Download miễn phí Tuyển tập Đại số tổ hợp



42. (ĐH Nông nghiệpI HN khối A 2001)
Đánh số vịtrí đứngtừ 1 đến 9.
Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi
học sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vị
trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).
Có 5 cặp 3 vịtrí của 3 học sinh nữ.
Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vị trí là 3!. Cách xếp 6 bạn nam
vào 6 vịtrí còn lại là 6!.
Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách.


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-02-25-tuyen_tap_dai_so_to_hop.E91k4TOAro.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-61244/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!.
Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.
Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.
34. (HV Chính trị quốc gia 2001)
1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi
nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong
đó có 3 nữ và 2 nam Þ số cách chia là: 3 26 4C .C = 120
2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: 56C = 6
* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là:
4 16 4C .C = 60
Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:
6 + 60 = 66.
35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Giả sử số cần tìm có dạng: A = 1 2 3 4 5 6a a a a a a .
+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1,
2, 3, 5, 6, 7. Vậy có 57A = 2520 số.
+ Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1. Vì số 4 phải có
đúng một trong 5 vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6. Khi đó các vị trí
khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn 46A số khác nhau. Vậy trường
hợp này có 6.5. 46A = 10800 số.
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
· Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
· Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:
+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a Ỵ
{1,2,3,..,9} Þ có 9 số
+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:
* a111 với a Ỵ {2,3,4, …,9} Þ có 8 số
* 1b11 với b Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
* 11c1 với c Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
* 111d với d Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp
19
Þ có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số
+ Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao
cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần.
Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là:
9 + 9.35 = 324 số
· Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số
nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số.
37. (ĐH Huế khối DHT 2001)
* Số cách chọn 5 em từ 13 em là: 513C = 1287
* Số cách chọn 5 em toàn nam là: 57C = 21
* Số cách chọn 5 em toàn nữ là: 56C = 6
Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260
38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Mỗi tổ có 1 hay 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ
nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh
trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học
sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai.
· Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có 25C = 10 cách chọn 2 học sinh khá.
* Có 58C = 56 cách chọn 5 học sinh trung bình.
Þ Có: 3.10.56 = 1680 cách.
· Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có 35C = 10 cách chọn 3 học sinh khá.
* Có 48C = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình.
Þ Có: 3.10.70 = 2100 cách.
Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:
· Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:
Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho
chữ số 5. Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: 35A
Þ Số các số thu được là: 4.4. 35A = 960 số
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng
24
Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0,
1, (2; 3), 4, 5. Số hoán vị của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ số
trường hợp phần tử 0 ở vị trí đầu gồm P4 trường hợp. Chú ý rằng đối
với phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ được
nhân đôi. Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P5 – P4) =
192 số.
52. (ĐH khối B 2003 dự bị 1)
Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số
đã cho có dạng: 1 2 3 4 5 6a a a a a a (ai Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj )
sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1
Û a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
Û 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
Û a4 + a5 + a6 = 11 Þ a1 + a2 + a3 = 10 (1)
Vì a1, a2 a3 Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn
trong 3 khả năng sau:
· a1, a2, a3 Ỵ {1; 3; 6}
· a1, a2, a3 Ỵ {1; 4; 5}
· a1, a2, a3 Ỵ {2; 3; 5}
Mỗi bộ số a1, a2, a3 nêu trên tạo ra 3! hoán vị, và mỗi hoán vị đó lại
được ghép với 3! hoán vị của bộ số a4, a5, a6 . Vì vậy tổng cộng số
các số tự nhiên gồm 6 chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là: 3.3!.3! =
108 số.
53. (ĐH khối B 2003 dự bị 2)
Có 3 khả năng:
· 5 nam và 1 nữ: có 5 15 7C .C cách
· 4 nam và 2 nữ: có 4 25 7C .C cách
· 3 nam và 3 nữ: có 3 35 7C .C cách
Vậy tất cả có: 5 15 7C .C +
4 2
5 7C .C +
3 3
5 7C .C = 7 + 5.21 + 10.35 = 462
cách.
54. (ĐH khối D 2003 dự bị 1)
Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hay
2, 4, 6, 8.
· Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh
hợp chập 6 của 8 phần tử. Do đó có 68A số thuộc loại này.
· Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì
6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp
21
a2 đến a6: có 5 cách xếp. Còn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để
xếp vào 5 vị trí này: có 58A cách.
Vậy tất cả có: 5. 58A = 33600 cách.
2. Số được xét có dạng: 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a .
Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2: có 27C cách.
Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có 35C cách.
Còn 2 vị trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vị trí này: có 2! 28C
cách.
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:
27C .
3
5C .2!
2
8C = 11760 số.
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0.
Đối với các số 2 3 4 5 6 70a a a a a a :
* Chọn 2 vị trí để xếp chữ số 2: có 26C cách.
* Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có 34C cách.
* Chọn 1 số để xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách.
Như vậy loại này có: 26C .
3
4C .7 = 420 số.
Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số.
45. (ĐHSP HN II 2001)
Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau
đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Xét x = 1 2 3 4 5a a a a a Ỵ X.
Nếu chọn a5 = 1 thì 1 2 3 4a a a a ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5
phần tử 3, 4, 5, 7, 8 Þ có 45A số có chứ hàng đơn vị là 1.
Tương tự có 45A số có chứ hàng đơn vị là 3; …
Þ Tổng tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x Ỵ X là:
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). 45A = 3360.
Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x Ỵ
X là: 3360.10; …
Vậy tổng tất cả các phần tử của X là:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000
= 3360.11111 = 3732960.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)
1. Số tập con của A là: + + + +0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C = 2
20
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng
22
2. Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
T = + + +2 4 2020 20 20C C ... C
Ta có: 0 = (1 – 1)20 = - + - +0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C
Þ + + + +0 2 4 2020 20 20 20C C C ... C = + + +
1 3 19
20 20 20C C ... C
Þ + + + +0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C = 2 ( )+ + + +0 2 4 2020 20 20 20C C C ... C
Þ T = + + +2 4 2020 20 20C C ... C = -
20
0
20
2 C
2
= 219 – 1.
...

---