Chương 1
Biểu đồ nội lực
1.1. Tóm tắt lý thuyết 1a. Chuyên đề 1a: BIỂU ĐỒ NỘI LỰC - Phương pháp “mặt cắt biến thiên”
Các bước thực hiện:
1. Giải phóng liên kết và xác định các phản lực liên kết (nếu cần thiết)
2. Chia đoạn thanh sao cho biểu thức xác định các thành phần ứng lực
trên mỗi đoạn là liên tục và duy nhất (ranh giới các đoạn có thể là: mặt cắt
ngang có lực tập trung, mô men tập trung, có sự thay đổi đột ngột của cường
độ lực phân bố,…)
3. Dùng phương pháp mặt cắt để lập biểu thức xác định các thành phần
ứng lực trên từng đoạn.
4. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực căn cứ vào các biểu thức thu được
ở bước 3
• Biểu đồ lực dọc và lực cắt vẽ về phía nào cũng được, miễn là mang
dấu của chúng
• Biểu đồ mô men vẽ về phía thớ căng (chiều dương của mô men hướng
xuống)
5. Kiểm tra lại biểu đồ từ các nhận xét mang tính trực quan, tính kinh
nghiệm (thu được từ các ví dụ cụ thể)
NHẬN XÉT:
 Tại mặt cắt có lực tập trung thì biểu đồ lực cắt có bước nhảy, độ lớn bước
nhảy bằng giá trị lực tập trung. Xét từ trái qua phải chiều bước nhảy cùng
chiều lực tập trung.
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng


0
513 3( )
363
A
M
Fqa
Vk
a
=+ − =+−=
N

A0
5
.3 .2 0
2
C
a
MVaMFaaqa=−− −=
∑

=>
0
25
510318( )
363
C
M
Fqa
Vk
a


22
61
C
Qqz V z=−=−8
22
222
1
18 3
2
C 2
M
Vz qz z z=− =−

3. Vẽ biểu đồ:
Dựa vào các biểu thức Q, M thu được ở trên, tiến hành vẽ đồ thị trên từng đoạn
(biểu đồ N không thể hiện vì N=0
∀
z)
Chú ý: nếu có mặt cắt ngang với Q=0 thì phải tính giá trị M cực trị tại mặt cắt
ngang này và thể hiện trên biểu đồ)
4. Kiểm tra lại biểu đồ theo các nhận xét đã trình bày phần đầu
Chú ý: Thể hiện sơ đồ tải trọng, biểu đồ lực cắt và biểu đô mô men trên cùng
hàng dọc như hình vẽ 1.2 để dễ theo dõi và kiểm tra
V
B
V
C
A
A

a
M
F
o
q

Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

3
Hình 1.2. Biểu đồ nội lực
1b. Chuyên đề 1b: BIỂU ĐỒ NỘI LỰC – Phương pháp vẽ theo từng điểm
Dựa vào mối liên hệ vi phân
()
2
2
dM dQ
qz
dz dz
== , khi biết biến thiên của tải trọng
phân bố có thể nhận xét dạng biểu đồ Q và M, từ đó xác định số điểm cần thiết phải
tính giá trị các thành phần ứng lực (các điểm đặc biệt). Giả sử trên đoạn thanh AB:
 q(z)=0 => Biểu đồ Q=const => Cần xác định Q
A
, hoặc Q
B

=> Biểu đồ M bậc 1 => Cần xác định M
A
, M
B

aa
a
a
K
V
V
A
H
A
B
C
D
K

Bài giải:
1. Xác định các phản lực:
Từ điều kiện cân bằng của khung ta có:
0X =
∑
= >
A
Hq= a
0
A
M =
∑
=>
222
0
11

A
1
4
Vq=
a

2. Nhận xét dạng biểu đồ các thành phần ứng lực trên từng đoạn:
+ Biểu đồ lực dọc:
Bằng phương pháp mặt cắt dễ dàng xác định
1
4
AB BC A
NN V q==−=−a

0
DK CD
NN== (trên hai đoạn DK,CD không có tải trọng theo phương dọc trục)
+ Biểu đồ lực cắt, mô men:
Trên đoạn AB: q=const
Ö Biểu đồ Q bậc nhất => Cần xác định: Q
A
= H
A
= qa (theo nhận xét về
bước nhảy của biểu đồ Q tại A); Q
B
= Q
A
+S
q

Mq==a
;
22
0
CBQ
M
MSqa qa=+=+=

Trên đoạn DK: q=0
Ö Biểu đồ Q=const => Cần xác định Q
K
=-V
K
(theo nhận xét về bước
nhảy của biểu đồ Q tại K)
Ö Biểu đồ M bậc nhất => Cần xác định 0
K
M
=
(khớp K không có mô
men tập trung);
2
77
0
44
DKQ
M
MS qaa qa
⎛⎞
=−=−− =

M
M S qa qa a qa
⎛⎞
=−= − =
⎜⎟
⎝⎠

3. Vẽ biểu đồ N, Q, M trên từng đoạn (xem hình 1.2)
4. Xét cân bằng các mắt khung
Tại mắt C, biểu diễn các ngoại lực, các thành phần ứng lực trên hai mặt cắt ngay
sát C thuộc đoạn BC và CD theo chiều thực (căn cứ vào các biểu đồ)
Kiểm tra điều kiện cân bằng: Tại mắt khung tổng nội lực và ngoại lực bằng
không.
0X =
∑
; ;
0Y =
∑
0
C
M
=
∑

kN
_
_
qa
4
1

2
qa
kNm
M
1
2

C
2
qa
qa
2
3
2
qa
4
1
1
4
qa
qa
2
1
2Hình 1.2. Biểu đồ nội lực của khung

Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng


C
D
B
E
A
2R
2R
1
1
2
2
4
4
3
3

Bài giải:
1. Tính phản lực tại các gối A và E
Ta có : =>
0X =
∑
1
15
A
HP kN==
()
12
12
10 5
.4 0 1,875

ϕ
ϕϕ
=− + − +
ϕ
1
;

11 1
.sin . os 1,875sin 15 os
AA
QV Hc c
ϕ
ϕϕ
=− − =− −
ϕ
;

V
A
H
A
ϕ
1
ϕ
1
ϕ
1
Q
N
M

π

N [kN] -1,88 5,88 9,28 12,05 15
Q[kN] -15 -13,98 -11,93 -9,12 -1,88
M[kNm] 0 -15,50 -22.31 -27,86 -33,75
b. Xét đoạn BC:
2
0
2
π
ϕ
≤≤

H
A
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

8
Ta có:

22 22
.sin . os 1,875.sin 15. os
AA
NV Hc c
ϕ
ϕϕ
=+ = +
2
ϕ


2

()
21 2 2 2
1 sin os 3, 75 3, 75sin 30 os 5
AA
MVR MHRc c
ϕϕ ϕϕ
=− + + − =− − − +

()
0
2
ax
7,13
29( )
m
M
Mk
ϕ
=
==Nm
Bảng biến thiên:
2
ϕ
[rad]
0
6
π


3

E313 3
.sin . os 1,875.sin 15. osQV Pc c
ϕ
ϕϕ
=− − =− −
ϕ
3

31
33
(1 os ) sin
= 3,75. os 30.sin 3,75
E
MVR c RP
c
ϕϕ
ϕϕ
=− − −
−−−

V
E
E
N
M
Q
3
3

4
0
2
π
ϕ
≤≤

Ta có:
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

9
41 4 4
.sin . os 1.875.sin 15. os
E
NV Pc c
4
ϕ
ϕϕ
=+= +
ϕ
4

41 4 4
. os .sin 1,875. os 15. os
E
QVc P c c
ϕ
ϕϕϕ
=− + =− +
4

Mk
ϕ
=
==Nm
E
V

E
2
M
D
1
P
M
M
M
2
2
ϕ
4
ϕ
4
ϕ
4

Bảng biến thiên:
4
ϕ
[rad]
0

BIỂU ĐỒ NỘI LỰC kN
15
N
15
1,88
5,88
9,28
12,05
9,12
11,93
13,93
1,88
5,88
9,28
12,05 13,93

1,88
o
7,13
7,13
o
kNm
2,5
10
M
15,50
22,31
27,86
33,75
28,75 Mmax=29
26,61
22,61
17,00
12,00
17,61
21,61
Mmax=24
23,75
33,75
27,86
22,31
15,50
7,13
o
7,13
o

0
=2kNm; a=1m.
aa
q
a
0
M
F

Bài 1.4: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm chịu tải trọng như hình vẽ
Biết q=30kN/m; F=36kN; M
0
=48kNm; a=2m.

q
M
00
a a a
2a
M
F

Bài 1.5: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của thanh cong chịu tải trọng như
hình vẽ. Biết F=5kN; R=4m.
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

11
F
F
F Bài 1.9: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình sau:

Bài 1.10: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình sau:

a, b,
Bài 1.11: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình sau:
q=2kN/m
A

a
q
B a, Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

14

b,

Bài 1.12: Không cần tính phản lực, vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn của dầm

Bài 1.13: Không cần tính phản lực, vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn của dầm


=2kN/m
B
A
B
3a
q
M=qa
2
a
A
B
a
M M
3a
q
a a
P=qa
A
B
a
m
A2.
sin
z
q
a
π

b,

Bài 1.17: Vẽ biểu đồ nội lực của các dầm tĩnh định nhiều nhịp như hình sau: a,
3a a
2q
q
A
B
a
A
L
q
parabol bËc 2
L
parabol bËc 2
q
P=2qa
a 1.5a a
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

16b,
AB
qa
2
1,5qa
2
parabol bËc 2
-
+

Bài 1.19: Đã biết biểu đồ lực cắt Q và một phần biểu đồ mômen uốn M của dầm
cho trên hình vẽ. Hãy vẽ đầy đủ toàn bộ biểu đồ M và sơ đồ tải trọng tác dụng
lên dầm.