Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
175
PHNG PHÁP TP MC KHÔNG LI: C S TOÁN HC VÀ KH
NNG NG DNG TRONG NGÀNH K THUT DU KHÍ
MESHLESS LEVEL SET METHOD: MATHEMATICAL
FUNDAMENTALS AND POTENTIAL APPLICATIONS IN
PETROLEUM ENGINEERING Mai Cao Lân*, Trn Công Thành**

* Khoa K thut a cht & Du khí, i hc Bách khoa Tp. H Chí Minh, Vit Nam
** University of Southern Queensland, Australia TÓM TT

 tin cy và tính thit thc ca vic mô phng mt quá trình vt lý không nhng ph thuc vào
mô hình toán hc mô t quá trình, thng  dng nhng phng trình vi phân, mà còn ph thuc vào
đ chính xác và tính hiu qu ca phng pháp s dùng đ gii các phng trình vi phân đó. Bài báo
này trình bày c s lý thuy
t mt phng pháp s mi mang tên phng pháp Tp mc Không li
(Meshless Level set method) trong đó nhng tính nng u vit ca 2 nhóm phng pháp không li
(meshless) và tp mc (level set) đc tích hp đ gii các bài toán biên di đng. Mt s bài toán mu
gii bng phng pháp này đc trình bày trong bài báo đ minh ha cho đ chính xác và tính hiu
qu ca nó cng nh kh nng ng dng ca phng pháp trong ngành k thut du khí.

ABSTRACT

The reliability and usefulness of the numerical simulations of a physical process depend not only
on the mathematical model representing the process, normally in forms of differential equations, but

xem [Quarteroni and Valli (1994), Quarteroni et
al. (2000)] đ bit thêm chi tit v các phng
pháp này.
Nu nh các phng pháp FDM, FEM,
FVM, v.v… ri rc hóa phng trình vi phân
trên c s chia nh min tính toán thành mt
li (mesh) gm nhng phn t ràng buc ln
nhau trên lói theo nhng nguyên tc xác đnh
(ta gi chung các phng pháp này là nhóm
phng pháp da vào li) thì đi vi các
phng pháp Không li, min tính toán đc
chia thành mt tp hu hn các đim ri rc, có
th b trí tùy ý (unstructured) và không có bt
k mi ràng buc nào v v trí tng đi gia
chúng trong quá trình tính toán. Kt qu là các
phng pháp không li rt thích hp cho các
bài toán có bin dng l
n (nh trong c hc rn
nt) hoc các bài toán có biên di đng (nh d
đoán quá trình đin khuôn đúc hoc mô phng
mt tin du-nc/khí-du trong quá trình bm
ép/thu hi tng cng du) trong khi đi vi các
phng pháp da vào li, vic gii các bài toán
này s rt phc tp (đôi khi làm gim đ chính
xác ca li gii) do phi thng xuyên điu
ch
nh li b bin dng trm trng. Có nhiu
phng pháp không li [Kansa (1990a,b),
Aluri (2002)], trong đó có phng pháp Indirect
Radial Basis Function Networks (IRBFN) [Mai-

3

}0),(|{)(
2
=ℜ∈=Γ txxt
φ
(1)
Hàm φ(x,t) có th chn tùy ý vi điu kin
phi là hàm trn. Trong [Sethian (1999), Osher
and Fedkiw (2003)] , φ(x,t) đc chn là hàm
khong cách sao cho
−
+
Ω∈
Γ∈
Ω∈
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
=
x
x
x
txd
txd
tx

t
(3)
 mt thi đim bt k, thông tin v biên di
đng (v trí, hình dáng, đ cong, v.v…) có th
đc tái to t hàm tp mc φ(x,t) bng cách
xác đnh tp hp các đon trên (t) sao cho
φ(x,t) trit tiêu.
Do phng trình (3) đc gii bng phng
pháp s nên ch sau mt bc thi gian φ(x,t) s
không còn là hàm khong cách. Vì vy vic tái
thit lp hàm tp mc tha điu kin (2) là mt
bc cn thit và đc thc hin bng cách tìm
li gii dng (steady) cho bài toán sau [Sussman
et al. (1994)]
)()0,(
|)|1)((
xtx
S
t
φφ
φφ
φ
ε
==
∇−=
∂
∂
(4a)
 đó S
ε

ii
==≈
∑
=
(5)
Trong đó g(x)=[g
1
(x),g
2
(x),…,g
N
(x)]
T
là tp
các hàm c s cho trc; w(t)=[w
1
(t),…,w
N
(t)]
T

là tp N trng s cn tìm. Vi mt tp hp M
đim trong min tính toán và giá tr hàm tng
ng ti các đim đó ti thi đim t, U(t)=[U
1
(t),
U
2
(t),…,U
M

ˆ
1
, ,
tUGxgtxu
T
ljlj
−
= ) (7b)
Nu nh trong phng pháp Kansa (1990a),
hàm c s g(x) trong phng trình (5) đc
chn là hàm multiquadrics (MQ) thì trong
IRBFN, g(x) là đo hàm bc k ca hàm
multiquadrics hoc thin plate splines (TPS). a
s các bài toán trong lnh vc C hc Cht lng
Tính toán (Computational Fluid Dynamics -
CFD) đc gii vi k=2. Chi tit v c s lý
thuyt ca phng pháp IRBFN cng nh ng
dng ca nó đ gii các toán ph thuc thi gian
đ
ã đc trình bày trong [Mai-Cao and Tran-
Cong (2005)].
3. PHNG PHÁP TP-MC KHÔNG-
LI VÀ CÁC BÀI TOÁN MINH HA
Quy trình gii mt bài toán biên di chuyn b
đng di tác dng ca trng vn tc không
đi bng phng pháp Tp mc không li bao
gm các bc sau:
Bc 1: Xây dng hàm tp mc ban đu là
hàm khong cách tha phng trình (2);
Bc 2: Thc hin dch chuyn hàm tp mc

thay đi v din tích ca hình tròn trong sut
quá trình mô phng không vt quá 2% vi mt
đ đim trong min tính toán là 32 x 32.Hình 1: Bài toán bt xoay tròn
Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
179

Hình 2: Bài toán bt xoay tròn (tip theo)

3.2. Bài toán 4 bt di đng trong dòng chy
xoáy
Các bt ban đu đc b trí ngu nhiên nh
 hình 2 trong mt trng vn tc xoáy gii hn
trong min [-1,1] x [-1,1]. Các hình bên trái ca
hình 2 th hin biên di đng là đng đng mc
zero (màu xanh dng, trong cùng)  các thi
đim ban đu và t=4.1333. Bên phi là hàm tp
mc  các thi đim tng ng trên đó biên
dng ca 4 bt di đng đc gn vào. Nh
vy
thay vì theo dõi s chuyn đng và bin dng
ca bn thân 4 bt di đng, ta quan sát hàm tp
mc di chuyn theo quy lut (3) và trích đng
đng mc zero ca nó đ có biên dng ca các
bt  thi đim cn quan tâm. Vi phng pháp
Tp mc Không li, s kt dính và tách ri
gia các bt đc mô phng hoàn toàn theo quy
trình 4-bc tng quát mô t  trên mà không

1.
Atluri, S.N. and Shen, S. The Meshless
Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method,
Tech Science Press, Encino, USA (2002).
2. Chung, T.J. Computational Fluid Dynamics,
Cambridge University Press, UK (2002).
3. Kansa, E.J. Multiquadrics - A Scattered
Data Approximation Scheme with
Applications to Computational Fluid-
Dynamics I. Surface Approximations and
Partial Derivative Estimates, Computers and
Mathematics with Applications 19 (1990a),
pp. 27-145.
4. Kansa, E.JMultiquadrics - A Scattered Data
Approximation Scheme with Applications to
Computational Fluid-Dynamics II.
Solutions to Parabolic, Hyperbolic and
Elliptic Partial Differential Equations,
Computers and Mathematics with
Applications 19 (1990b), pp. 147-161
Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
181
5. Mai-Cao, L. and Tran-Cong, T. Solving
Time-Dependent PDEs with a Meshless
IRBFN-based Method. In: Alves, C.J.S. and
Chen, C.S. and Leitao, V. (eds):
International Workshop on MeshFree
Methods, July 21-23, Lisbon, Portugal
(2003)
6. Mai-Cao, L. and Tran-Cong, T. Element-

12. Quarteroni, A. and Valli, A.: Numerical
Approximation of Partial Differential
Equations, Springer-Verlag, New York
Quarteroni, A. and Sacco, R. and Saleri, F.:
Numerical Mathematics, Vol. 37 of Texts in
Applied Mathematics, Springer-Verlag,
New York (2000).
13. Sethian, J.A. Level Set Methods and Fast
Marching Methods: Evolving Interfaces in
Computational Geometry, Fluid Mechanics,
Computer Vision, and Materials Science,
Cambridge University Press, New York
(1999).
14. Sussman, M. and Smereka, P. and Osher,
S.J. A Level Set Approach for Computing
Solutions to Incompressible Two-Phase
Flow, Journal of Computational Physics 114
(1994), pp.146-159.
15. Tannehill, J.C. and Anderson, D.A. and
Pletcher, R.H. Computational Fluid
Mechanics and Heat Transfer, Taylor &
Francis,USA (1997).