Chươn
g
V. CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ
CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
§1. Các đặc trưng số
Từ luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rút ra
vài số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên đó (giúp
ta so sánh giữa các đại lượng với nhau) được gọi là
các đặc trưng số.
1.1. Mod[X] (mode)
Đònh nghóa
Mod[X] là
g
iá trò mà tại đó X nhận xác suất lớn
nhất (nếu X rời rạc) ha
y
hàm mật độ đạt cực đại
(nếu X liên tục).
VD Cho X rời rạc có luật phân phối
X 0 1
2
4 5 8
P
X
0,1 0,2
0,3
0,05 0,25 0,1
Mod[X] = 2.
1.2. Trung vò
X
:

Cho X rời rạc có phân phối
Xx
1
x
2
…x
i
…x
n
P
X
p
1
p
2
…p
i
…p
n
thì
n
11 2 2 n n i i
i1
M(X) x p x p x p x p
=
=+ ++ =
∑
+ Nếu X liên tục thì
M(X) xf(x)dx
+

y
n
g
ẫu nhiên 1 quả,
g
ọi X là trọn
g
lượng quả cầu đó. X có luật phân phối
X 1kg 2kg 3kg
P
X
0,5 0,2 0,3
Su
y
ra M(X) = 1.0,5 + 2.0,2 + 3.0,3 = 1,8k
g
.
Kỳ vọng là giá trò trung bình (theo xác suất) của đại
lượng ngẫu nhiên X, là trung tâm điểm của phâ
n
phối mà các giá trò cụ thể của X sẽ tập trung quanh
đó.
1.3.2. Ý nghóa
a/ Trường hợp X rời rạc
Xx
1
x
2
…x
i

n
ii
i1
M[ (X)] (x )p
=
ϕ=ϕ
∑
(X)ϕ
1
(x )
ϕ
2
(x )
ϕ
i
(x )
ϕ
Bài toán
Cho đại lượng ngẫu nhiên X và
Y(X)
=
ϕ
.
Tính
M(Y) M[ (X)]=ϕ
.
VD Cho
2
Y(X)X=j =
, bieát

6 7
P
X
0,1 0,2
0,4
0,2 0,1
VD
1.4. Phöôn
g
sai D(X)
VD
X 1 2 3
P
X
0,2 0,7 0,1
M(X) 1.0,2 2.0, 7 3.0,1 1,9m= = + + =
222
D(X)= (1 -1,9) .0,2+ (2 -1,9) .0,7+ (3 -1,9) .0,1Þ
1.4.1. Ñònh nghóa
2
D(X) M{[X M(X)] }=-

hoaëc
=-mm=
2
D(X) M[(X ) ], M(X).

Công thức thường dùng
22
D(X) M(X ) [M(X)]=-

ç
÷
ç
÷
ç
èø
òò
, X liên tục.
VD Trong ví dụ trên ta có
222 2
D(X) 1 .0, 2 2 .0, 7 3 .0, 1 (1, 9)=++-
.
1.4.2. Ý nghóa
Phương sai là sai số bình phương trung bình của đại
lượng ngẫu nhiên X so với trung tâm điểm kỳ vọng.
Phương sai dùng để đo mức độ phân tán của X
quanh kỳ vọng.
1.5. Độ lệch tiêu chuẩn
(X) D(X)s=
Bài 1. Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con).
Xác suất sinh con trai là 0,51. Gọi X là số con trai
trong 2 lần sinh. Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Bài tập
Bài 2. Một lô hàn
g
g
ồm 10 sản phẩm tốt và 2 phe
á

phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng đó,

2.1.1. Trường hợp rời rạc
Xx
1
x
2
…x
i
…x
m
P
X/Y=y
j
P
1/j
p
2/j
…p
i/j
…p
m/j
Yy
1
y
2
…y
j
…y
n
P
Y/X=x

MY/X x yq
=
==
å

b
/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y
+ M(X/Y) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trò
M(X/y
j
) khi Y = y
j
và
(Y) M(X/ Y)Y=
.
+ M(Y/X) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trò
M(Y/x
i
) khi X = x
i
và
(X) M(Y/ X)Y=
.
2.1.2. Trường hợp liên tục
M(X / y) xf(x / y)dx (y)==Y
ò

M(Y / x) yf(y / x)dy (x)==Y
ò
.

.