Bài tập môn học
EE2000 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
PGS. Hoàng Minh Sơn
Bộ môn Điều khiển tự động
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Version: 1.0

03.12.2010

2
Chương 1: Khái niệm tín hiệu và hệ thống
1. Hãy chỉ ra rằng hàm mũ phức ( )
j
kt
xt e
ω
= biểu diễn một tín hiệu tuần hoàn với chu
kỳ 2Tkπω= .
2. Cho tín hiệu không liên tục dạng sin
()

5.
Hãy chỉ ra các tín hiệu sau đây là tuần hoàn và xác định chu kỳ của chúng (T đối
với tín hiệu liên tục x(t) và N đối với tín hiệu không liên tục x(n)):
(a)
()
cos
(
13
)
2sin
(
4
)
xt t tππ=+ (b)
1.73
()
j
n
xn e
π
=
6.
Hãy chỉ ra rằng tổng hai tín hiệu tuần hoàn có cùng chu kỳ cơ sở T:
1111
2222
() ( )
,
() ( ),
xt xt kT k
xt xt kT k


(c)
() ()
yt txt= (d)
0
() ( )
k
yn xn k
=−∞
= −
∑0
1
2
1
x
(
t
)

t

0
0.5
1
1
y
(

2
()
,0
dy du
ay t u t a
dt dt
+=− >
i)
Bậc của hệ thống là bao nhiêu?
ii)
Tính toán và vẽ phác đáp ứng xung của hệ thống cho trường hợp a = 2.
iii)
Hệ thống có ổn định không?
iv)
Xác định mô hình trạng thái của hệ thống.
0
1
2
1
u
(
t
)
t
0
1
1
y
(
t

(
t
)
-1
(
a
)

(
b
)
0
1
n
g
(
n
)

u
(
n
)

(
a
)

(
b

t
3
1
()
1
(
1
)
t
gt e t
−
= −

4
13.
Với mỗi mạch điện trên hình vẽ (a) và (b) dưới đây
i)
Hãy xây dựng phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa điện áp vào u(t) với điện
áp ra y(t).
ii)
Hãy xây dựng mô hình trạng thái tuyến tính của mạch điện.
iii)
Tính toán và vẽ phác đáp ứng xung của mạch điện (đáp ứng với tín hiệu vào là
xung Dirac)
iv)
Tính toán và vẽ phác đáp ứng quá độ của mạch điện (đáp ứng với tín hiệu vào là
bước nhảy đơn vị)
v)
Hệ thống có ổn định không? Tại sao?


5
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier
15. Hãy chỉ ra rằng đáp ứng một khâu trễ
(()) ( )
Dxt xt
τ
τ= − đối với tín hiệu vào liên
tục dạng sin (hoặc mũ phức) là một tín hiệu liên tục dạng sin (hoặc mũ phức) có
cùng biên độ và tần số như tín hiệu vào nhưng có góc pha chậm đi
ϕωτ= .
16.
Hãy chỉ ra rằng đáp ứng một khâu trễ
(()) ( )
M
Dxn xn M= − đối với tín hiệu vào
không liên tục dạng sin (hoặc mũ phức) là một tín hiệu không liên tục dạng sin
(hoặc mũ phức) có cùng biên độ và tần số như tín hiệu vào nhưng có góc pha chậm
đi
Mϕω=
.
17.
Cho mạch cầu chỉnh lưu diode với tín hiệu vào v
i
(t) là một xung răng cưa như trên
hình vẽ và tín hiệu ra v
o
(t) = |v
i
(t)|.


ωω
ππ
ωω
ω −
−
⎧
⎡
⎤
⎪
∈
⎪
⎢
⎥
⎪
⎣
⎦
⎪
=
⎨
⎪
⎡
⎤
⎪
∉
⎢
⎥
⎪
⎣
⎦
⎪

T
. . . . . .
-A
A

6

a) b) c)

21.
Cho 4 tín hiệu không liên tục x
1
(n) x
4
(n) như trên hình vẽ dưới đây: a) Hãy điền Đ (đúng) hoặc S (sai) về những tính chất ảnh Fourier của từng tín hiệu
vào các ô trong bảng sau:
Tính chất ảnh Fourier
x

Xe
ω
là thuần ảo b) Tính toán ảnh Fourier của chúng, vẽ phác đồ thị pha và biên độ ảnh Fourier
trong phạm vi tần số
[
-,
]
ωππ∈ .

(1)
(2)
(3)
(4)
x
1
(n)
x
2
(n)
x
3
(n) x
4
(n)

7
22.

-T/3
. . . . . .
0
1
T
T/3

8
Chương 4: Đáp ứng tần số và lọc tín hiệu
23. Với mỗi mạch điện trên hình vẽ (a) và (b) dưới đây, cho điện áp vào u(t) = cos(t)
với mọi giá trị t.

Hãy chỉ ra đồ thị nào trên hình vẽ dưới đây biểu diễn điện áp ra của mạch điện. u(t)
u(t)
y(t)
y(t)
(a) (b)

9
24.
Cho mạch điện dưới đây, với đầu vào u(t) là điện áp nguồn, đầu ra y(t) là dòng qua
điện trở R
1
.

i)
() sin(0.5)ut t=

10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
-45
0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequenc y (rad/ s ec )
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitude (dB)
10 15 20 25 30
-1

e) Những tín hiệu (không nhất thiết dạng sin) có dải tần số (tức phạm vi tần số của
các thành phần trong chuỗi Fourier/ảnh Fourier) như thế nào thì khi qua hệ thống
bị suy giảm ít nhất 10 lần?
27.
Đáp ứng tần số của một hệ liên tục được biểu diễn trên đồ thị Bode dưới đây.
a)
Tần số gãy của hệ thống (tần số mà tại đó độ dốc của đường đặc tính biên độ có
thay đổi lớn – hay chính là điểm uốn của đường đặc tính pha) là bao nhiêu?
b)
Những tín hiệu vào dạng sin có tần số nhỏ hơn tần số gãy thì được hệ thống cho
qua với hệ số khuếch đại bằng bao nhiêu?
c)
Cho tín hiệu vào dạng sin có tần số bằng bao nhiêu thì khi tín hiệu ra tiến tới
trạng thái dao động điều hoà biên độ tín hiệu ra xấp xỉ bằng biên độ tín hiệu
vào?
d)
Cho tín hiệu vào
( ) sin(0.01 ) sin(0.6 )ut t t t=+∀
, hãy xác định (một cách xấp xỉ)
và vẽ đồ thị tín hiệu ra y(t).
e)
Có thể nhận biết/khẳng định qua đồ thị những tính chất nào của hệ thống:
i) Bậc của hệ thống?
ii) Thời gian trễ?
iii) Hệ số khuếch đại tĩnh?
iv) Tính tuyến tính?
v) Tính ổn định?

-15
-10

+=−

trong đó u(t) là tín hiệu vào và y(t) là tín hiệu ra.
a)
Xác định hàm truyền của hệ thống
b)
Xác định hệ số khuếch đại tĩnh của hệ thống (tức tỉ số giữa tín hiệu ra và tín
hiệu vào khi hệ thống ở trạng thái xác lập).
c)
Xác định đáp ứng y(t) của hệ thống khi tín hiệu vào

0
()
00
t
et
ut
t
−
⎧
⎪
≥
⎪
=
⎨
⎪
<
⎪
⎩


s
)
0
-1
Re
(
s
)

(
a
)

(
b
)
1
-1
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 6
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6

a) Xác hàm truyền của hệ thống.
b) Vẽ phác đáp ứng xung và đáp ứng bước nhảy của hệ thống.
c) Vẽ phác
đồ thị Bode thể hiện đáp ứng tần số của hệ thống.
d) Vẽ phác lại đáp ứng xung và đáp ứng bước nhảy của hệ thống cho trường hợp hai
điểm cực liên hợp phức của hệ thống:
- được dịch sang trái 1 đơn vị
- được dịch sang phải 1 đơn vị.

33.
Cho 6 hệ tuyến tính liên tục được mô tả bởi các hàm truyền dưới đây:
123
2
456
22
222
() , () , ()
2s+1 10s+1 10s 11s+1
112
() , () , ()
1110s1
Gs Gs Gs
Gs Gs Gs
ss s
===
+
===
++ + − +

Pole-Zero Map

Time (sec)
Amplitude
0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
00 10 20 30 40
0
0.5
1
1.5
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 10 20 30 40 50 60
0
0.5
1
1.5
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude


-100
-50
0
50
Magnitude (dB)
10
-2
10
0
10
2
-180
-90
0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-20
-10
0
10
Magnitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1

-40
-20
0
20
Magnitude (dB)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-90
-45
0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequenc y (rad/ sec )

15
Chương 6. Trích mẫu và khôi phục tín hiệu
34. Âm thanh con người nghe được nằm trong phạm vi tần số từ 20Hz đến 20.000Hz. Để
số hoá âm nhạc, ta cần trích mẫu với chu kỳ tối đa bằng bao nhiêu?
35.

< 5 rad/s bị nhiễu bởi một
tín hiệu dạng sin
()
sin
(
120
)
dt tπ=
.

a) Nếu trích mẫu tín hiệu bị nhiễu
v
d
(t) với tần số
13 rad/s
s
ωπ=
thì có xảy ra ở đây
hiện tượng trùng phổ hay không (giải thích). Nếu có xảy ra hiện tượng trùng phổ thì
tín hiệu nhiễu có thể lẫn với thành phần tín hiệu tần số bao nhiêu?
b) Trước khi trích mẫu ta cho tín hiệu bị nhiễu v
d
(t) qua một mạch RC như sau đây

Hãy tính toán giá trị RC sao cho nhiễu d(t) được lọc với hệ số suy giảm bằng 60dB.
+
+
v
(
t

b)
1
2
3
() (1 )()1()
n
xn n n=+

c)
||
1
3
2
() ()
n
xn n=

d)

38.
Xác định và vẽ phác đồ thị hàm gốc của các ảnh Z sau đây:
a)
1
1
()
1
Xz
z
=
−

Xz
z
⎛⎞
−
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

39.
Cho đồ thị điểm không-điểm cực của các hệ không liên tục như sau: a)
Những đồ thị nào biểu diễn hệ ổn định?
b)
Những đồ thị nào biểu diễn hệ nhân quả?
c)
Những đồ thị nào biểu diễn hệ nhân quả và ổn định?

40.
Cho hệ không liên tục được mô tả bởi hàm truyền:
2
(0.8)
()
( 0.8 0.64)( 2)

n
x
4
(
n
)

1 2 3 4
-2 -1
1
-
1

17
a)
Vẽ đồ thị điểm cực-điểm không của hệ thống.
b)
Xác định tính ổn định và tính nhân quả của hệ thống
c)
Xác định đáp ứng xung của hệ thống.
41.
Cho hệ không liên tục được mô tả bởi hàm truyền:
2
2
2
()
0.5
zz
Gz
zz