−
VVV

Suy ra
°−∠
=
17,78,75
a
V

Và
°−∠=
+
= 81,31,96)
j21
0,5
(
ao
VVÖ Phương pháp 3: Dùng phương trình vòng (H 6.15)

Phương trình vòng cho hai mắt lưới:


Ö Phương pháp 4: Dùng Định lý Thevenin
Thay phần mạch bên trái ab bằng mạch tương đương Thevenin
V
oc
được tính từ cầu phân thế:
°−∠=
+−
−
°∠= 2514,14
jj1
j1
2010
oc
V

Tổng trở tương đương của mạch nhìn từ ab khi nối tắt nguồn V
i
:
j1
jj1
j)j(1
th
+=
+−
−
=
Z

Mạch tương đương Thevenin (H 6.16)
(H 6.16)

MẠCH

_______________________________________________ Chương6 Trạng thái thường
trực AC -

13

___________________________________________________________________________
6.7 MẠCH KÍCH THÍCH BỞI NHIỀU NGUỒN CÓ TẦN
SỐ KHÁC NHAU
Tìm tín hiệu ra v
o
(t) của mạch (H 6.17a). Cho v
i
(t)=3+10cost+3cos(3t+30
o
) (a) (H 6.17) (b)

Xem nguồn kích thích gồm 3 thành phần, áp dụng định lý chồng chất để xác định đáp
ứng thường trực đối với mỗi thành phần của kích thích.
Kết quả cuối cùng sẽ là tổng hợp tất cả các đáp ứng.

Ö Đối với thành phần DC: v
i1
(t)=3 V.
Xem mạch đạt trạng thái thường trực (tụ hở và cuộn dây nối tắt),
⇒ v

ω+ω
=
ω+ω++
=
2
1
))(
1

* Với v
i2
(t)=10cost ⇒V
i2
=10∠0°
°−∠=
+
°∠
= 36,91
j68
010
a2
V

⇒ v
o2
(t)=cos(t-36,9
o
) V

* v

o2
(t)+v
o3
(t)=1/3+ cos(t-36,9
o
)+(1/6)cos(3t - 60
o
) V

Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH

_______________________________________________ Chương6 Trạng thái thường
trực AC -

14

___________________________________________________________________________

1
ở trạng thái thường trực
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT
MẠCH

_______________________________________________ Chương6 Trạng thái thường
trực AC -

15

___________________________________________________________________________

(H P6.4) (H P 6.5)

6.5 Mạch (H P6.5). Xác định v ở trạng thái thường trực. Cho v
g
=10cos10.000t (V)
6.6 Mạch (H P6.6). Xác định đáp ứng đầy đủ của i nếu i(0)=2A và v(0)=6V. (H P6.6) (H P6.7)

6.7 Mạch (H P6.7). Xác định v ở trạng thái thường trực. Cho v
g
=20cos2t (V)

6.8 Mạch (H P6.8). Xác định i ở trạng thái thường trực.