Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
1

(DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011)
u x v x
liên tc và có đo hàm trên đon [a; b]. Ta có
   
' '
' ' ' '
uv u v uv uv dx u vdx uv dx
    
 
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d uv vdu udv
     
  

b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu
     
   
.
Ta có công thc:
 
1
b b
b
a
a a

=

b
a
dxxfxf .)().(
21

Bc 2: t:









v
du
dxxfdv
xfu
)(
)(
2
1
(Chn
0
C

)

udv


Cách 2:
Phân tích
'
1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x f x dx f x f x dx

 
và s dng trc tip công thc (2)

- Nhn dng:
 s dng tích phân tng phn thì du hiu thng gp đó chính là tích ca hai loi hàm
s khác nhau (đôi khi là tích ca cùng mt loi hàm)

-Ý ngha:
Phng pháp TPTP nhm đa tích phân phc tp v tích phân đn gin hoc đ kh bt hàm
s di du tích phân (cui cùng ch còn li 1 loi hàm s di du tích phân)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
3Chú ý:

I dx
x




t
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x






 






Khi đó

 
 
       
 
 
  

- ng quên
1
2
trc du tích phân nhé
Ví d 2: (HDB – D 2003) Tính tích phân sau
2
1
3
0
x
I x e dx



Gii:
Ta có
2 2
1 1
3 2
0 0
x x
I x e dx x e xdx
 

e
I te dt te e dt e
     
 
(s dng công thc 2)
Chú ý:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
4

- D nhiên ta không cn bin đi s mà làm trc tip. Ta có
 
2 2
1 1
3 2 2
0 0
1
2
x x
I x e dx x e d x
 
 
. n đây ta có th
s dng công thc (1) hoc công thc (2) tuy là ngn hn nhng đ phc tp cao hn nên tôi không đa ra, bn
đc t tìm hiu nhé
Ví d 3: (HTCKT – 1998) Tính tích phân sau
 
4

dv xdx
v






 






Khi đó
4
0
sin 2 1 cos2 1 2
. sin 2
4 4
2 2 8 4 8 4 8
0 0
x x
I x xdx

 
  

      

x
x
dv x
v





 

 








Khi đó
4 4
2 3
1
1
1 1
ln . ln .
1
4 2 4 2
e





 







Khi đó
4 4 4
3 4
1
1
1 1 3 1
ln .
1 1
4 4 4 16 16
e
e e
x e e
I x x dx x

    


Vy

t
2
ln
2ln
ln
dx
u x
du x
x
dx
dv
v x
x

 

 

 

 




Khi đó
2
2
1
ln

 
 
 

Khi đó
1
3
2
0
1
1
0
3 3
t
I t dt
  


Hoc: a vào vi phân nh sau
 
2 3
2
1 1
ln ln 1
ln ln
1
3 3
e e
e
x x


 




Gii:
4 4 4
1 2
2 2
0 0 0
(sin cos 1) sin
1 cos
(1 cos ) (1 cos )
x x x
e x x e e x
I dx dx dx I I
x
x x
  
 
    

 
  

Tính
4
2
2






 


 





Khi đó
4
4
2 1
0
1
4
1 cos 1 cos 2
2
0
1
2
x x
e e e
I dx I
x x

1 2
và
I I
thì cng ra nhng va mt công mà li dài nên ta chn tính
1
I
hoc
2
I
đ
làm trit tiêu đi
2
I
hoc
1
I
…Tùy vào tng bài đ ta chn (kinh nghim thôi)

- Thông thng ta s dng CT (1) vì nó d nhìn hn là CT (2) MT S DNG C TH

Dng 1:
Tính tích phân
   
n
I P x Q x dx









(Nu


n
P x
có bc n thì ta phi tính tích phân tng phn n ln (mi ln


n
P x
s gim 1
bc))
c bit:
- Khi




ln ;ln ;log ;ln
n
m
x x x f x
Q x 
 






sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log
a a
x xQ x
x x

t


 
n
Q x
P x dx
u
dv






(thng thì ngi ta chn





Bài 1: Tính tích phân sau
3
2
4
sin
xdx
I
x





Gii:
t
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x







        
 

Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
3 3
2
4 4
cot
sin
xdx
I xd x
x
 
 
  
 

Bài 2: Tính tích phân sau
3
2
0
cos
x
I dx
x





3 sin 3
tan tan
3
3 cos 3 cos
cos
0
3 3
ln cos ln 2
3
3 3
0
d x
x x
I dx x x xdx dx
x x
x
x
  

 

 
      
   
   

Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
3 3
2

D: 01694 013 498
8

HD:
t
 
2
sin
1 cos
1
tan
cos
u x x
du x dx
dv dx
v x
x
 

 

 

 







0 0
sin
sin tan
cos
x x
I dx x x d x
x

  
 

Bài 2: (HDB – A 2003) Tính tích phân sau:
4
0
1
ln 2
1 cos2 8 4
x
I dx
x


  



HD:
S dng công thc nhân đôi
2 2
1 cos2 1 2cos 1 2cos


 






Hoc: S dng trc tip công thc (2)
Ta có
4 4 4
2
0 0 0
1 1 1 1
(tan ) tan tan ) ln ln 2
4 4
2 2 2 4 8 4
2cos
0 0
x
I dx xd x x x xdx
x
  
 
 
 
       
 
 
  

dv
x






 






Chú ý: Công thc
2
2
1
tan 1
cos
x
x
 

Bài 4: Tính tích phân sau:
2
0
1 sin 2
xdx

Q x x x


Chú ý: i vi dng này ta có th s dng phng pháp h s bt đnh
Nu bc ca


P x
bng hoc ln hn 3 ta nên gii theo phng pháp sau:
Bc 1: Ta có ( )cos ( )sin ( )cos
I p x xdx A x x B x x C
 
   

, (1)
(A(x) và B(x) cùng bc vi


P x
)
Bc 2: Ly đo hàm hai v ca (1) :





( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos
p x x A x B x A x B x
 
   

1 cos2 1 1
sin . cos 2
2 2 2
x
I x xdx x dx x dx x x dx

 

   
   

S dng công thc (2) ta đc
2
1
1
3
1
2 2
0
0 0
0
1 1 1
(sin2 ) sin2 2 in2 .
6 4 6 4
x
x d x x x xs x dx

  
 
    


 


Gii:
t
1
1
sin 2
cos2
2
du dx
u x
dv xdx
v x


 



 

 




Khi đó
2

2
I x xdx x d x
 
    
 

Bài 3: Tính tích phân sau
2
4
0
cos
I xdx




Gii:
t
2
2
t x x t dx tdt
    
i cn
2
0 0,
4 2
x t x t
 
     


( 2 3)sin (a )cos (a' ' ' ')sin
I x x x xdx x bx cx d x x b x c x d x C
            

(1)
Ly đo hàm hai v ca (1):
3 2 3 2
3 2
( 2 3)sin [ ' (3 ') (2 ') ']cos
[ (3 ' ) (2 ' ) ' ]si
n (2)
x x x x a x a b x b c x c d x
ax a b x b c x c d x
          
     

ng nht đng thc trên ta đc h :
' 0
3 ' 0
2 ' 0
' 0
a
a b
b c
c d



 


          

Vy
3 2 2
( 4 1)cos (3 2 4)sin
I x x x x x x x C
        
.
Hoc:
t


2
3 2
3 2 2
2 3
sin
cos
du x x dx
u x x x
dv xdx
v x

  

   


 



HD:
t
t x
 sau đó mi TPTP
Bài 3: (HAN – D 1999) Tính tích phân sau:
2 2 2
0
sin 4
I x xdx


  


HD:
H bc và s dng TPTP
Ta có
 
2 2 2
0 0 0
1 1
1 cos 2 cos 2
2 2
I x x dx x dx x xdx
  
 
   
 
 

 
 
 
. Tính
2
1
0
.cos 2
I x xdx




t
sin 2
cos 2
2
du dx
u x
x
dv xdx
v






 


dv
v x
 





 







Chú ý:
 đn gin ta nên tách thành tng hai tích phân
1 2
2 2 2
2 2
0 0 0
( sin ) cos cos sin cos
I I
I x x xdx x xdx x xdx
  
   
  
 


3
3
3
0
sin 3 6
I xdx


 
 
 
  


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
12

HD:
t
 
2
3
2
3
1
3
3

Khi đó
     
1 2
2 2 2
0 0 0
1 cos2 1 1
2 1 2 1 2 1 cos 2
2 2 2
I I
x
I x dx x dx x xdx
  

 
     
 
 
  
 

Tính
1
I
bng cách s dng trc tip bng nguyên hàm và tích
2
I
bng TPTP

t
 

Bài 10: (H M - 1997) Tính tích phân sau
 
2
2
0
1 sin
I x xdx

 


HD:
t


2
1 2
co
sin
s
x
xd
u
du xdx
v x
v xd

 





   


HD:
t


2
1 sin 2
sin
cos
sin
du x dx
u x x
dv xdx
v xdx
 


 


 






1
1
sin
384 32 4
I x x dx

 
   


Bài 13: Tính tích phân sau:
2
1
1
4
cos 1 2
I xdx



   


HD:
t
1
t x
 
sau đó mi TPTP
Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau

I x x C
  
 
 

c.
2
sin
I x xdx


s:
2
1 1
sin 2 cos 2
4 4 8
x
I x x x C
   
(HL_1999)

Loi 3: Khi


,
x x
Q x e a


Bài tp gii mu:

I xe dx xe e dx x e
     
 
.
Cách 2:
 
1 1 1
/ 1 1
/
0 0
0 0 0
( 1) 1
x x x x x
I xe dx x e dx xe x e dx x e
      
  
.
Bài 2: Tính tích phân sau
1
0
x
I xe dx


.
Gii:
t
1
2
2

x
I x e dx



Gii:
t
2
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx






 






Khi đó
1 1 1

1 1
0 0
1
1
0
x x x
J xe dx xe xe dx
   
 

Vy
2
I e
 

Bài 4: Tính tích phân sau
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx




Gii:
Ta có
2 2
sin sin







Khi đó
1
2
sin
0 0
2 sin cos 2
x t
I e x xdx te dt

 
 

t
t t
u t du dt
dv e dt v e
 
 

 
 
 

Khi đó


Gii:
t
3 2 2
3
3
dt
t x dt x dx x dx
    

i cn
0 0
1 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
3
1 1 1
5
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0

Gii:
Cách 1:
t
 
1
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e x






 
 
 




Khi đó
   
1
2
0
1 1

J xe dx


đt
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 

 
 
 
… bn đc t gii
Cách 3:
Làm nhanh
   
1 1
0 0
1
x x
I x e dx xd e x
   
 
…bn đc t gii
Bài 8: (H – D 2006) Tính tích phân sau
 
1
2
0







Khi đó
1 1
1
2 2
2 2 2
0 0
0
1 1 1 5 3
( 2) 1
2 2 2 4 4
x x x
e e
I x e e dx e

       


Hoc: S dng trc tip công thc (2)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
16


 

 
 
 
 


Khi đó
 
ln 2
ln 2
ln 2
0
0
0
1 ln 2
. .
2
x x x x
J x e e dx x e e
   

      
Bài tp t gii có hng dn:

Bài 1:

dv e dx
v






 






Bài 2: (HHH HCM – 1999) Tính tích phân sau:




2 2
2 1 2 3 4
x x
I x x e x x e C
      


HD:
t
2

t
 


2
2
2
1
2
2
1
x
x
du x dx
x
e
e dx
u
v
dv
  



 

 




  
 

Bài 5: (HKT HN – 1999) Tính tích phân sau:
 
2
2
sin 3
0
1
.sin .cos 1
2
x
I e x xdx e

  


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
17

HD:
Phân tích
 
2 2
2 2
sin 3 sin 2


HD:
Phân tích
2 2
3 3
3 1 2 1
2 2
0 0
1 1
x x
x e x e
I dx xdx
x x
 
 
 
 

t
2 2
2
1
1
x t
t x
xdx tdt

 
  


3
1
2 4
1
x
x
du
x
dx
u x
e
dv e dx
v x




 

 

 


 




Chú ý:  đn gin ta có th tách làm tng hai tích phân nh sau



b.
 
1
2
0
2
x
I x e dx e
  
Loi 4: Khi




ln ;ln ;log ;ln
n
m
Q x x x x f x

 
 Bài tp gii mu:


2
u x
du dx
x
dx
dv
v
x
x

 



 


 

 
 





.
Khi đó
 
  


    
    
  
.
Vy I = –
1
3
ln2 + ln
4
3

Chú ý:
-  cho đn gin ta có th bin đi s
2
2
x t
t x
dx dt
 

  



sau đó mi TPTP
Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
1 1
2

ln
2
dx
du
u x
x
dv xdx
x
v







 







Khi đó
2 2 2 2
1 1
1 1
ln ln
1 1

1
4
e
I

 .
Bài 3: Tính tích phân sau
2
5
1
ln
x
I dx
x



Gii:
t
5
4
ln
1
1
4
dx
u x
du
x
dv dx

1 1
1
ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2
4 64 4 256
4 4
x x dx
I dx
x x x x

 
        
 
 
 

Hoc: S dng trc tip công thc (2)
2 2
5 4
1 1
ln 1 1
ln
4
x
I dx xd
x x
 
  
 
 
 

Khi đó
 
1 2
2
0 1
1
ln 1 ln
2
I x x dx tdt
  
 

t
ln
dx
u t
du
t
dv dt
v t






 




2
2
1
l
2
n 1
x
du dx
u x
x
x
v d
x
d
v
x





 


 






 


 

.
Khi đó
2 2
2 2
2 2 2
1 1
1 1
1
( ) ln 2ln 2 ( 1) 2ln 2 2ln 2
2 2
x x x
I x x x dx x dx x
x
 

          
 
 
 
.
Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
2 2
2
1 1

dx
du
u x
x
dx
dv x dx
x
v
x
x







 

 
 
 
  




.
Khi đó
2 2 2

2
1
1
ln 1
ln
x
I dx xd
x
x
 
  
 
 
 

Bài 7: Tìm nguyên hàm .
1
)1ln(
2
2
dx
x
xxx
I




Gii:
Vit I di dng








1
1
.
1
1
1
1
1ln
2
22
2
2
2
xv
x
dx
dx
xx
x
x
du
dx
x

1 2
1 1 1
3 1
2 ln 2 ln 3 ln .
e e e
I I
I x xdx x xdx x dx
x x
 
   
 
 
  
 

Tính
1
1
ln
e
I x xdx


. t
2
ln
2
dx
du
u x

1 1 1
ln
2 2 2 2 2 4
e e
e
x e x e
I x xdx
   

    
   
   


Tính I
2
: t t = lnx 
dx
dt
x

i cn khi x = 1 ; t = 0 và khi x = e ; t = 1.
Khi đó
1
1
2
2
0
0
1





 

 
 
 
 
 
 
 



Hoc: S dng trc tip công thc (2)
 
2
1 1
3
2 ln ln 3ln
e e
I x xdx xd x x
x
 
   
 
 
 

dv
v
x
x
x





 



 

 
 





Khi đó
3 3
1 1
3 3
3 ln 3 ln3 3 1 1 3 ln 3 3 ln3 3
ln ln
1 1

3 ln ln
3
( 1) ( 1) ( 1)
x dx x
I dx dx
x x x

  
  
  

Tính
3
3
1
2
1
1
3 3
3
( 1) 4
( 1)
dx
I
x
x

  



x





 

 


 







www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
22

Khi đó
3
3 3 3
2
1



HD:
t
2
ln
2ln
ln
dx
u x
du x
x
dv
v x
dx
x

 

 

 

 




Chú ý:
 tránh tích TPTP 2 ln ta có th bin đi s trc bng cách đt ln

1
2
dx
u x
du
d
x
dv
v
x
x
x





 

 

 
 




Khi đó
2
2

x
u
du
x x
dx
x x
dv dx
v x





 


 








Chú ý:
Nu phân tích




2 3
ln
3
dx
du
u x
x
dv x dx x
v







 







Bài 5: (HDB – 2005) Tính tích phân sau:
2 3
1
2 1
ln
9 9

t
 
2
2
2
2
ln 1
2 1
2
1
x
du dx
u
x
dv x d
x
x
v
x x
x





 

 

 

1
1
dx
u
du
x
dx
dv
v
x
x
x





 

 

 
 






Bài 8: (H HP – 1997) Tính tích phân sau:









Chú ý: Nu khai trin
 
2
2
1 ln 1 2ln ln
x x x
    thì tính toán s đn gin nhng dài hn
Bài 9: (HHH TPHCM – 2000) Tính tích phân sau:


2
2
1
ln 1
3
ln3 3ln 2
2
x
I dx
x

   

 





www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
24

Bài 10: Tính tích phân sau:
 
 
3
2
0
1
ln 5 14ln14 5ln5 9
2
I x x dx
    


HD:
t


2

 
 


HD:
Phân tích
3
2
1 1
x
x
x x

 
sau đó đt
2
ln
1
u x
dv x dx
x




 
 
 

 

2
0
1
ln
1
x
I x dx
x






HD:
t
 
3
2
2
2
2
4
1
2
1
ln
1
x
du dx

1
1
1
2
1
1
t
x
t
x
x
xd
t
t
x













 







 

 








Chú ý:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498
25

 tránh tích TPTP 2 ln ta có th bin đi s trc bng cách đt ln
t
t
e x
t x
e dx dx










Bài 16: (HDB – 2006) Tính tích phân sau:
 
2
1
5
2 ln ln 4
4
I x x dx   


HD:
t
 
ln
2
u x
dv x




 

 





Bài 18: (HL HCM– 2001) Tính tích phân sau:
10
2
2
1
50 99
lg 50
ln10
4ln 10
I x xdx   


HD: TPTP 2 ln
t
2
lg
u x
dv xdx







cos (ln )
e
I x dx



.
Gii:
Ta có
 
2 2
2
1 1
1 1 1
1 cos(2ln ) ( 1) cos(2ln )
2 2 2
e e
I x dx e x dx
 

    
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com