TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
(Các hàm số đã học )

LAISAC biên soạn.
Lập phương trình tiếp tuyến
Δ
của của đường cong (C) có hàm số y = f(x).
Lập phương trình
Δ là ta tìm Hệ số góc k ( khi cho biết tiếp điểm) hoặc ngược lại tìm Tiếp điểm
(x
0
;y
0
) (khi cho biết hệ số góc k).
Ta thường thấy các dạng toán yêu cầu lập phương trình tiểp tuyến
Vấn đề 1
.Tại điểm M
0
(x
0;
y
0
)
)(C
∈
.
Trường hợp này M
0
chính là tiếp điểm , có duy nhất một tiếp tuyến có phương trình
y = f’(x

1
– x
0
) + y
0
. Giải phương trình
này ta tìm x
0
, suy ra các toạ độ tiếp điểm rồi vận dụng trường hợp 1.
+Hệ tiếp xúc.
Giả sử k là hệ số góc nên phương trình tiếp tuyến
Δ
qua N có dạng y = k.(x – x
1
) + y
1
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ phương trình:
)2(
)('
)()(
11
⎩
⎨
⎧
=
+−=
kxf
yxxkxf
Suy ra f(x) = f’(x)(x – x
1

α
tgktgk −==
21
;
,)
Phương pháp giải có thể vận dụng phương trình (1) hoặc hệ (2).
Tất cả hai trường hợp này đều giải phương trình k = f’(x) để tìm x (tiếp điểm).
Vấn đề 4.Tìm trên trục ,đường thẳng cho trước những điềm qua đó kẽ đến (C) một tiếp
tuyến ,hai tiếp tuyến vv…
Phương pháp giải:Đưa về hệ (2)
)3())((')(
)('
)()(
11
11
yxxxfxf
kxf
yxxkxf
+−=⇒
⎩
⎨
⎧
=
+−=
Qua N có bao nhiêu tiếp tuyến khi và chỉ khi phương trình (3) có bao nhiêu nghiệm.
Các ví dụ, bài tập minh hoạ :
Bài 1. Cho đường cong (C) có hàm số y = x
3
– 3x
2

tương ứng là x
1
,x
2
sao cho x
1
+

x
2
= 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A bà
B song song với nhau .
Bài 4.Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số
.
1
1
1
+
+−=
x
mxy
cắt đường thẳng
y = x tại hai điểm phân biệt A,B mà tiếp tuyến tại A,B song song với nhau.
Bài 5.Cho hàm số y = x
3
– (m+1)x
2
+ (m – 1)x + 1.
1. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất.
2. Chứng tỏ rằng với mọi giá trị m

+−
++−+
= Chứng minh rằng với
1
≠
∀
m
các đường
cong (Cm) luôn luôn tiếp xúc một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
Bài 8.Tìm tất cả các điểm trên đồ thị y = (x – 1)
2
(x – 4) mà qua đó kẽ được một và chỉ một tiếp
tuyến với đò thị.
HD.Phương trình y = y’(x
0
).(x – x
0
) + y
0
có đúng một nghiệm ẩn x= 2
0
=
x
là điểm uốn. Bài 9.
Bài 9.Cho hàm số
=y
1
2
−x
x

⎨
⎧
=−
=++−
063
0133
2
3
mxx
mmxx