ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
————oOo————
Trần Ngọc Trung
TÌM HIỂU
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN
ĐỐI VỚI SÓNG RAYLEIGH TRONG
MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Toán - Cơ
Cán bộ hướng dẫn: TS. Trần Thanh Tuấn
Hà Nội - 2012
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn TS. Trần Thanh Tuấn. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng
dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar tại bộ môn
Cơ học do PGS. TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, cùng toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà
Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Trần Ngọc Trung
Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Phương trình tán sắc của sóng mặt trong môi trường đa lớp .
6

nhiều công trình, ví dụ như trong bài báo của Trần Thanh Tuấn (2011) [11].
Nói chung phương pháp được dùng trong các mô hình đơn giản này là biểu diễn
các đại lượng ứng suất và biến dạng của lớp và bán không gian phụ thuộc vào
các tham số vật liệu và số sóng, sau đó sử dụng các điều kiện biên để nhận
được một hệ phương trình thuần nhất. Phương trình tán sắc của sóng Rayleigh
sau đó nhận được bằng cách cho định thức của hệ phương tr ình thuần nhất này
bằng không để nhận được nghiệm không tầm thường. Phương pháp này có thể
MỤC LỤC
cho ta phương trình tán sắc của sóng Rayleigh dưới dạng hiển, thuận tiện cho
việc nghiên cứu giải tích cũng như là các tính toán số. Tuy nhiên, phương pháp
sẽ trở nên rất cồng kềnh khi được dùng để nghiên cứu mô hình phân lớp, khi
số lớp là nhiều hơn hai. Một phương pháp thay thế để khảo sát mô hình phân
lớp chính là phương pháp ma trận chuyển. Phương pháp này được đề xuất bởi
Thomson (1950) [
9]. Haskell (1953) [4] đã phát tr iển phương pháp này đối với
môi trường đàn hồi đẳng hướng và Stuart Crampin (1970) [2] đã phát triển
phương pháp này cho môi trường đàn hồi bất đẳng hướng. Phương pháp này sẽ
cho ta phương trình tán sắc của sóng Rayleigh dưới dạng ẩn. Mặc dù khó có thể
sử dụng phương trình tán sắc dạng ẩn này để nghiên cứu một cách giải tích các
tính chất của sóng Rayleigh, nhưng nó được dùng một cách rộng rãi trong việc
lập các chương trình tính toán số để khảo sát số các tính chất của sóng Rayleigh
trong mô hình phân lớp này. Một trong các chương tr ình sử dụng phương pháp
ma trận chuyển này là chương trình của Herrmann (1994) [5]. Chương trình này
được viết bởi ngôn ngữ lập trình FORTRAN dưới dạng các gói lệnh và có thể sử
dụng các ngôn ngữ khác, ví dụ như Matlab, để chạy chúng. Ưu điểm của chương
trình là chạy ổn định và nhanh chóng. Tuy nhiên nhược điểm của nó là người
sử dụng không thể can thiệp trực tiếp vào các code lệnh để thay đổi chương
trình để phục vụ mục đích của mình. Một ví dụ là chương trình của Herrman
tính toán vận tốc sóng và tỷ số H/V trên một miền tần số cho trước và nó chia
miền tần số này thành một số khoảng rời rạc bằng nhau (nói chung là 2

• Chương 3: Áp dụng tính toán số.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em mong nhận
được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
5
Chương 1
Phương trình tán sắc của sóng mặt
trong môi trường đa lớp
1.1. Dạng ma trận của bài toán cho sóng Rayleigh
Ta xét sóng mặt có tần số góc p và vận tốc theo phương ngang c lan
truyền theo phương ngang trong không gian với n lớp song song đồng nhất,
đẳng hướng.
+x
+z
(0)
(1)
(2)
Phương truyền sóng
1
2
3
n-1
n
(n-1)
Hình 1 : Chiều của các trục tọa độ và cách đánh số của các lớp và các mặt phân cách.
Tất cả các lớp giả sử đều là môi trường chất rắn. Trục x song song với
các lớp và có chiều dương hướng theo chiều của phương truyền sóng. Trục z có
chiều dương hướng vào trong môi trường. Các lớp khác nhau và các mặt phân
cách được đánh số bắt đầu từ mặt tự do như hình 1. Ta chú ý dạng của sóng

µ
m
/
ρ
m
]
1/2
= vận tốc của sóng ngang
λ
m
=
ν
E
(1 +
ν
)(1 −2
ν
)
E = môđun đàn hồi Young
ν
= hệ số Poisson
λ
m
,
µ
m
= hệ số đàn hồi Lame
ρ
m
= mật độ khối lượng

α
m
r
β
m
=

+[(c/
β
m
)
2
− 1]
1/2
,nếu c >
β
m
−i[1 −(c/
β
m
)
2
]
1/2
,nếu c <
β
m
γ
m
= 2(

1
2

∂
w
∂
y
−
∂
v
∂
z

,
ω
my
=
1
2

∂
u
∂
z
−
∂
w
∂
x


x
− 2
∂ ω
mz
∂
y
+ 2
∂ ω
my
∂
z
,
∇
2
v =
∂
∆
m
∂
y
− 2
∂ ω
mx
∂
z
+ 2
∂ ω
mz
∂
x

=
−

α
m
p

2
∂
∆
m
∂
x
+ 2

β
m
p

2
∂ ω
mz
∂
y
− 2

β
m
p



β
m
p

2
∂ ω
mz
∂
x
, (1.2)
w = −

α
m
p

2
∂
∆
m
∂
z
+ 2

β
m
p

2

∇
2
∆
m

+ 2

β
m
p

2
∂
∂
y

∇
2
ω
mz

− 2

β
m
p

2
∂
∂

β
m

2

ω
mz
= 0,

∇
2
+

p
β
m

2

ω
my
= 0.
Chọn hệ tọa độ đề Đề Các như hình 1,
ω
mx
,
ω
mz
sẽ bằng không. Xét lớp thứ m
8

u/
∂
z) −(
∂
w/
∂
x)]
= exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) +
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)], (1.4)
trong đó ∆
′
m
,∆
′′
m
,
ω

m
là số thực và một sóng
lan truyền trong +x với biên độ giảm dần theo hàm mũ theo chiều của trục z khi
r
α
m
là số ảo. Áp dụng cách đánh dấu tương tự như trên, ta có được dạng
ω
′
m
và
ω
′′
m
với r
β
m
thay thế cho r
α
m
.
Thành phần tương ứng của ứng suất và chuyển vị tương ứng với hàm giãn
nở khối và sự quay được biểu diễn bởi (1.3) và (1.4) là,
u = −(
α
m
/p)
2
(
∂

2
(
∂ ω
m
/
∂
x), (1.6)
σ
=
λ
m
∆
m
+ 2
µ
m
(
∂
u/
∂
x)
=
ρ
m
[
α
2
m
∆
m

z)}], (1.7)
τ
=
µ
m
(
∂
u/
∂
z +
∂
w/
∂
x)
= 2
ρ
m
β
2
m
[ −(
α
m
/p)
2
(
∂
2
∆
m

lượng thỏa mãn điều kiện liên tục. Chuyển vị chắc chắn là liên tục nếu các thành
phần vận tốc tương ứng ˙u và ˙w là liên tục, và vì c là như nhau trong tất cả các
lớp nên chúng ta có thể xét các đại lượng không thứ nguyên ˙u/c và ˙w/c là liên
tục. Thay các biểu diễn của (1.3) và (1.4) vào phương trình (1.5) đến (1.8), ta
9
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
có
u =ik(
α
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][∆
′
m
exp(−ikr
α
m
z) +∆
′′
m
exp(ikr
α
m
z)]
+ 2ikr
β
m
(
β

exp(−ikr
α
m
z) −∆
′′
m
exp(ikr
α
m
z)]
+ 2ik(
β
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) +
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)].


exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) −
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)],
(1.11)
˙w = − r
α
m

α
2
m
/c

exp[i(pt − kx)][∆
′
m
exp(−ikr

z)].
(1.12)
Biểu diễn các hàm mũ của ikrz theo dạng lượng giác, ta tìm được
˙u/c = − (
α
m
/c)
2
[(∆
′
m
+ ∆
′′
m
)coskr
α
m
z −i(∆
′
m
− ∆
′′
m
)sinkr
α
m
z]
−
γ
m

/c)
2
r
α
m
[−i(∆
′
m
+ ∆
′′
m
)sinkr
α
m
z +(∆
′
m
− ∆
′′
m
)coskr
α
m
z]
+
γ
m
[−i(
ω
′

− 1)[(∆
′
m
+ ∆
′′
m
)coskr
α
m
z −i(∆
′
m
− ∆
′′
m
)sinkr
α
m
z]
−
ρ
m
c
2
γ
2
m
r
β
m

γ
m
r
β
m
[−i(∆
′
m
+ ∆
′′
m
)sinkr
α
m
z +(∆
′
m
− ∆
′′
m
)coskr
α
m
z]
−
ρ
m
c
2
γ

m
,r
β
m
là ảo thì hàm lượng giác tương ứng sẽ được hiểu
là hàm lượng giác hyperbolic.
Đặt gốc tọa độ của z tại mặt phân cách thứ (m − 1) mối quan hệ tuyến
tính giữa các giá trị của ˙u/c, ˙w/c,
σ
và
τ
tại mặt phân cách thứ (m − 1) và các
hằng số (∆
′
m
+ ∆
′′
m
),(∆
′
m
− ∆
′′
m
) và (
ω
′
m
+
ω

,
ω
′
m
−
ω
′′
m
,
ω
′
m
+
ω
′′
m
),
(1.17)
trong đó E
m
là ma trận
E
m
=




−(
α

− 1) 0 −
ρ
m
c
2
γ
m
r
β
m
0
0
ρ
m
α
2
m
γ
m
r
α
m
0 −
ρ
m
c
2
γ
m
(

m
(∆
′
m
+ ∆
′′
m
,∆
′
m
− ∆
′′
m
,
ω
′
m
−
ω
′′
m
,
ω
′
m
+
ω
′′
m
), (1.19)

cosQ
m
i
γ
m
r
β
m
sinQ
m
i(
α
m
/c)
2
r
α
m
sinP
m
−(
α
m
/c)
2
r
α
m
cosP
m

m
−
ρ
m
c
2
γ
2
m
r
β
m
cosQ
m
i
ρ
m
c
2
γ
2
m
r
β
m
sinQ
m
−i
ρ
m

γ
m
− 1) sin Q
m
−
ρ
m
c
2
γ
m
(
γ
m
− 1) cos Q
m




,
(1.20)
với P
m
= kr
α
m
d
m
và Q

) = D
m
E
−1
m
( ˙u
m−1
/c, ˙w
m−1
/c,
σ
m−1
,
τ
m−1
). (1.21)
trong đó E
−1
m
là ma trận nghịch đảo của E
m
và có dạng
E
−1
m
=





α
m
0

ρ
m
α
2
m
r
α
m

−1
(
γ
m
− 1)/
γ
m
r
β
m
0 −

ρ
m
c
2
γ

−1
m
11
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
có thể được tính như sau
(a
m
)
11
=
γ
m
cosP
m
− (
γ
m
− 1)cosQ
m
(a
m
)
12
= i

(
γ
m
− 1)r
−1

(a
m
)
14
= i

ρ
m
c
2

−1

r
−1
α
m
sinP
m
+ r
β
m
sinQ
m

(a
m
)
21
= −i

cosQ
m
(a
m
)
23
= i

ρ
m
c
2

−1

r
α
m
sinP
m
+ r
−1
β
m
sinQ
m

(a
m
)

m
c
2

(
γ
m
− 1)
2
r
−1
α
m
sinP
m
+
γ
2
m
r
β
m
sinQ
m

(a
m
)
33
= (a

γ
m
− 1)
2
r
−1
β
m
sinQ
m

(a
m
)
42
= (a
m
)
31
(a
m
)
43
= (a
m
)
21
(a
m
)

/c,
σ
m−2
,
τ
m−2
). (1.23)
Trong bài báo của Thomson (1950) [9], đại lượng
τ
/2
µ
được thay cho
τ
như biến thứ tư của ma trận a
m
. Đây chỉ là sự thay đổi trong ký hiệu với bất kỳ
lớp nào có liên quan nhưng
µ
nói chung sẽ khác nhau trong các lớp, và đó là
ứng suất trượt
τ
, không phải là biến dạng trượt
τ
/
µ
, là đại lượng liên tục qua
các mặt phân cách. Quá trình lặp được chỉ ra bởi phương trình (
1.23) do đó yêu
cầu
τ

n−1
a
n−2
a
1
( ˙u
0
/c, ˙w
0
/c,
σ
0
,
τ
0
), (1.24)
và sử dụng phương trình nghịch đảo (1.17) cho lớp thứ n, ta có
(∆
′
n
+ ∆
′′
m
,∆
′
n
− ∆
′′
n
,

0
,
τ
0
).
(1.25)
Đến bước này mọi bước thực hiện đều là tổng quát, và phương trình (1.25)
có thể được áp dụng đối với sóng mặt hoặc sóng truyền qua môi trường nhiều
lớp. Trường hợp cụ thể mà chúng ta quan tâm trong đó không có ứng suất trên
mặt tự do nên
σ
0
=
τ
0
= 0 và không có nguồn kích động nào ở vô cùng nên
∆
′′
n
=
ω
′′
n
= 0. Kí hiệu J là ma trận tích E
−1
n
a
n−1
a
n−2

/c +J
12
˙w
0
/c,
∆
′
n
= J
21
˙u
0
/c +J
22
˙w
0
/c,
ω
′
n
= J
31
˙u
0
/c +J
32
˙w
0
/c,
ω

11
− J
21
=
J
42
− J
32
J
31
− J
41
. (1.27)
Bởi vì những phần tử của ma trận J là các hàm của các tham số c và k, phương
trình (1.27) cho ta mối liên hệ ẩn giữa c và k, đó chính là phương trình tán sắc
của vận tốc.
1.2. Một số tính chất tổng quát của nghiệm
Đặt A = a
n−1
a
n−2
a
1
và sử dụng phương trình (1.22) đối với E
−1
n
, phương
trình (1.27) có thể viết dưới dạng
−
(

n
− 1)A
22
− r
α
n
A
32
/
ρ
n
c
2
+ A
42
/
ρ
n
c
2
,
L =
γ
n
r
α
n
A
11
+ (

r
β
n
A
22
+ A
32
/
ρ
n
c
2
+ r
β
n
A
42
/
ρ
n
c
2
,
N = −(
γ
n
− 1)A
11
+
γ

, chúng ta thấy rằng
các đại lượng sin P
m
,sinQ
m
, r
α
m
và r
β
m
có thể là thực hoặc ảo phụ thuộc vào giá
trị của c, chỉ xảy ra trong tích r
±1
α
m
sinP
m
và r
±1
β
m
sinQ
m
. Vì sinP
m
là thực hoặc
ảo khi r
α
m

thế các phần tử của A trong phương trình (1.29) có dạng:
A
11
,A
22
,A
31
,và A
42
là thực;
A
12
,A
21
,A
32
,và A
41
là ảo.
Với việc định nghĩa sóng "mặt" là sóng có biên độ giảm khi giá trị của
z tăng lên, nghĩa là r
α
n
và r
β
n
trong trường hợp này là ảo. Nghĩa là ta chỉ xét
trường hợp giá trị của c <
β
n

Do đó, nếu ta gọi a
m
(d) là ma trận a
m
được tính cho lớp có độ dày d ta phải có
a
m
(d
1
)a
m
(d
2
) = a
m
(d
1
+ d
2
) (1.30)
Mối liên hệ này có thể dễ dàng kiểm tra bởi việc nhân trực tiếp các ma trận. Và
bởi vì k chỉ xuất hiện trong a
m
dưới dạng kd
m
, phương trình (1.30) cho ta,
a
m
(k
1

α
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][∆
′
m
exp(−ikr
α
m
z) +∆
′′
m
exp(ikr
α
m
z)]
+ 2ikr
β
m
(
β
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr

z)]
+ 2ik(
β
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) +
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)].
Dễ dàng thấy được u và w chỉ phụ thuộc vào thời gian t qua nhân tử
exp[i(pt − kx)], do đó
u
w
=
˙u
˙w
,
với ˙u, ˙w được biểu diễn theo công thức (1.11) và (1.12)

sắc theo bước sóng
2.1. Dạng tiệm cận của bước sóng dài
Khi bước sóng rất lớn thì kd
m
→ 0 và tất cả các ma trận a
m
sẽ tiến về ma
trận đơn vị. Do đó, J
m
→ E
−1
m
và phương trình (1.27) trở thành
˙u
0
/ ˙w
0
= −(
γ
n
− 1)/
γ
n
r
α
n
=
γ
n
r






1 ik
n−1
∑
1
d
m
0 ik
n−1
∑
1
d
m
/
ρ
m
β
2
m
ik
n−1
∑
1
d
m


m
1 ik
n−1
∑
1
d
m
ikc
2
n−1
∑
1
d
m
ρ
m

1 −2
γ
m
+ 2
γ
m
(
β
m
/
α
m
)

n−1
∑
1
d
m

2
có thể được bỏ qua.
Đối với xấp xỉ ở bậc này thì các đại lượng K,L,M và N là các hàm tuyến tính
của k. Do đó, đối với một giá trị của c thì phương trình (1.28) là một phương
trình bậc hai của k và có thể giải một cách tường minh.
17
CHƯƠNG 2. DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC THEO BƯỚC SÓNG
2.2. Dạng tiệm cận cho bước sóng ngắn
Sezawa và Kanai (1938) [7] đã chỉ ra rằng trong trường hợp hai lớp, dạng
tiệm cận đối với tần số sóng lớn của phương trình vận tốc có thể được nhóm
dưới dạng tích của các thừa số. Một trong những thừa số này có một nghiệm
tương ứng với vận tốc sóng Rayleigh trên mặt tự do của lớp đầu tiên; Nghiệm
còn lại là biểu diễn của Stoneley (1924) [8] cho vận tốc sóng truyền trên các mặt
phân cách giữa hai lớp. Nghiệm thứ hai có thể có hoặc có thể không có nghiệm
thực, phụ thuộc vào mối liên hệ giữa
ρ
,
α
,
β
trong hai lớp. Theo lý thuyết vật lý
thì trong trường hợp đa lớp, phương trình tán sắc luôn có thể được nhóm dưới
dạng tích các thừa số khi tần số là đủ lớn. Những thừa số này tương ứng với
sóng Rayleigh trên mặt tự do và sóng Stoneley ở mỗi mặt phân cách. Để minh

đối với giá trị của kd
n−1
lớn, sinP
n−1
→ −i cos P
n−1
và sinQ
n−1
→ −i cos Q
n−1
.
Trong giới hạn này, phần tử của b
n−1
tiến tới các giá trị sau :
(b
n−1
)
11
= −(b
n−1
)
12
= (
α
n−1
/
α
n
)
2

r
β
(n−1)
{
γ
n
−
γ
n−1
(
ρ
n−1
/
ρ
n
)}cosQ
n−1
,
(b
n−1
)
21
= −(b
n−1
)
22
= (
α
n−1
/

(b
n−1
)
23
= −(b
n−1
)
24
= −(c/
α
n
)
2
(
γ
n−1
/r
α
n
)
{
(
γ
n
− 1)− (
γ
n−1
− 1)(
ρ
n−1

−1
{
(
γ
n
− 1)− (
γ
n−1
− 1)(
ρ
n−1
/
ρ
n
)
}
cosP
n−1
,
(b
n−1
)
33
= −(b
n−1
)
34
=

γ

n−1
)
41
= −(b
n−1
)
42
= (
α
n−1
/c)
2

r
α
(n−1)
/
γ
n

{
γ
n
−
γ
n−1
(
ρ
n−1
/

n−1
/
ρ
n
)
}
cosQ
n−1
,
Nếu chúng ta đặt J
n−1
= b
n−2
b
n−3
b
1
E
−1
1
, thì bởi vì (b
n−1
)
j1
= −(b
n−1
)
j2
và (b
n−1

)
21
− (b
n−1
)
23
][(J
n−1
)
42
− (J
n−1
)
32
],
J
11
− J
21
= [(b
n−1
)
11
− (b
n−1
)
21
][(J
n−1
)

31
− (b
n−1
)
41
][(J
n−1
)
22
− (J
n−1
)
12
]
+[(b
n−1
)
33
− (b
n−1
)
43
][(J
n−1
)
42
− (J
n−1
)
32

][(J
n−1
)
31
− (J
n−1
)
41
].
Bằng cách đặt











K
′
= (J
n−1
)
22
− (J
n−1
)

− (J
n−1
)
41
,
(2.6)











R = (b
n−1
)
11
− (b
n−1
)
21
,
S = (b
n−1
)
13

′
+ SN
′
=
T K
′
+UM
′
T L
′
+UN
′
.
19
CHƯƠNG 2. DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC THEO BƯỚC SÓNG
Nhân chéo và rút gọn phương trình trên dẫn về dạng tích như sau
(RU − ST )

K
′
N
′
− L
′
M
′

= 0. (2.8)
Cho thừa số đầu tiên bằng không và sử dụng giá trị của các phần tử của
b

(n−1)
r
β
(n−1)

− 2
ρ
n
ρ
n−1

(
γ
n
− 1)+
γ
n
r
α
n
r
β
n

[(
γ
n−1
− 1)+
γ
n−1

n−1
− 1)
2
+
γ
2
n−1
r
α
(n−1)
r
β
(n−1)
][1 +r
α
n
r
β
n
] = 0,
(2.9)
là phương trình tương đương với phương trình Stoneley đối với mặt phân cách
thứ (n −1).
Thừa số thứ hai của phương trình (2.8), khi được cho bằng không, thì
tương đương với biểu thức gốc ban đầu của phương trình tán sắc, ngoại trừ việc
nó là phương trình cho (n −1) lớp thay vì là cho n lớp. Lặp lại quá trình dẫn đến
kết quả cho mỗi phần tử tương đương với sóng Rayleigh trên một trong những
mặt phân cách và thừa số cuối cùng dạng phương trình (
2.2) cho lớp đầu tiên,
do đó biểu diễn được sóng Rayleigh trên mặt tự do của lớp này.

ρ
1
là mật độ khối
lượng đơn vị, và
β
1
là vận tốc đơn vị. Khi đó kết quả tính toán của chúng ta sẽ
là mối liên hệ giữa hai đại lượng không thứ nguyên
c
β
1
và kd
1
. Với lưu ý trên,
code của chương trình Matlab này được cho trong phần phụ lục của khóa luận.
Để kiểm tra chương trình tính toán số này, chúng ta sẽ tính toán lại một
số kết quả đã trình bày trong bài báo của Haskell (1953) [4]. Mô hình ta chọn
để tính toán số là mô hình thứ I trong bài báo của Haskell, là một mô hình xấp
xỉ của mô hình bề mặt trái đất có hai lớp đặt trên một bán không gian. Mô hình
I này được Haskell sử dụng tính toán chỉ minh họa sự tán sắc của sóng Rayleigh
cho miền vận tốc nhỏ được đưa ra bởi Guttenberg (1950) [3]. Các tham số cụ
thể là
Bảng I
Lớp
α
(km/s)
β
(km/s)
ρ
(gm/cm

Hình 3 vẽ một số mode đầu tiên của vận tốc sóng Rayleigh cho mô hình
trên theo đại lượng vô hướng là tỷ số của độ dày của lớp đầu tiên và bước sóng
của sóng ngang trong lớp đầu tiên này, tính theo chương trình của Herrmann
và chương trình Matlab của khóa luận. Chúng ta có thể thấy rõ ràng rằng, do
việc chia miền tính toán của tần số thành các đoạn rời rạc, nên chương trình
Herrmann cho kết quả không mịn, mặc dù trong hình vẽ trên ta đã chia khoảng
tần số thành 1024 khoảng con. Hình vẽ cũng minh họa được độ tin cậy của
chương trình Matlab của chúng ta khi cho kết quả phù hợp với các kết quả tính
toán của chương trình Herrmann.
22
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ
0 0.5 1 1.5 2
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
d.f/β
1
c/β
1Hình 3 : Một số mode của đường cong tán sắc của sóng Rayleigh cho mô hình ở trên. Các đường nét liền được
vẽ bằng chương trình Matlab của khóa luận. Các được nét đứt được vẽ bởi chương trình Herrmann. Trục tung
là tỷ số của vận tốc sóng chia cho vận tốc sóng dài của lớp đầu tiên. Trục hoành là kd.
23
Kết luận
Khóa luận đã tìm hiểu và tr ình bày một cách có hệ thống các kết quả