1
Bài tập về đại số tổ hợp:
QUY TÁC CỘNG, QUY TẮC NHÂN:
1. Một trƣờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm
hai ngƣời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một
đoàn nhƣ trên?
2. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8.
a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
3. Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9?
4. Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau?
5. Từ các sô 0,1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5
b. có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9?
HOÁN VỊ.
1. Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 ta lập đƣợc .
a. bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
b. bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3?
c. bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1.
d. bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu la chữ số lẻ?
2. Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa. b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế?
3. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn,
Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau?
4. Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a. Các học sinh ngồi tuỳ ý? b. Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn?
5. Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu cách sắp
nếu

a. Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý? b. Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?
c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau??
2. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra.
Hỏi có mấy cách chọn?
3. Có 5 tem thƣ khác nhau và 6 bì thƣ khác nhau. Ngƣời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thƣ và 3 bì thƣ và dán
3 tem thƣ lên 3 bì thƣ đã chọn. Mỗi bì thƣ chỉ dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm nhƣ thế?
4. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngƣời đi dự Hội nghị sao
cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp? 2
5. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một đoàn công tác có 3 nguời gồm
cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán hoc lẫn Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
6. Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ:
a. Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau?
b. Có bao nhiêu cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá một nam?
7. Có hai đƣờng thẳng song song d
1
và d
2
. Trên d
1
lấy 15 điểm phân biệt, trên d
2
lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi
có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy?
8. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn
ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a. sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu? b. Không có đủ ba màu?
9. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngƣời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội

47
89
10 3 5 2 7
PP
PP
A
P P P P P
æö
÷
ç
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
b.
65
4
nn
n
AA
B
A
+
=

c.
2 2 2 5
1 3 5 5
.!
k n n n n
P A A A n k A
+ + + +
=

PHƢƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC TỔ HỢP:
Giải các PT – BPT – HPT sau:
1.
1 2 2 2
6 6 9 14
x x x
C C C x x+ + = -
2.
( )
22
72 6 2
x x x x
P A A P+ = +
3.
22
2
2 50
xx
AA+=

4.

C C C
++
-=
8.
3 -2
14
n
nn
A C n+=
9.
3 4 2
23
n n n
A C A-=

10.
22
1
2 3 30
xx
CA
+
+<
11.
23
2
16
10
2
x

2 5 90
5 2 80
yy
xx
yy
xx
AC
AC
ớ
ù
+=
ù
ù
ỡ
ù
-=
ù
ù
ợ
15.
21
1
53
yy
xx
yy
xx
CC
CC


13. T cỏc ch s 1,2,3,4,5,6,7,8,9 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn, mi s gm 6 ch s khỏc nhau
v tng cỏc ch s hng chc, hng trm, hng nghỡn bng 8?
8. Mt i vn ngh cú 15 ngi gm 10 nam v 5 n. Hi cú bao nhiờu cỏch lp mt nhúm ng ca gm 8
ngi, bit rng trong nhúm ú phi cú ớt nht 3 n?
9. Mt lp cú 33 hc sinh, trong ú cú 7 n. Cn chia lp thnh 3 t, t 1 cú 10 hc sinh, t 2 cú 11 hc
sinh, t 3 cú 12 hc sinh sao cho trong mi t cú ớt nht 2 hc sinh n. Hi cú bao nhiờu cỏch chia nh vy?
10. Cho tp A gm n phn t (n 4). Bit rng s tp con 4 phn t ca A bng 20 ln s tp con gm 2
phn t ca A. Tỡm k{1,2,,n} sao cho s tp con gm k phn t ca A l ln nht?
11. T cỏc ch s 0,1,2,3,4,5,6 cú th lp c bao nhiờu s chn, mi s cú 5 ch s khỏc nhau trong ú cú
ỳng hai ch s l v 2 ch s l ng cnh nhau?
12. Cho hai ng thng d
1
v d
2
song song vi nhau. Trờn d
1
cú 10 im phõn bit, trờn d
2
cú n im phõn
bit (n 2). Bit cú 2800 tam giỏc cú nh l cỏc im núi trờn. Tỡm n?
Nh thc Newton
p dng cụng thc khai trin.
1. Tỡm h s ca s hng th t trong khai trin
10
1
x
x
ổử
ữ
ỗ

3
x
x
ổử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

4. Tỡm h s ca
12 13
xy
trong khai trin ca
( )
25
23xy-

II. Khai trin vi gi thit cú iu kin. 4
1/ Biết khai triển
2
1

ç
èø
là 97. Tìm hạng tử của khai triển
chứa x
4.
3/ Cho khai triển
0 1 1
1 1 1
( 1)
33
3
n
n n n n
n n n
n
x C x C x C
-
æö
÷
ç
÷
- = - + -
ç
÷
ç
÷
ç
èø
. Biết hệ số của số hạng thứ ba trong
khai triển là 5. Tìm số hạng chính giữa??


7/ Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển
7
4
1
n
x
x
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
biết n thoả mãn hệ thức
1 2 3 2 1 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n n
C C C C
+

dƣơng thỏa mãn:
( )
2 2 2 2 2
2 3 4 1
2 3
nn
C C C C A
+
+ + + + =
.
13/ Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển nhị Niu tơn của
( )
2
n
x+
biết:
( )
0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 1 2048
n
n n n n n
n n n n n
C C C C C
- - -
- + - + + - =

III. CHỨNG MINH HOẶC TÍNH TỔNG BIỂU THỨC TỔ HỢP:

2C C C+ + + =

b.
2004
0 2 2 4 4 2004 2004
2004 2004 2004 2004
31
2 2 2
2
C C C C
+
+ + + =
.
6/Chứng minh rằng :
1 1000 1001
2001 2001 2001 2001
, 0 k 2000
kk
C C C C

     

7/Chứng minh rằng:
 
2
2 2 2
. , 0,
n n n
n k n k n
C C C k n