Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 1

1. Hai đường thẳng song song
a) Đònh nghóa:
abP
ab
ab
,()

⊂
⇔

∩=∅



b) Tính chất
•
()()()
()(),,
()()
()()
PQR
PQaabcđồngqui
PRbabc
QRc


⊃⊃⇒


≡≡




•

,
ab
ab
acbc

≠
⇒





2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: d // (P)
⇔
d
∩


⊃∩=


•

()()
(),()
PQd
da
PaQa

∩=
⇒





3. Hai mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: (P) // (Q)
⇔
(P)
∩
(Q) =
∅



⇒






•

()()
()()
()()
QR
PQaab
PRb


∩=⇒


∩=




4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:


b
⇔


)
0
,90ab =
b) Tính chất
• Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó .0abuv⊥⇔=.

•

bc
ab
ac

⁄⁄
⇒⊥

⊥


2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: d
⊥
(P)
⇔
d
⊥
a,


•
ab
ab
aPbP(),()

≠
⇒

⊥⊥



•
PQ
aQ
aP
()()
()
()

⇒⊥

⊥


•
PQ
PQ
PaQa

⊄

⊥⊥



• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng
tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng đó.
• Đònh lí ba đường vuông góc
Cho (),()aPbP⊥⊂, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: (P)
⊥
(Q)
⇔


)
0
90PQ(),()=
b) Tính chất
• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
()
()()
()
Pa
PQ
aQ


∈⇒⊂




•
()()
()()()
()()
PQa
PRaR
QR

∩=

⊥⇒⊥


⊥


4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh da⊥ , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

•
Chứng minh góc giữa a và d bằng 90
0
.

Chứng minh d // a và a
⊥
(P).

•
Chứng minh d
⊂
(Q) với (Q)
⊥
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

•
Chứng minh d = (Q)
∩
(R) với (Q)
⊥
(P) và (R)
⊥
(P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

•
Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a
⊥
(Q).

•
Chứng minh


• Nếu ()dP⊥ thì

)
,()dP =

)
,'dd với d′ là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0
0
≤

)
,()dP ≤ 90
0

c) Góc giữa hai mặt phẳng

)

)
()
(),(),
()
aP
PQab
bQ

⊥
⇒=


′
= S.cos
ϕ

2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn
vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ
một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
VNMATHS.TK - Free Ebooks
Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 4
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

•
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

•
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.

•
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia.

C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===
• Công thức độ dài trung tuyến:

222222222
222
242424
abc
bcacababc
mmm;;
+++
=−=−=−
2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
•
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1
.

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
×
cao =

A
BADsinBAD
e) Hình thoi:

1
2
SABADsinBADACBD ==
f) Hình thang:
)
hbaS .
2
1
+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
SACBD.=

IV. Nhắc lại một số công thức
trong Hình học phẳng
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 5

tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện
thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B'
trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:

OABC
OABC
V
OAOBOC
VOAOBOC
'''

'''
=
* Bổ sung
• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
• Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh
với diện tích các đáy. Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa
mặt bên và mặt đáy bằng α (45
0
< α < 90
0
). Tính thể tích hình chóp.

Khối đa diện Trần Só Tùng
Trang 6
Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tính thể tích hình chóp theo x và y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)

⇒

xy
Vxy
22
4
12
=−−
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính
thể tích tứ diện theo a, b, c.
HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của
PQ, QR, RP. Chú ý: V
APQR
= 4V
ABCD
=
1
6
A
PAQAR

⇒
Vabcbcacab
222222222

3
33
50
=
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB
= 7 3 cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC =
4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 8. Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC =
5cm.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 45
0
và
diện tích ABC′ bằng 49 6 cm
2
. Tính thể tích lăng trụ.
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với
mp(ABCD) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy
các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2 , SA
⊥ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và
AC.
a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM.
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥
(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể
tích khối chóp A.BCNM.

trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B′C.
HD:
3
27
27
aa
Vd;==
Bài 16. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối CMNP.
HD:
3
3
96
a
V =
Bài 17. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
HD:
2
4
a
d =
Bài 18. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với


0
90ABCBAD==, BC = BA = a, AD = 2a. SA⊥(ABCD), 2aSA = . Gọi H là hình

thể tích của hình chóp A.BCMN.
HD:
3
33
50
a
V =
Bài 22. (Dự bò 1 A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
=
52a và

0
120BAC = . Gọi M là trung điểm CC
1
. Chứng minh MB ⊥ MA
1
và tính
khoảng cách d từ A đến (A
1
BM).
HD:
5
3

HD:
3
6
12
R
V =
Bài 26. (Dự bò 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = AC = a, AA
1
= 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng
minh MN là đường vuông góc chung của AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của tứ diện
MA
1
BC
1
.

a
và

0
60BAD = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'.
Chứng minh AC' ⊥ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 9
HD:
3
3
16
a
V =
Bài 29. (Dự bò 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
.
Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3
a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.BCMN.
HD:
3
103
27
Va=
Bài 30. (Dự bò 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

16
ab
V
ab
.=
−

Bài 33. (Dự bò 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K
thuộc cạnh CC′ sao cho CK =
2
3
a . Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD,
chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
HD:
33
12
2
33
aa
VV;==
Bài 34. (Dự bò 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB ⊥ (ABC). Tam giác ABC có
BA = BC = a, góc ABC bằng 120
0
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 35. (Dự bò 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng
minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

1
1
62
acot
α
−
Bài 2. Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC
là tam giác cân đỉnh A. Trung tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc α và tạo
với mp(SAD) góc β.
a) Xác đònh các góc α, β.
b) Chứng minh: SB
2
= SA
2
+ AD
2
+ BD
2
.
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp.
HD: a)


SBABSD;==
c) S
tp
=
22
22
22

ax
−+
+

Bài 4. Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta
lấy điểm S với SA = 2a. Gọi B′, D′ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng
(AB′D′) cắt SC tại C′. Tính thể tích khối chóp SAB′C′D′.
HD:
8
15
SABC
SABC
V
V
′′
= V
SAB
′
C
′
D
′

=
3
16
45
a

Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt

0
và cạnh
đáy bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P)
và hình chóp.
HD: a) V =
3
6
6
a
b) S =
2
3
3
a

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên
là α.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo α và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h tan
tan

2
x
c) V =
1
6
ayxa()+ d) V
max
=
3
1
3
24
a
Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên SAB một
góc β.
a) Chứng minh: SC
2
=
2
22
a
cossin−
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3
22
3
asin.sin

BCC′B′ hợp với mặt bên ABB′A′ một góc α.
a) Xác đònh góc α.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
33
8
a sin
sin
α
α
.
HD: a)

CBI
′′
với I
′
là trung điểm của A
′
B
′

Bài 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′, chiều cao h. Mặt phẳng (A′BD) hợp với
mặt bên ABB′A′ một góc α. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD: V =
32
1h tan
α
− , S

Bài 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A′B′C′D′ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC′ và
đáy là 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2
6

Bài 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2
mặt bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là α. Tính diện tích xung quanh hình lăng
trụ.
HD: S
xq
= 4h
2
1 cos
cos
α
α
−
.
Trần Só Tùng Khối đa diện
Trang 13
Bài 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A′B′C′, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC′) hợp
với mp(BCC′B′) một góc α. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC′.

c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trò b tìm được.
HD: b) b = a
7
12
c) S
tp
=
2
7321
6
a
()+
Bài 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABB′A′ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACC′A′ hợp với đáy góc nhò diện có số đo α (0 < α < 90
0
).
a) Chứng minh:

A
AB
′
= α.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác đònh thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi β là góc nhọn mà mp(BCC′B′) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tanβ =
2 tanα.
HD: b) V =
1

b) S
xq
= a
2
(1 +
2
2
).
Bài 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn
tâm O. Hình chiếu của C′ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC′ là d và số
đo nhò diện cạnh CC′ là 2ϕ.
a) Tính thể tích lăng trụ.
b) Gọi α là góc giữa 2 mp(ABB′A′) và (ABC) (0 < α < 90
0
).
Tính ϕ biết α + ϕ = 90
0
.
HD: a) V =
33
2
2
31
d tan
tan
ϕ
ϕ
−
b) tan
α

A
HK =
α
.
b) V =
3
3
2
a
cot
α
.
Bài 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo
ACC′A′, BDD′B′ là S
1
, S
2
.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết

BAD
′
= 1v. Tính thể tích hình hộp.
HD: a) S
xq
= 2
22
12
SS+ b) V =

2
β
) = 1 ; V
max
=
3
2
32
d
khi
α
=
β
= 30
0
(dùng Côsi).
Bài 30. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,
A
= 60
0
. Chân
đường vuông góc hà từ B′ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của
đáy. Cho BB′ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD: a) 60
0
b) V =
3
3

=
2
3
3
a
sin
α
; S
ACC
′
A
′
= a
2
tan
α
c)
α
= arctan
173
4
−

Trần Só Tùng

Hai đường tròn đáy của hình trụ
nằm trên mặt cầu
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy
và mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn
đáy của hình nón
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và
mọi đường sinh của hình nón
mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
• Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
• Cách 2: Để xác đònh tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác đònh trục của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác đònh mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Cầu Trụ Nón
Diện tích
2
4SR
=
2
xq
SRh
=
2
tpxqđáy
SSS=+

SC
R = .
b) Cho SA = BC = a và 2aAB = . Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di
động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S.
Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3,

0
0BAC6= .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, )(ABCDSA ⊥ và
3aSA = . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm
điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp
xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết 3aCD = .
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên
và đáy bằng 60
0
. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường
trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K.
a) Tính SO, SA.
b) Chứng minh SMKSOA ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.
d) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh

a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA =
7a và SA ⊥
(ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại
H, M, K.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ

Bài 1. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện
OO′
3
. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO′ hợp với mặt phẳng đáy một góc
0
60 .
Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 3. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao
và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy
điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB.
Bài 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ
hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc
30
0
. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’
của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.

bằng x và và hai đường thẳng AB, O′O hợp với nhau một góc bằng y.
a) Tính bán kính R theo h, x, y.
b) Tính S
xq
, S
tp
và thể tích V của hình trụ theo h, x, y.
Bài 11. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính
của hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 30
0
.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’.
b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’.
c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’.
Bài 12. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao
2Rh = . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn
tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ
số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ.
b) Gọi
)
α
là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục
OO’ và mặt phẳng
)
α
.
c) Chứng minh rằng
)
α

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện
này.
Bài 6. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và

0
0SAO3 = ,

0
0SAB=6 . Tính độ dài
đường sinh của hình nón theo a.
Bài 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Bài 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình
nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A’B’C’D’.
Bài 9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một
tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể
tích của khối nón.
Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên
và mặt đáy là
α
. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC,
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và
α
.

Trang 20 Bài 1. Cho một tứ diện đều có cạnh là a.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 2. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một
góc
0
60 .
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là α.
a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
b) Tính giá trò của tan
α
để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD)
và (BCD) vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS′. Một mặt phẳng vuông góc với
SS′ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường tròn này. Đặt SH =
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
b) Xác đònh x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh
rằng các đường thẳng S′A, S′B, S′C đôi một vuông góc với nhau.
Bài 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a.
Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng
qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.

Trang 21
a)

0
90BAC = b)

0
60BAC = , b = c c)

0
120BAC = , b = c.
Bài 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác
đònh tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính S
xq
và S
tp
của hình trụ.
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Bài 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
3
R
. A và B là 2 điểm trên 2 đường
tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30 .
a) Tính S
xq
và S

= . Tính thể tích khối nón và
diện tích xung quanh của hình nón.
Bài 19. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2
α
. Trong hình nón có một
hình trụ nội tiếp. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua
trục của hình trụ là một hình vuông.
Bài 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là
α
.
Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h,
cắt hình nón theo đường tròn (C). Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và
α
.

VNMATHS.TK - Free Ebooks
Trần Só Tùng
Trang 22 Bài 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC)
và SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt

ACM = α, hạ SH vuông góc

2
2
241
a sin
(sin)
α
α
+

Bài 2. Cho ABC cân tại A có AB = AC = a và góc

BAC = 2α. Trên đường thẳng d qua
A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung
điểm của BC. Hạ AH ⊥ SI.
a) Chứng minh AH ⊥ (SBC). Tính độ dài AH theo a, α.
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
AK
AI
= x. Mặt phẳng (R) qua K và vuông
góc với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình
ùc này.
HD: a) AH =
2
2
4
a.cos
cos
α
α
+

3

Bài 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt
hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O
là:
2
2xya= .
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác
đònh x, y để thể tích tứ diện này bằng
3
a
4
.
HD: a) MN =
22
2axy()+− b) V =
3
6
a
xy()+ , (x, y) =
2
a
a;



hoặc
2


+


b) d =
a tan
cos
α
α

Bài 6. Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R lấy một điểm C tùy ý. Dựng CH vuông
góc với AB (H thuộc đoạn AB) và gọi I là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng It
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I lấy điểm S sao cho góc

ASB = 90
o
.
a) Chứng minh tam giác SHC là tam giác đều.
b) Đặt AH = h. Tính thể tích V của tứ diện SABC theo h và R.
HD: b) V =
)
3
2
R
h2Rh–
Bài 7. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trên đường thẳng d qua trung điểm I của cạnh
AB và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E sao cho IE = a. M là điểm thay
đổi trên cạnh AB, hạ EH ⊥ CM. Đặt BM = x.
a) Chứng minh điểm H di động trên một đường tròn. Tính độ dài IH.
b) Gọi J là trung điểm của đoạn CE. Tính độ dài JM và tìm giá trò nhỏ nhất của JM.

A'B tại một điểm cố đònh.
b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo bởi mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trong
trường hợp M là trung điểm của cạnh AD.
c) Giả sử AA' = AB và MB vuông góc với AC. Chứng minh rằng mặt phẳng A'BM
vuông góc với AC' và điểm H là trực tâm của tam giác A'BM.
HD: a) MH cắt A
′
B tại trung điểm I của A
′
B. b)
1
2
1
11
V
V
=
Bài 9. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. I là trung điểm AB. Qua I dựng đường vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho 2IS = a
3 .
a) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuông.
b) Tính thể tích khối chóp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
HD: b) V =
3
3
12
a
, d =
3
2

a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M ∈ CB, N ∈ CD) và đặt
CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và
(SAN) tạo với nhau một góc 45 .
HD: a) V =
3
a6π b)
)
0
2
2a2mnamn– ++=
Bài 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ()SAABCD⊥ và
2SAa= .Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc

α
=ACM . Hạ SNCM⊥ .
a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố đònh và tính thể tích tứ diện SACN
theo a và
α
.
b) Hạ AHSC⊥ , AKSN⊥ . Chứng minh rằng ()SCAHK⊥ và tính độ dài đoạn HK.
HD: a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố đònh, V =
3
2
2
6
a
sin
α


60SCB .
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi (
α
) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích
thiết diện tạo bởi (
α
) và hình chóp S.ABCD.
HD: a) d(BC, SD) =
6
3
a
b) S =
2
6
4
a

Bài 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x
(0
≤
x
≤
a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A,
lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0).
a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SBC).
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
Trần Só Tùng
Trang 25

a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt
phẳng (SAC) và (ABC).
b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC.
HD: a)

1
3
SABcos = b) V =
3
2
24
a

Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc
0
120A = , BD = a > 0.
Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60
0
. Một
mặt phẳng (P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần
của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.
HD:
1
2
1
12
V
V
=
Bài 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =


0
60BAD = , SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng
(P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’,
D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
HD: V =
18
3
3
a