Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 1

1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x

2
245
y
xx=−++ b)
2
5
44
x
yx=+− c)
2
43yxx=−+
d)
32
22yxxx=−+− e)
2
(4)(1)yxx=−− f)
32
341
y
xxx=−+−
g)
42
1
21
4
yxx=−− h)
42
23yxx=−−+ i)
42
11

n)
2
226
2
xx
y
x
++
=
+
o)
1
3
1
yx
x
=−+−
−
p)
2
4159
3
xx
y
x
−+
=
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

d)
2
21x
y
x
−
= e)
2
32
x
y
xx
=
−+
f) 322
y
xx=++−
g) 213
y
xx=−−− h)
2
2
y
xx=− i)
2
2
y
xx=−
k) sin2
22

∈
D.

•
Hàm số f nghòch biến trên D
⇔
y
′

≤
0,
∀
x
∈
D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y
′
= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu
2
'
y
axbxx=++ thì:

•

0
0

0
0
ab
c
yxR
a


==


≤

≤∀∈⇔


<



≤



3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai
2
()gxaxbxc=++:

•
Nếu < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

S

>

<<⇔>


<


•

12
0
00
0
xxP
S

>

<<⇔>


>


•

12


•
Biến đổi
12
xxd−= thành
22
1212
()4xxxxd+−= (2)

•
Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

•
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc
tập xác đònh) của nó:
a)
3
513yxx=++ b)
3
2
391
3
x
y
xx=−++ c)
21
2
x

y
xx=−+− b) cos
y
xx=− c) sincos22
y
xxx=−−
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác
đònh) của nó:
a)
32
3(2)
y
xmxmxm=−++− b)
32
21
32
xmx
yx
=−−+ c)
xm
y
xm
+
=
−

d)
4mx
y
xm

11
231
32
yxmxmxm=−+−+ nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
c)
32
1
(1)(3)4
3
yxmxmx=−+−++− đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
Bài 5. Tìm m để hàm số:
a)
3
2
(1)(1)1
3
x
y
mxmx=++−++ đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b)
32
3(21)(125)2yxmxmx=−++++ đồng biến trên khoảng (2; +∞).
c)
4
(2)
x
ym
xm
+
=≠±

+
nghòch biến trên khoảng
1
;
2

−+∞


.

VNMATHS.TK - Free Ebooks
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 4
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

•
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
≥
,
≤
). Xét hàm số y = f(x) trên tập
xác đònh do đề bài chỉ đònh.

•
Xét dấu f
′
(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.


Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan
,0
tan2
aa
vớiab
bb
<<<< b) sinsin,0
2
aabbvớiab−<−<<<
c) tantan,0
2
aabbvớiab−<−<<<
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
sin,0
2
x
xvớix><< b)
335
sin,0
66120
xxx
xxxvớix−<<−+>
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 1,0
x
exvớix>+> b) ln(1),0xxvớix+<>

x
fx
x
+
=
−
.
b) Xét hàm số
3
()34fxxx=− .
f(x) đồng biến trong khoảng
11
;
22

−


và
0
17
,sin20,
320
∈

11
;
22

−

có hoành độ x
0
. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 55xx+−= b)
53
1340xxx+−−+=
c)
571614xxxx+−++++= d)
22
15328xxx+=−++
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
555
1230xxx+++++= b) ln(4)5xx−=−
c) 345
x
xx
+= d) 23538
xxx
++=
Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
a)
345
157751378xxxx++−+−+−< b)
2
272735xxxxx+++++<
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:


=++−


=++−

=++−


c)
tantan
5
23
4
xyyx
xy

−=−


+=


d)
32
32
32
6128
6128
6128
VNMATHS.TK - Free Ebooks
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 6 I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D ⊂ R) và x
0
∈ D.
a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) < f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x
0
– điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) > f(x

0
thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì f đạt cực đại tại x
0
.
Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f′ (x
0
) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x
0
.
a) Nếu f′′ (x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0
.
b) Nếu f′′ (x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0
. VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số

Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).

•
Tính f
′′
(x) và f
′′
(x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f
′′
(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f
′′
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số

x
yx=−++
g)
2
36
2
xx
y
x
−++
=
+
h)
2
345
1
xx
y
x
++
=
+
i)
2
215
3
xx
y
x
−−

2
4yxx=− e)
2
25yxx=−+ f)
2
2
y
xxx=+−
Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
3
2
1yx=+ b)
3
2
21
x
y
x
=
+
c) 4
xx
y
ee
−
=+
d)
2
552ln

.
Chú ý:

•
Hàm số bậc ba
32
y
axbxcxd=+++ có cực trò
⇔
Phương trình y
′
= 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:
+
32
0000
()
y
xaxbxcxd=+++
+
00
()
y
xAxB=+, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
′

Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:

0
0
0
()
()
()
Px
yx
Qx
= hoặc
0
0
0
'()
()
'()
Px
yx
Qx
=

•
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.

1
xmxm
y
xm
+−+
=
−+

Bài 2. Tìm m để hàm số:
a)
32
(2)35
y
mxxmx=+++− có cực đại, cực tiểu.
b)
322
3(1)(232)(1)yxmxmmxmm=−−+−+−− có cực đại, cực tiểu.
c)
322
3(1)2yxmxmx=−+−+ đạt cực đại tại x = 2.
d)
42
2(2)5ymxmxm=−+−+− có một cực đại
1
.
2
x =
e)
2
22xmx

3334yxxmxm=−+++ b)
32
3(1)1
y
mxmxmx=+−−−
c)
2
5
3
xmx
y
x
−++
=
−
d)
22
(1)42
1
xmxmm
y
x
−+−+−
=
−

Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a)
32
y

e)
2
2
2
1
axxb
y
x
++
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a)
3222
2(1)(41)2(1)yxmxmmxm=+−+−+−+ đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao
cho:
12
12
111
()
2
xx
xx
+=+.
b)

1
xmxm
y
xm
+−+
=
−+
có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b)
22
(1)42
1
xmxmm
y
x
−+−+−
=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực
tiểu đạt giá trò nhỏ nhất.
c)
2
3
4
xxm
y
x
−++
=
−

xmxxm=−++ có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ
O làm trọng tâm.
c)
2
2xmxm
y
xm
++−
=
−
có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
hai điểm cực trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
d)
2
1
xmx
y
x
+
=
−
có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10.
e)
2
25
1
xmx
y
x
−++

22
(21)1
1
xmxm
y
x
++++
=
+
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng
(d): 2310xy−−= .
Bài 9. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
2
(1)21xmxm
y
xm
−++−
=
−
có hai điểm cực trò ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.
b)
222
2(41)322
2
mxmxmm
y
xm
++++

1) Hàm số bậc ba
32
()
y
fxaxbxcxd==+++.

•
Chia f(x) cho f
′
(x) ta được: f(x) = Q(x).f
′
(x) + Ax + B.

•
Khi đó, giả sử (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trò thì:

111
222
()
()
y
fxAxB

.

•
Giả sử (x
0
; y
0
) là điểm cực trò thì
0
0
0
'()
'()
Px
y
Qx
= .

•
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trò ấy là:
'()2
'()
Pxaxb
y
Qxd
+
== .

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số :

−−
=
−

Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trò của đồ thò hàm số:
a)
3223
33(1)
y
xmxmxm=−+−− b)
2
6xmx
y
xm
+−
=
−

c)
322
3(1)(232)(1)yxmxmmxmm=−−+−+−− d)
2
2
1
xmxm
y
xm
+−+
=

1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D ⊂ R).
a)
00
(),
max()
:()
D
fxMxD
Mfx
xDfxM

≤∀∈
=⇔

∃∈=


b)
00
(),
min()
:()
D
fxmxD
mfx
xDfxm

(x) và lập bảng biến thiên.

•
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

•
Tính f
′
(x).

•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).

•
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).

y
xx=− c)
42
22yxx=+−
d)
2
2yxx=+− e)
2
1
22
x
y
xx
−
=
−+
f)
2
2
245
1
xx
y
x
++
=
+

g)
2

y
xxx=+−+ trên [–1; 5] b)
3
3
y
xx=− trên [–2; 3]
c)
42
23yxx=−+ trên [–3; 2] d)
42
25yxx=−+ trên [–2; 2]
e)
31
3
x
y
x
−
=
−
trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x
−
=
+
trên [0; 4]

yx
=− trên [–6; 8] k) 24
y
xx=++−
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin1
sin2
x
y
x
−
=
+
b)
2
1
coscos1
y
xx
=
++
c)
2
2sincos1
y
xx=−+
d) cos22sin1
y
xx=−− e)

Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở
thành đẳng thức.

Bài 1. Giả sử
{
}
(;;)/0,0,0,1Dxyzxyzxyz=>>>++= . Tìm giá trò lớn nhất của biểu
thức:
111
xyz
P
xyz
=++
+++
.
HD:
111
3
111
P
xyz

=−++

+++


Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
111

(;)/0,0,
4
xyxyxy

>>+=


. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

41
4
S
xy
=+ .
HD:
( )
11111
425
4
xxxxy
xxxxy

++++++++≥



⇔

41
4()25

.
HD:
22
1
(1)(1)2
11
xy
Pxy
xyxy
=++++++−
−−+
=
111
2
11xyxy
++−
−−+
.
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
111
(1)(1)()9
11
xyxy
xyxy

−+−++++≥

−−+



22
2
342
4
xy
P
x
y
++
=+
.
HD:
2
11
2
4882
xyyxy
P
x
y

+
=+++++


(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
11
2.1

0
là một giá trò tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0
()(1)
(2)
fxy
xD

=

∈


Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện
ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m
≤
y
0

≤
M (3)
Vì y
0
là một giá trò bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min();max()
DD
fxmfxM==

Bài 1. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:

−+

d)
2sincos3
2cossin4
xx
y
xx
++
=
−+
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min();max()
DD
fxmfxM==. Khi đó:
1) Hệ phương trình
()fx
xD

=

∈

có nghiệm
⇔
m
≤

Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 14
4) Bất phương trình f(x)
≥
đúng với mọi x
⇔
m
≥
.
5) Bất phương trình f(x)
≤
đúng với mọi x
⇔
M
≤
. Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
44
242xx−+−= b) 3562
xx
x+=+ c)
55
1
(1)
16
xx+−=
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:


Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 15 1. Đònh nghóa:
Điểm
(
)
00
;()Uxfx đgl điểm uốn của đồ thò hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;
b) chứa điểm x

32
399yxxx=−−+ c)
42
63yxx=−+
d)
4
2
23
4
x
yx=−+ e)
432
124810yxxx=−++ f)
54
3532yxxx=−+−
Bài 2. Tìm m, n để đồ thò của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
a)
32
3334yxxmxm=−+++; I(1; 2). b)
3
2
8
(1)(3)
33
x
ymxmx=−+−++−; I(1; 3)
c)
32
1ymxnx=++; I(1; 4) d)
32

2
2
1
1
xmx
y
x
+−
=
+

Bài 4. Chứng minh đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:
a)
2
21
1
x
y
xx
+
=
++
b)
2
1
1
x
y
x
+

=
+
f)
2
2
25
1
xx
y
xx
++
=
−+

g)
2
2
23
33
xx
y
xx
−
=
−+
h)
2
2
3
1

42
1
4
y
xmxn=−++ có điểm uốn ở trên Ox.

IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
VNMATHS.TK - Free Ebooks
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 16 1. Đònh nghóa:
• Đường thẳng
0
xx= đgl đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số ()
y
fx= nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim()
xx
fx
+
→
=+∞;
0
lim()
xx

→+∞
= ;
0
lim()
x
fxy
→−∞
=
• Đường thẳng ,0
y
axba=+≠ đgl đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số ()
y
fx=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

[ ]
lim()()0
x
fxaxb
→+∞
−+=;
[ ]
lim()()0
x
fxaxb
→−∞
−+=
2. Chú ý:
a) Nếu
()

fx
abfxax
x
→−∞→−∞
==−

Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
25
1
x
y
x
−
=
−
b)
103
12
x
y
x
+
=
−
c)
23
2
x
y

y
x
++
=
−

Bài 2. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2
45
x
y
xx
=
−+
b)
2
2
9
x
y
x
+
=
−
c)
2
2
45
1

4
3
4
1
xx
y
x
−+
=
−

Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2
4
y
xx=− b)
2
42
9
x
y
x
+
=
−
c)
2
1
43

=
−

Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
21
21
x
x
y
+
=
−
b)
ln
2
xx
ee
y
−
−
= c)
2
ln(56)yxx=−+
Bài 5. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a)
2
3
221
y

xmxm
y
x
+++−
=
+
b)
2
(21)3
2
mxmxm
y
x
++++
=
+

Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thò các hàm số sau chắn
trên hai trục toạ độ:
a)
2
31
1
xx
y
x
++
=
−
b)

=
−
; S = 8 b)
2
(21)23
1
xmxm
y
x
+−−+
=
+
; S = 8
c)
2
22(21)45
1
xmxm
y
x
+++−
=
+
; S = 16 d)
2
22
1
xmx
y
x

xx
y
x
+−
=
−
VNMATHS.TK - Free Ebooks
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 18

– 3ac > 0

y’ = 0 có nghiệm kép
⇔ ’ = b
2
– 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm
⇔ ’ = b
2
– 3ac < 0

y
x
0
I
y
x
0
I
y
x 0
I
y
x
0
I
y
x 0
I

.
• Đồ thò có một tiệm cận đứng là
d
x
c
=− và một tiệm cận ngang là
a
y
c
=. Giao điểm
của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.
• Các dạng đồ thò: 5. Hàm số hữu tỷ
2
(.'0,)
''
axbxc
y
aatửkhôngchiahếtchomẫu
axb
++
=≠
+
:
• Tập xác đònh D =
'
\
'

⇔ ab > 0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
0
ad – bc > 0
x
y
0
ad – bc < 0
x
y

1
33
x
yx=−+ f)
32
342yxxx=−−−+
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
42
21yxx=−− b)
42
41yxx=−+ c)
4
2
5
3
22
x
yx=−+
d)
22
(1)(1)yxx=−+ e)
42
22yxx=−++ f)
42
248yxx=−++
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
1
2

x
−
=
+
e)
31
3
x
y
x
−
=
−
f)
2
21
x
y
x
−
=
+

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
2
1
1
xx
y

x
=−++
−
e)
2
1
x
y
x
=
−
f)
2
2
1
xx
y
x
−
=
+

Bài 5. Vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
3
32yxx=−+ b)
32
32yxx=−+− c)
42
23yxx=−−


0
x
y

0
x
y
y
0
x
0
x
y

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 21 1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thò (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C
1
) và
(C
2
) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).



=+


b)
2
24
1
24
x
y
x
yxx

−
=

−

=−++

c)
3
43
2
y
xx
yx


=−+


f)
2
1
31
x
y
x
yx


=

−

=−+


Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
3
32
(2)
yxx
ymx

=−+


ymx


=−+


=−


d)
21
2
2
x
y
x
y
xm

+

=

+

=+

e)
1
1

=−


g)
1
3
1
3
yx
x
ymx


=−++

−

=+

h)
2
33
2
41
xx
y
x
ymxm

−+

y
ymx
x
+−
==+
+
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b)
2
23
;2
1
xxm
y
yxm
x
−+
==+
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
;2
1
mxxm
yymx
x
++
==+
−

Trang 22
f)
2
1
mxxm
y
x
++
=
−
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 4. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
32
32;2yxxmxmyx=+++=−+ cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
32
3(12)1
y
mxmxmx=+−−− cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
22
(1)(3)yxxmxm=−−+− cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
322
2221;22yxxxmyxx=+−+−=−+ cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3222
23;21yxxmxmyx=+−+=+ cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Bài 5. Tìm m để đồ thò các hàm số:

41
;
2
x
y
yxm
x
−
==−+
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn
AB ngắn nhất.
c)
2
24
;22
2
xx
y
ymxm
x
−+
==+−
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính
AB theo m.
Bài 7. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
32
368
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 23
2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến đổi (*) về
một trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
• Dựa vào đồ thò (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.

Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0

• d quay quanh điểm cố đònh M
0
(x
0
; y
0
).
• Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.
• Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận. Chú ý:


A

y

x
A
y = kx
c.
m
(C)

M
1

M
2

b
1

b
2

d
1

d
d
O
y

m < 0
d

I

IV
(–)
(+)
M
x
VNMATHS.TK - Free Ebooks
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 24
VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thò.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a)
33
31;310yxxxxm=−+−+−= b)
33
31;310yxxxxm=−+−−++=
c)
332
31;3220yxxxxmm=−+−−−−= d)
33
31;340yxxxxm=−+−−++=
e)

yxmxm
x
−+
=−+−+=
+

c)
2
2
1
;(1)210
x
ymxx
x
+
=−+−=
d)
2
2
24
;2(1)4(1)0
24
xx
yxmxm
x
−+
=−+++=
−

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo

2
xx
ymm
x
++
=+−+−=≤≤
+

d)
3232
36;cos3cos60yxxxxm=−+−+−=
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a)
2
57
;2(37)25
3
tt
xx
ymm
x
−
−+
=++=+
−

b)
2
1

tt
xx
yeme
x
−+
=−++=
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Từ đồ thò (C) hãy suy ra đồ thò
(T). Dùng đồ thò (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a)
222
363636
():;():;20
111
xxxxxx
CyTym
xxx
−+−+−+
==−=
−−−

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 25
b)
222
545454
():;():;20
xxxxxx
CyTym
xxx
−+−+−+

==
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 30xy−=.
c) Dùng đồ thò (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

2
3(2)20xmxm−+++=
Bài 7. Cho hàm số
1
()
1
x
yfx
x
+
==
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 20xy−=.
c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2
2(1)10xmxm−+++=
Bài 8. Cho hàm số
2
()
1

⇔
(C) và Ox có 1 điểm chung

⇔

(.1)
2
(.1)
.0
CĐCT
fkhôngcócựctròha
fcócựctrò
hb
yy





<


(C)
A
x
0