Bài 4
. Bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ

Giả sử f(x) và g(x) là các hàm số xác định trên các miền D và E tương
ứng. Giải bất phương trình f(x) > g(x) (hay f(x) ≥ g(x)) nghĩa là tìm tất cả
các điểm xo ∈ D ∩ E sao cho f(xo) > g(xo) (hay f(xo ≥ g(xo)) là bất đẳng
thức đúng. Tập hợp các điểm xo như vậy được gọi là tập hợp nghiệm của
bất phương trình.
Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu hai tập hợp nghiệm
tương ứng của chúng là trùng nhau. Ta dùng dấu ⇔ để chỉ sự tương đương
của hai bất phương trình.
1. Bất phương trình hữu tỉ
Trong bất phương trình f(x) > g(x) mà f và g đều là các hàm hữu tỉ thì
nó được gọi là bất phương trình hữu tỉ.
1.1. Bất phương trình bậc nhất
Đó là bất phương trình dạng
ax + b > 0 (1)
(hoặc ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0)
a) Nếu a = 0 thì (1) ⇔ 0x + b > 0. Do đó
nếu b > 0 thì (1) nghiệm đúng với ∀x ∈ R
nếu b < 0 thì (1) vô nghiệm.
b) Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x >
b
a
−
.
Tập nghiệm là
b
,
a


+ a + 1 > 0 nên (1)
⇔

3
2
aa
x
aa
−
>
1
+ +
.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình (ẩn x)
(a + 1)x + (a
2
+ 2)
≥
0 (3)
Giải. a) a =
−
1, (3) nghiệm đúng với mọi x.
b) a >
−
1, (3)
⇔

2
a2
x

3
x
2
x3

>−



≤−

⇔
x
∈

3
,3
2

−



.
1.2. Bất phương trình bậc hai
1.2.1. Xét bất phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c > 0
(hoặc ax
2

,
∆
= b
2

−
4ac.
a) Giả sử
∆
< 0. Khi đó
+ nếu a > 0 thì f(x) luôn luôn dương và (5) nghiệm đúng với mọi x.
+ nếu a < 0 thì (5) vô nghiệm
b) Giả sử
∆
= 0.
+ nếu a > 0 thì (5) có tập nghiệm
bb
,,
2a 2a

−∞ − ∪ − + ∞






+ nếu a < 0 thì (5) vô nghiệm.
c) Giả sử
∆

(x
2
, +
∞
)
+ Nếu a < 0 thì (5) có tập nghiệm là (x
2
, x
1
).
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
2x
2

−
3x + 1 < 0 (6)
Giải. Tam thức bậc hai 2x
2

−
3x + 1 có 2 nghiệm
1
1
x
2
=
, x
2
= 1 và a = 2 > 0. Vì vậy (6) có tập nghiệm là
1

2
a2
4a 4(a 2)(2a 3) 0
≠



−− −>


a2
4(a 1)(a 6) 0
≠


− −−>


⇔
a
∈
(1, 2)
∪
(2, 6).
Ví dụ 6. Tìm a để mọi nghiệm của bất phương trình
x
2

−
3x + 2 < 0 (8)

. Vậy a < 0
cũng thỏa mãn.
c) Xét a > 0
c
1
) Nếu 3 <
1
a
(
⇔
a < a <
1
3
)

thì miền nghiệm của (9) là (
−∞
, 3)
∪

1
,
a

∞







∪
(3, +
∞
).
Để M
⊃
(1, 2) điều kiện cần và đủ là 2
≤

1
a

⇔
a
≤

1
2
.
Kết hợp ại ta thấy tập hợp các giá trị a cn tìm là l
{ }
111
a:a ,
323

∈≤≤=


R

sao cho
0f
af( ) 0
∆>


α >


thì f(x) có hai nghiệm x
1
< x
2
và
α

∉
[x
1
, x
2
].
c) Nếu tồn tại
α
sao cho
∆
> 0
af(
α
) = 0

α
<
β
) sao cho f(
α
)f(
β
) < 0 thì trong
khoảng (
α
,
β
) f(x) có đúng một nghiệm.
Ví dụ 7. Tìm tất cả các số a sao cho phương trình
x
2

−
2(a
−
1)x + (2a + 1) = 0 (1)
có hai nghiệm dương phân biệt.
Giải. Theo 1.2.2.b), điều kiện cần và đủ để (10) có hai nghiệm dương
phân biệt là :
'0
1.f(0) 0
b
0
2a
∆>

⇔
a
∈
[4, +
∞
).
Ví dụ 8. Tìm tất cả các số a sao cho phương trình
f(x) : = 2x
2

−
2(2a + 1)x + a(a
−
1) = 0 (11)
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
< a < x
2
.
Giải. Theo 1.2.2.a), điều kiện cần và đủ để (11) có hai nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn x
1

có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1, 2).
Giải. Đầu tiên, nhận xét rằng (12) có nghiệm khi và chỉ khi
∆
> 0
⇔

−
3a
2

−
24a > 0
⇔
a(a + 8) < 0
⇔
a
∈
(
−
8, 0) (13)
Khi đó, (12) có tập nghiệm
a3a(a8)a3a(a8)
M,
22

−− − + −+ − +
=




2
a2
a7a1
8a0
≥−



++≥

−< <

0
74
a
2
8a0

−+
≥


−< <

5

⇔

745
a0

0 0
.
1.3. Bất phương trình đại số bậc cao
Đó là bất phương trình có dạng
nn1
o1 n1n
f(x): a x a x ... a x a 0
−
−
=+ ++ +>
, (18)
trong đó ao, ..., an
∈
R, ao
≠
0.
Cách giải (18) thường được sử dụng là phân tích f(x) dưới dạng tích
1m
kk
2
o1 m 11
f(x) a (x ) ...(x ) (x p x q ) ...=−α −α ++

r
l
2
rr
...(x p x q )++
, (18')
trong đó