S GD-T BÌNH PHC
KÌ THI TUYN SINH VÀO TRNG THPT CHUYÊN
QUANG TRUNG NM HC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN ( CHUYÊN)
Thi gian: 150 phút (không k thi gian giao )Bài 1 (2,5 im)
a) Gii phng trình:
2
2 2
4 8
4
+ − = −
x
x x
b) Cho x, y là hai s nguyên dng tha mãn h phng trình
2 2
71
880
+ + =
+ #t giá tr nh nh't và tính giá tr nh nh't này.
Bài 3 (1,5 im)
a) Tìm các s nguyên không âm x, y tha mãn ng th c
= + +
.
b) Cho > ≥ . Ch ng minh r!ng
+ ≥
− +
. D'u “=” xy ra khi nào?
Bài 4 (2,0 im)
Cho n(a ng tròn ng kính AB = 2a. Trên o#n AB l'y im M. Trong n(a m)t phng
b AB ch a n(a ng tròn ta k* hai tia Mx, My sao cho
= =
. Tia Mx c"t n(a
ng tròn t#i im E, tia My c"t n(a ng tròn t#i im F. K* EE’ và FF’ vuông góc vi AB
l&n lt t#i E’ và F’.
a) Cho
CHÍNH TH.C
S GIÁO DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC
TR
NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
HNG DN GII THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
MÔN TOÁN CHUYÊN NM HC 2009-2010
Bài 1 (2,5 im)
a) Gii phng trình:
2
2 2
4 8
4
+ − = −
x
x x
Gii
+) K:
≥
− ≥ ⇔
=
+ +
⇔ = − ⇔ = − ⇔ + − = ⇔
= −
+) Vi
=
ta có:
− = ⇔ = ⇔ = ±
+) KL: Tp nghim ca phng trình là:
= +
− ≥
=
. H phng trình tr thành
71
. 880
+ =
=
S P
S P
.
Gii h phng trình hai n S, P này ta có:
=
− + = ⇔
=
. Vy h
phng trình ã cho có hai nghim là
=
=
và
=
Gii
+) Gi x là vn tc ca gió, iu kin < < .
+) Ta có vn tc ca máy bay khi bay t A n B là: 280 – x
thi gian ca máy bay bay t A n
B là
−
.
+) Ta có vn tc ca máy bay khi bay t B n A là: 280 + x
thi gian ca máy bay bay t B n
A là
+
.
+) Theo gi thit ta có phng trình:
− = − − ⇔ + − − =
, (*).
+) Ta thy phng trình bc hai (*) có
∆ = + + = + + > ∀ ∈ . Do ó (*) luôn có
hai nghim phân bit
(d) luôn ct (P) ti hai im phân bit A và B vi mi m.
+) Áp dng nh lí Viét ta có:
+ = −
= − −
.
Do ó
+ ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔ + ≥
, luôn úng vì ≥ .
+ + ≤ + + = +
, (2). ng thc xy ra ⇔ = .
+) T (1) và (2) ta có:
< = + + ≤ +
. Vì
+ là hai s chính phng nên ta có
= + + = + =
và x = 1.
+) KL: Vy
=
=
là cp s không âm tho mãn bài toán.
b) Cho > ≥ . Ch#ng minh r$ng
+
+ +
− + + + ≥ −
− + − +
⇔ + ≥ ⇔ + ≥
− + − +
, (pcm).
+) ng thc xy ra
=
+
− = = ⇔
− + ≥ − ⇔ − + ≥
− + − + − + +
+) chng minh BT ã cho ta s i chng minh
≥ −
+
, (*)
Ta có (*)
( )( )
⇔ ≥ − + ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
, (luôn úng)
BT ã cho là úng.
+) ng thc xy ra
+) Theo BT Cô Si ta có:
+ + +
+ + + ≥ ⇔ ≤ ∀ ≥
, (**).
+) Áp dng (**) ta có:
( )
( )
− + + + + + −
− + − ≤ =
Vy (*) úng
⇔ ≥ + − − ⇔ ≥ + − − ⇔ ≥ + − −
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
⇔ ≥ + − − ⇔ ≥ − ⇔ + ≥
+ − + −
+) ng thc xy ra
=
⇔ − = + = − ⇔
=
= = =
+) Xét
∆
ta có:
= − = − =
CF = 2HF =
.
+) Mt khác ta có:
= =
= = =
(vdt).
b) Ch#ng minh r$ng ng th"ng EF luôn tip xúc vi mt ng tròn c nh.
+) Ta có
( )
( )
= − + = − + =
+) Ta có
( )
= +
mà
=
= =
.
D
F'
M
I
O
E'
F
E
B
A
Bài 5 (1 im)
Cho ng tròn (C). V/ hai dây cung AB, EF c%t nhau t&i i'm I, vi I n$m trong ng tròn.
G)i M là trung i'm c!a BF, MI kéo dài c%t AE t&i i'm N. Ch#ng minh r$ng
=
.
(Thí sinh c s, d0ng công th#c
=
).
Gii
+) Ta có hai tam giác IMB và IMF có din tích b&ng
= =
, (**).
t (*) và (**) ta có
=
, (1)
+) Ta có
∆ ∆ −
=
, (2).
Thay (2) vào (1) ta có
Copyright: Tài liệu đại học ©