TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008
-2009
BÀI TẬP
Bài 1: Chứng minh: a) n
2
+ 1 không chia hết cho 3 với bất kì số nguyên nào?
b) 30
99
+ 61
100
chia hết cho 31?
c) 7
120
– 1 chia hết cho 143?
d) 11
n+2
+ 12
2n+1
không chia hết cho 133 với bất kì số tự nhiên nào?
e) 43
101
+ 23
101
chia hết cho 66?
f) Cho
( )
2004
1 2 3
2003 .....
n
N k k k k n N= = + + + + ∈

n
A =
142 43
;
( )
2
1000...011 2
n
B n
−
= ≥
1 2 3
. Chứng minh AB + 4 là số chính phương.
d) Cho:
{
111......155..55 1
n
n
N = +
142 43
. Chứng minh N là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) Với
; ;a b c Z∈
thoả:
1ab bc ca+ + =
thì:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 . 1 . 1a b c+ + +

3 2
2n n n− − − là một số nguyên tố.
* Tìm
x Z∈
thoả:
( ) ( ) ( )
. 1 . 7 . 8x x x x− − −
là số chính phương.
Bài 8: Tìm
x R∈
và
n N∈
thoả:
2 1
2 4 2 2 0
n n
x x
+
+ + − + =
.
Bài 9: Tìm
x N
∈
thoả:
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 8 4 13 4 2 5
x x x x
− + + = + +
.

1 2 3 4 .....
2
n n
n
+
+ + + + + =
b)
( ) ( )
2 2 2 2 2
1 2 1
1 2 3 4 .....
6
n n n
n
+ +
+ + + + + =
.
c)
( )
2
1 3 5 ..... 2 1n n+ + + + − =
d)
( )
2
3 3 3 3 3
1 2 3 4 ..... 1 2 3 ...n n+ + + + + = + + + +
e)
( )
( ) ( )
1 2

. Chứng minh:
2 2 2 2
1 1 1 1
... 1
2 3 4 n
+ + + + <
Bài 18:Chứng minh:
a)
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
với
; 0a b >
b)
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
 
+ + ≥ + +
 ÷
− − −
 
với a;b; c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của
tam giác đó.
Bài 19: Cho
1a b c
+ + =
. Chứng minh:
1

; 1x y ≥
b)
2 2 2
1 1 1 3
1 1 1 1 . .x y z x y z
+ + ≥
+ + + +
Với
( )
; ; 1x y z ≥
Bài 23:Cho
*
n N∈
. Chứng minh:
a)
1 2 3 1
.... 1
2! 3! 4! !
n
n
−
+ + + + <
b)
2 1 1 1 1 1
..... 1
3 2 1 2 2 2 3 2 1 4 1n n n n n
< + + + + + <
+ + + + +
Bài 26:Chứng minh:
a)

2
a b c
b c c a a b
+ + <
+ + +
.
b)
1 1 1
; ;
b c c a a b+ + +
củng là độ dài ba cạnh của một tam giác.
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
3a b c a b c a b c a b c abc+ − + + − + + − ≤
d)
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ − + − + −
Bài 29: Cho ba số dương a;b;c. Chứng minh rằng:
a)
1 1 1
9
a b c
+ + ≥
. Với a + b + c =1
b)
1 2
a b c

Ν∈
yx;
c) G = xy + yz + zx. với x + y + z = 3
Bài 32: Tìm giá trò nhỏ nhất của:
a) C =
2 1
1 x x
+
−
Với 0 < x < 1 . b) F = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
-2xy + 2xz - 2x -2y - 8z + 2008
c) A = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2
≤ 5
d)
20052004
−+−=
xxM
 HD: Xét M trong các khoảng:
xxx
<≤<≤
2005;20052004;2004


+
=
b) Cho ba số
0,,
>
cba
và
1
222
=++
cba
. Tìm GTNN của
ba
c
ac
b
cb
a
B
+
+
+
+
+
=
333
(HD: p dụng kết quả câu a với
2
1
222

x x
+ +
+ +
b) Q =
2 2
2 1
7
x y
x y
+ +
+ +
c) y =
2
2
4 2 3
1
x x
x
+ +
+
d) A = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2
≤ 5 e)
e) A = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) Biết x,y

ABC
∆
vuông cân có cạnh huyền
aBC
=
. Các điểm
ED;
theo thứ tự thuộc các cạnh
ACAB,
. Vẽ
( )
BCKHBCEKBCDH
∈⊥⊥
,,;
. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác
DEHK
khi
ED;
thay
đổi vò trí trên các cạnh
ACAB,
.
Bài 37:Cho đoạn thẳng
AB
và đường thẳng
d
song song với nhau. Từ điểm
M
(
M

2 4 0x y z− − =
h/
2 2
5 0x y− =
Bài 39:Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
a/
. . .x y z t x y z t
+ + + =
b/
1 1 1 1
1995x y z
+ + =
c/
. . .
3
x y z x y z
z y x
+ + =
d/
1 . .x y x y z+ + =
e/
2 2
2 5x y− =
f/
2 2
19 28 729x y+ =
g/
2 3xy x y+ − =
h/
2 2 2

 Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương x; y; z thoả:
5 5 7 10xyz x y z= + + +
 Tìm các số nguyên dương x; y; z thoả:
( ) ( )
2 1 1 1xy z x y− = − −
Nguyễn Văn Anh Trang 4