Bài 1: Cho hai số nguyên tố
p
,
q
phân biệt và số nguyên dương
a
thỏa mãn
2 1
1
q
a a a p

   

. Chứng minh rằng:
1(mod )
p q

.
Bài 2: Cho số nguyên tố
p
thỏa mãn
2(mod3)
p

. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên
n
luôn tồn tại vô số số nguyên
m
thỏa mãn
3

n n
p p p
v a b v a b v n
    .
Bài 5: Tìm số nguyên dương
n
lớn hơn 1 thỏa mãn:
2
2 1
n
n


.
Bài 6: Cho số nguyên tố
p
thỏa mãn
1(mod3)
p

. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên
x

thỏa mãn
1(mod )
x p

và
3
1(mod )

chia hết cho
p
.
Bài 8: Cho số nguyên dương
n
lớn hơn 5. Chứng minh rằng không tồn tại
,
p q
nguyên
dương thỏa mãn:
p q n
 
và
1
2 1 3 2.3
n p q

   .
Bài 9: Cho số nguyên tố
p
và số nguyên dương
n
thỏa mãn:
p
không lớn hơn ước
nguyên tố nhỏ nhất của
n
và
2 1
n

thoả mãn
2 1
n
n


.
Bài 12: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên
, ,
x y z
thoả mãn
2
3
z
x y
 
,
3(mod4)
z

.
Bài 13: Cho 3 số nguyên dương
, ,
a b c
thoả mãn
( , , ) 1
a b c

. Chứng minh rằng tồn tại
số nguyên dương

luôn tồn tại duy nhất
số nguyên dương
1
1,2, ,
2
p
b

 

 
 
thoả mãn
2 2
0(mod )
a b p
  .
b) Chứng minh rằng
1
2 2
2
1
2 1
2
4
p
k
k k p
p p


.